RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.2

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.2

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.2

प्रश्न 1.
यदि

हो, तो l : m ज्ञात कीजिए।
हल :

प्रसार करने पर,
l × 3 – 2 × m = 0
3l – 2m = 0
3l = 2m
l/m:2/3
अतः l : m = 2 : 3

प्रश्न 2.
सारणिक

के द्वितीय पंक्ति के अवयवों की उपसारणिक ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गई सारणिक,

प्रश्न 3.
सारणिक

का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

प्रश्न 4.
यदि किसी सारणिक के प्रथम व तृतीय स्तम्भों को आपस में बदल दिया जाए तो सारणिक के मान पर क्या प्रभाव पड़ेगा ? लिखिए।
हल :
सारणिक के मान का चिह्न बदल जाएगा।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि

हल :
L.H.S. =

R2 → R2 – R1 तथा R3 → R3 – R1 से,

R2 व R3 से (x – y) तथा (z – x) उभयनिष्ठ लेने पर,

= (x – y) (z – x) [1(-z + y)]
= (x – y) (z – y) (y – z)
= (x – y) (y – z) (z – x)
= R.H.S.
इति सिद्धम्।

प्रश्न 6.
सारणिक

का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

C1 से a², C2 से b² तथा C3 से c² उभयनिष्ठ लेने पर,

= a²b²c²{- a(0 – bc) + a(bc – 0)}
=a²b²c²(+ abc + abc)
= a²b²c² (2abc)
= 2a³b³c³

प्रश्न 7.
निम्न समीकरण को हल कीजिए

हल :
L.H.S.


⇒ 1(- 145 + 143) – 1(-58 + 13x + 104) + 2(- 22 – 5x + 40) = 0
⇒ – 2 + 13x – 46 – 10x + 36 = 0
⇒ 3x – 12 = 0
⇒ x = 12/3 = 4.

प्रश्न 8.
बिना विस्तार के सिद्ध कीजिए कि

हल :
माना


इति सिद्धम्।।

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि

हल :


C1 के सापेक्ष विस्तार करने पर,
= (a + b + c) [0 – 0 + 1{(a – c) (b – c) – (a – b) (b – a)}]
= (a + b + c) {(ab – ca – bc + c²) – (ab – a – b² + ab)}
= (a + b + c) (ab – ca – bc + c² – ab + a² + b² – ab)
= (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)
= a³ + b³ + c³ – 3abc
= R.H.S.
इति सिद्धम्।।

प्रश्न 10.
सारणिक

का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
सारणिक =

C3 → C2 – 4C1 तथा C3 → C3 – 9C1 से,

= (392 – 400) – 0 + 0
= – 8

प्रश्न 11.
यदि ω इकाई का घनमूल हो, तो सारणिक

का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

R1 के सापेक्ष विस्तार करने पर,
= 1(1 – ω²) – 1(1 – ω³) + ω²(ω – ω²)
= 1 – ω² – 1 + ω³ + ω³ – ω⁴
= 1 – ω² – 1 + 1 + 1 – ω³.ω (∵ ω³ = 1)
= 3 – ω² – 1 – ω (∵ ω³ = 1)
= 3 – (1 + ω + ω²)
= 3 – 0 = 3 (∵ 1 + ω + ω² = 0)

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि

हल :


R1 के सापेक्ष विस्तार करने पर,
= 2abc² [0 – 1{ac – b(a – c)} + 1{a(b + c) – ( – c) (b)]
= 2abc² [- ac + ba – bc + ab + ac + bc]
= 2abc² (2ab)
= 4a²b²c²
= R.H.S.
इति सिद्धम्।

प्रश्न 13.
यदि सारणिक

में A1, B1,C1, … आदि क्रमशः अवयव a1,b1,c1,… आदि के सहखण्ड हों, तो सिद्ध कीजिए कि

हल :
दिया है :

इति सिद्धम्।

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