RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 व्युत्क्रम आव्यूह एवंरैरिवक समीकरण Ex 5.2

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 व्युत्क्रम आव्यूह एवंरैरिवक समीकरण Ex 5.2

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 5 व्युत्क्रम आव्यूह एवंरैरिवक समीकरण Ex 5.2

प्रश्न 1.
सारणिक की सहायता से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष निम्न हैं
(i) (2, 5), (-2, – 3) तथा (6, 0)
(ii) (3, 8), (2, 7) तथा (5,-1)
(ii) (0, 0), (5, 0) तथा (3, 4)
हल :
(i) दिए गए त्रिभुज के शीर्ष (2, 5), (-2, – 3) तथा (6, 0) हैं।

त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 12{2( – 3 – 0) – 5( – 2 – 6) + 1(0 + 18)}

अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल = 26 वर्ग इकाई।

(ii) दिए गए त्रिभुज के शीर्ष (3, 8), (2, 7) तथा (5,- 1) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल

अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल = 112 वर्ग इकाई।

(iii) दिए गए त्रिभुज के शीर्ष (0, 0), (5, 0) तथा (3, 4) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल

अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल = 10 वर्ग इकाई।

प्रश्न 2.
सारणिक का प्रयोग कर शीर्ष (1, 4), (2, 3) तथा (-5,- 3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या दिये गये बिन्दु संरेख है ?
हल :
दिए गए त्रिभुज के शीर्ष (1, 4), (2, 3) तथा (-5,-3) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल

= −132
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल
= −132 वर्ग इकाई (ऋण चिह्न छोड़ने पर) ।
∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य नहीं है। अत: दिए गए बिन्दु संरेख नहीं है।

प्रश्न 3.
k का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई जबकि शीर्ष (k, 4), (2,- 6) तथा (5, 4) हैं।
हल :
∵ दिए गए बिन्दु (k, 4), (2,- 6) तथा (5, 4) से निर्मित
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 35 वर्ग इकाई


k( – 6 – 4) – 4(2 – 5) + 1(8 + 30) = ± 70
– 10k + 12 + 38 = ± 70
– 10k + 50 = ± 70
धन चिह्न लेने पर,
– 10k + 50 = 70
– 10k = 70 – 50
– 10k = 20
k = – 2
ऋण चिह लेने पर
– 10k + 50 = 70
– 10k = – 70 – 50
– 10k = – 120
k = 12
अतः k = – 2, 12.

प्रश्न 4.
सारणिक का प्रयोग कर k का मान ज्ञात कीजिए, यदि बिन्दु (k:2-2k), (-k+1, 2k) तथा (-4-k, 6-2k) संरेख हों।
हल :
∵ दिए गए बिन्दु (k, 2 – 2k), ( – k + 1, 2k) तथा ( – 4 – k, 6 – 2k) सरेख हैं।

⇒k[2k – (6 – 2k)] – (2 – 2k) [( – k + 1) – (  – 4 – k)] + 1[( – k + 1) (6 – 2k) – ( – 4 – k) (2k)] = 0
⇒k[2k – 6 + 2k] – (2 – 2k) [ – k + 1 + 4 + k] + 1[ – 6k + 2k² + 6 – 2k + 8k + 2k²] = 0
⇒k(4k – 6) – (2 – 2k) (5) + 1(4k² + 6) = 0
⇒4k² – 6k – 10 + 10k + 4k² + 6 = 0
⇒ 8k² + 4k – 4 = 0
⇒ 2k² + k – 1 = 0
⇒ 2k² + (2 – 1)k – 1 = 0
⇒ 2k² + 2k – k – 1 = 0
⇒ 2k(k + 1) – 1(k + 1)= 0
⇒ (k + 1) (2k – 1) = 0
अतः k = – 1, 12

प्रश्न 5.
यदि बिन्दु (3, -2), (x, 2) तथा (8, 8) संरेख हैं, तो x का मान सारणिक का प्रयोग कर ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ दिए गए बिन्दु (3, -2), (x, 2) तथा (8, 8) सरेख हैं।

⇒ 3(2 – 8) + 2(x – 8) + 1(8x – 16) = 0
⇒ – 18 + 2x – 16 + 87 – 16 = 0
⇒ 10 – 50 = 0
⇒ 10x = 50
⇒ x = 50/10
अतः x = 5

प्रश्न 6.
सारणिक प्रयोग से दो बिन्दुओं (3, 1) तथा (9, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए तथा त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि तीसरा बिन्दु (-2, -4) हो।
हल :
बिन्दुओं (3, 1) तथा (9, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

⇒ x(1 – 3) – y(3 – 9) + 1(9 – 9) = 0
⇒ – 2x + 6y + 0= 0
⇒ – 2(x – 3y) = 0
⇒ x – 3y = 0
अत: बिन्दुओं (3, 1) तथा (9, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण x – 3y = 0 है।
अब, त्रिभुज का क्षेत्रफल जबकि तीनों
बिन्दु (3, 1), (9, 3) तथा (-2, -4) हैं।


= 12(-20)
= – 10
∆ = 10 वर्ग इकाई (ऋण चिह्न छोड़ने पर)
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 10 वर्ग इकाई।

प्रश्न 7.
क्रेमर नियम से निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए
(i) 2x + 3y = 9, 3x – 2y = 7
(ii) 2x – 7y – 13 = 0, 5x + 6y – 9 = 0
हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
2x + 3y = 9
3x – 2y = 7

(ii) दिया गया समीकरण निकाय
2x – 7y – 13= 0
5x + 6y – 9 = 0
इन समीकरणों को निम्न प्रकार से भी लिख सकते हैं
2x – 7y = 13
5x + 6y = 9


अत: समीकरण निकाय का हल x = 3, y = – 1.

