RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 व्युत्क्रम आव्यूह एवंरैरिवक समीकरण Ex 5.1

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 व्युत्क्रम आव्यूह एवंरैरिवक समीकरण Ex 5.1

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 5 व्युत्क्रम आव्यूह एवंरैरिवक समीकरण Ex 5.1

प्रश्न 1.
x के किस मान के लिए आव्यूह

अव्युत्क्रमणीय है।
हल :
दिया है कि आव्यूह

अव्युत्क्रमणीय है।
तब

⇒ 1(6 – 2) + 2(3 – x) + 3(2 – 2x) = 0
⇒ 4 + 6 – 2x + 6 – 6x = 0
⇒ – 8x = – 16
⇒ x = 16/8
अतः x = 2

प्रश्न 2.
यदि आव्यूह

हो, तो adj•A ज्ञात कीजिए तथा सिद्ध कीजिए कि A(adj•A) = |A|I₃ = (adj•A)A.
हल :
दिया गया आव्यूह,

आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

आव्यूह A के सहखण्डों से बना आव्यूह,


अतः A.(adj.A) = |A|I₃ …(ii)
(i) व (ii) से,
A(adj A) = |A|I₃ = (adjA) A
इति सिद्धम्।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित आव्यूह का व्युत्क्रमणीय आव्यूह ज्ञात कीजिए :

हल :
(i) दिया गया आव्यूह

आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

आव्यूह A के सहखण्डों से बना आव्यूह

(ii) दिया गया आव्यूह

| A | = 1(16 – 9) – 3(4 – 3) + 3(3 – 4)
= 7 – 3 – 3
|A | = 1 ≠ 0
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

आव्यूह A सहखण्डों से बना आव्यूह B

(iii) दिया गया आव्यूह

| A | = 0( – 12 + 12) – 1(16 – 12) – 1( – 12 + 9)
= 0 – 4 + 3
| A | = -1 ≠ 0
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

आव्यूह A के सहखण्डों से निर्मित आव्यूह

प्रश्न 4.
यदि आव्यूह

हो, तो A^-1 ज्ञात कीजिए तथा सिद्ध कीजिए कि :
(i) A^-1 A = I₃
(ii) A^-1 = F( – α)
(iii) A(adjA) = |A|I = (adjA).A
हल :
दिया है आव्यूह

|A| = cos α (cos α – 0) + sin α (sin α – 0) + 0(0 – 0)
= cos² α + sin² α
| A | = 1 ≠ 0
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

आव्यूह A के सहखण्डों से बना आव्यूह

प्रश्न 5.
यदि

तो सिद्ध कीजिए कि A^-1 = A^T
हल :
माना कि

प्रथम पंक्ति के सापेक्ष प्रसार करने पर

= – 8(16 + 56) – (16 – 7) + 4( – 32 – 4)
= – 8.72 – 9 – 4.36
= – 9(64 + 1 + 16)
= – 9 × 81
= – 9³


अतः (iii) और (iv) से स्पष्ट है कि
A^-1 = A^T
इति सिद्धम्।

प्रश्न 6.
यदि आव्यूह

हो, तो सिद्ध कीजिए कि A^-1 = A³
हल :
दिया गया आव्यूह,

अतः A^-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
a₁₁ = – 1, a₁₂ = – 2, a₂₁ = 1, a₂₂ = 1
आव्यूह A के सहखण्डों के बना आव्यूह

समीकरण (i) व (ii) से,
A^-1 = A³.
इति सिद्धम्।

प्रश्न 7.
यदि

तथा

हो, तो (AB)^-1 ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह

तब |A| = 5(3 – 4) – 0(2 – 2) + 4(4 – 3)
= – 5 – 0 + 4
|A| = – 1 ≠ 0 .
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

आव्यूह A के सहखण्डों से निर्मित आव्यूह

प्रश्न 8.
यदि

हो, तो सिद्ध कीजिए कि

हल :
दिया गया आव्यूह

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि आव्यूह

समीकरण A² – 6A + 17I = 0 को सन्तुष्ट करता है तथा A^-1 भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह

अत: दिया गया आव्यूह समीकरण A² – 6A + 17I = 0 को सन्तुष्ट करता है।
अब A² – 6A + 17I = 0
⇒ = A² – 6A = – 17I
⇒ A^-1 (A² – 6A) = – 17A^-1I
⇒ [A^-1 का दोनों पक्षों में वाम गुणन करने पर]
⇒ A^-1A² – 6A^-1A = – 17A^-1 [∴A^-1I = A^-1]
⇒ A – 6I = – 17A^-1 [∴A^-1A = I]

प्रश्न 10.
यदि आव्यूह

हो, तो सिद्ध कीजिए कि A² + 4A – 42I = 0 तत्पश्चात् A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह,

अब A² + 4A – 42I

अतः दिया गया आव्यूह समीकरण A² + 4A – 42I = 0 को सन्तुष्ट करता है।
अब A² + 4A – 42I= 0
A² + 4A = 42I
A^-1 (A² + 4A) = 42A^-1I
(A^-1 का दोनों पक्षों में गुणा करने पर)।

SabDekho

The Complete Educational Website

Bihar Board

UP Board

IAS Notes

Jac Board

MP Board

सम्पूर्ण व्याकरण

जीवनी

निबंध

टेन्स

सामान्य ज्ञान

Rajasthan Board

NCERT Solutions in Hindi

NCERT Solutions in English