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण निकाय असंगत हैं
(i)
3x – y + 2 = 3
2x + y + 3z = 5
x – 2y – z = 1
(ii)
x + 6y + 11 = 0
3x + 20y – 6z + 3= 0
6y – 18z + 1 = 0
हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
3x – y + 2z = 3
2x + y + 3z = 5
x – 2y – z = 1

∴ ∆ = 0, ∆1 ≠ 0, ∆2 ≠ 0 तथा ∆3 ≠ 0
अतः समीकरण निकाय असंगत है तथा इसका हल सम्भव नहीं है।
इति सिद्धम्।

(ii) दिया गया समीकरण निकाय ।
x + 6y + 11 = 0
3x + 20y – 6z + 3 = 0
6y – 18z + 1 = 0
दिए गए समीकरण निका को निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं :
x + 6y = – 11
3x + 20y – 6z = – 3
6y – 18z = – 1

∵ ∆ = 0, ∆1 ≠ 0, ∆2 ≠ 0 तथा ∆3 ≠ 0
अतः समीकरण निकाय असंगत है तथा इसका हल सम्भव नहीं है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 9.
क्रेमर नियम से निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए
(i) x + 2y + 4z = 16
4x + 3y – 2z = 5
3x – 5y + z = 4
(ii) 2x + y – z = 0
x – y + z = 6
x + 2z + z = 3
हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
x + 2y + 4z = 16
4x + 3y – 2z = 5
3x – 5y + z = 4

(ii) दिया गया समीकरण निकाय ।
2x + y – z = 0
x – y + z = 6
x + 2y + z = 3


अतः x = 2, y = -1, z = 3

प्रश्न 10.
सारणिकों की सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए
(i)
6x + y – 3z = 5
x + 3y – 2z = 5
2x + y + 4z = 8
(ii)

हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
6x + y – 3z = 5
x + 3y – 2z = 5
2x + y + 4z = 8

प्रश्न 11.
आव्यूह सिद्धान्त का प्रयोग कर निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए
(i) 2x – y = – 2
3x + 4y = 3
(ii) 5x + 7y + 2 = 0
4x + 6y +3 = 0
x + y – z = 1
(iii) 3x + y – 2z = 3
x – y – z = – 1
(iv) 6x – 12y + 25z = 4
4x + 15 – 20z = 3
2x+ 18y + 152 = 10
हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
2x – y = – 2
3x + 4y = 3
इसे आव्यूह रूप में निम्न प्रकार लिख सकते हैं|
AX = B ….(i)

(ii) दिया गया समीकरण निकाय
5x + 7y + 2 = 0
4x + 6y + 3 = 0
दिए गए समीकरण निकाय को निम्न प्रकार से भी लिख सकते
5x + 7y = – 2
4x + 6y = – 3
इस समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में निम्न प्रकार लिख सकते
AX = B

(iii) दिया गया समीकरण निकाय
x + y – z = 1
3x + y – 2z = 3
x – y – z = -1
इस समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिखने पर,
AX = B …(i)



(iv) दिया गया समीकरण निकाय
6x – 12y + 25z = 4
4x + 15y – 20z = 3
2x + 18y + 15z = 10
इन समीकरण निकाय को आव्यूह रूप से लिखने पर,
AX = B ….(i)

प्रश्न 12.
यदि

हो, तो A^-1 ज्ञात कीजिए।
तथा निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को हल कीजिए :
x – 2 = 10, 2x + y + 3x = 8, – 2y + z = 7
हल :
दिया है,

= 1(1 + 6) +2(2 – 0) + ( – 4 – 0)
= 7 + 4 + 0
|A| = 11 ≠ 0
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,


अब, दिया गया समीकरण निकाय
x – 2y = 10
2x + y + 3z = 8
– 2y + 2 = 7
रैखिक समीकरण निकाय का आव्यूह रूप

अतः x = 4, y = -3, z = 1

प्रश्न 13.
आव्यूहों

तथा

गुणनफल ज्ञात कीजिए तथा इसकी सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए।
x – y + z = 4, x – 2y – 2z = 9, 2x + y + 3z = 1
हल :
माना

प्रश्न 14.
आव्यूह

का व्युत्क्रम आव्यूह ज्ञात कीजिए तथा इसकी सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए।

हुल :
दिया गया आव्यह

= 1(1 + 3) + 1(2 + 3) + 1(2 – 1)
= 4 + 5 + 1 = 10 ≠ 0
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

प्रश्न 15.
यदि समबाहु त्रिभुज की भुजा ॥ तथा शीर्ष (x1, y1), (x2, x2) एवं (x3, y3) हों, तो सिद्ध कीजिए कि

हल :
दिया है कि समबाहु त्रिभुज की भुजा a तथा समबाहु त्रिभुज के तीनों शीर्ष (x1, y1), (x2, y2) तथा (x3, y3) हैं।

इति सिद्धम्।

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