RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 व्युत्क्रम आव्यूह एवंरैरिवक समीकरण Miscellaneous Exercise

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 व्युत्क्रम आव्यूह एवंरैरिवक समीकरण Miscellaneous Exercise

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 5 व्युत्क्रम आव्यूह एवंरैरिवक समीकरण Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
यदि

हो, तो A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह

|A| = 5 ≠ 0
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
a₁₁ = 3, a₁₂ = – 2, a₂₁ = 1, a₂₂ = 1
आव्यूह A के सहखण्डों से निर्मित आव्यूह

प्रश्न 2.
यदि

हो, तो A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह

= 0(0 – 1) – 1(0 – 1) + (1 – 0).
= 0 + 1 + 1
|A| = 2 ≠ 0
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

प्रश्न 3.
यदि आव्यह

एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह,

∵ आव्यूह A अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तब
|A| = 0
1( – 6 – 2) + 2( – 3 – x) + 3(2 – 2x) = 0
– 8 – 6 – 2x + 6 – 6x = 0
– 8 – 8x = 0
– 8x = 8.
x = 8/−8
x = -1

प्रश्न 4.
क्रेमर नियम का प्रयोग कर निम्नलिखित समीकरण निकाय हल कीजिए।
(i) 2x – y = 17
x + 5y = 6
(ii) 3x + ay = 4
2x + ay = 2, a ≠ 0
(iii) x + 2 + 3z = 6
2x + 4y + z = 7
3x + 2y + 9z = 14
हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
2x – y = 17
3x + 5y = 6

अतः समीकरण निकाय का हल x = 7, y = – 3

(ii) दिया गया समीकरण निकाय
3x + ay = 4
2a + y = 2, a ≠ 0

अत: समीकरण निकाय का हल x = 2, y = −2/a

(iii) दिया गया समीकरण निकाय
x + 2 + 2x = 6
2x + 4y + 2 = 7
3x + 2y + 9z = 14



अत: समीकरण निकाय का हल x = 1, y = 1, z = 1.

प्रश्न 5.
क्रेमर नियम का प्रयोग कर सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण निकाय असंगत है।
(i) 2x – y = 5
4x – 2y = 7
(ii) x + y + z = 1 ,
x + 2y + 3z = 2
3x + 4y + 5y = 3
हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
2x – y = 5
4x – 2y = 7

∵ ∆ = 0, ∆₁ ≠ 0 तथा ∆₂ ≠ 0
अतः समीकरण निकाय संगत है।

(ii) दिया गया समीकरण निकाय
x + y + z = 1
x + 2y + 3z = 2
3x + 4y + 3z = 3

∵ ∆ = 0, ∆₁ ≠ 0, ∆₂ ≠ 0 तथा ∆₃ ≠ 0
अतः दिया गया समीकरण निकाय असंगत है।

प्रश्न 6.
एक द्वितीय क्रम की आव्यूह A ज्ञात कीजिए :
जहाँ

हल :

प्रश्न 7.
यदि

हो, तो सिद्ध कीजिए कि
A² + 4A – 42I = 0 तथा इसकी सहायता से A^-1 भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह

प्रश्न 8.
यदि

हो, तो सिद्ध कीजिए कि A⁻¹=1/19 A
हुल :
दिया गया आव्यूह.

प्रश्न 9.
यदि

हो, तो A^-1 ज्ञात कीजिए तथा दिखाइये कि A^-1.A = I₃
हल :
दिया गया आव्यूह

अत: A^-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

प्रश्न 10.
यदि

हो, तो सिद्ध कीजिए कि A² – 4A – 5I = 0 तत्पश्चात् इसकी सहायता से A^-1 भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह,

A² = A.A

प्रश्न 11.
आव्यूह सिद्धान्त का प्रयोग कर निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को हल कीजिए :
(i) 5x – 7y = 2
7x – 5y = 3
(ii) 3x + y + z = 3
2x – y – z = 2
– x – y + z = 1
(iii) x + 2y – 2z + 5 = 0
– x + 3y + 4 = 0
– 2y + z – 4 = 0
हुल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
5x – 7y = 2
7x – 5y = 3
इसे आव्यूह रूप में लिखने पर
AX = B…..(i)

(ii) दिया गया समीकरण निकाय
3x + y + z = 3
2x – y – z = 2
– x – y + z = 1
इस समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिखने पर
AX = B

अतः A^-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

(iii) दिया गया समीकरण निकाय ।
x + 2y – 2z + 5 = 0
– x + 3y + 4 = 0
– 2y + z – 4 = 0
समीकरण निकाय को निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं,
x + 2y – 2z = – 5
-x + 3y = – 4
– 2y + z = 4
इसी समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिखने पर ।
AX = B …(i)

प्रश्न 12.
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि शीर्ष निम्नलिखित हों :
(i) A(-3, 5), B(3,- 6), C(7, 2)
(ii) A(2, 7), B(2, 2), C(10, 8)
हल :
(i) त्रिभुज ABC के शीर्ष
A = (-3, 5), B = (3, -6), C = (7, 2)
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ∆

प्रश्न 13.
यदि बिन्दु (2,-3), (λ,-2) तथा (0, 5) संरेख हो, तो λ. का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए बिन्दु (2,-3), (λ, -2) तथा (0, 5) संरेख हैं, तब

⇒ 2( – 2 – 5) + 3(λ – 0) + 1(5λ – 0) = 0
⇒ – 14 + 3λ + 5λ = 0
⇒ 8λ = 14

प्रश्न 14.
आव्यूह A ज्ञात कीजिए जबकि :

हल :

प्रश्न 15.
यदि

हो, तो A^-1 ज्ञात कीजिए। तत्पश्चात् इसकी सहायता से निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को हल कीजिए
x + y + z = 2, x + 2y – 3z = 13, 2x – y + 3z = -7.
हल :
दिया है,

= 1(6 – 3) – 1(3 + 6) + 1( – 1 – 4)
= 3 – 9 – 5
अतः |A| = – 11 ≠ 0
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,


अतः x = 1, y = 3, z = – 2.

प्रश्न 16.
यदि

हो, तो A^-1 ज्ञात कीजिए तथा दिखाइये कि aA^-1 = (a² + bc + 1)I – aA.
हल :
दिया गया आव्यूह,

प्रश्न 17.
सारणिक की सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए—
x + y + z = 1
ax + by + cz = k
a²x + b²y + c²z = k²
हल
दिया गया समीकरण निकाय
x + y + z = 1
ax + by + cz = k
a²x + b²y + c²z = k²

प्रश्न 18.
यदि

हो, तो A-1 ज्ञात कीजिए। तत्पश्चात् इसकी सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए ।
x + 2y – 3z = – 4, 2x + 3y + 2z = 2, 3x – 3y – 4z = 11
हल :
दिया है,

= 1( -12 + 6) – 2(- 8 – 6) – 3( – 6 – 9)
= – 6 + 28 + 45 = 67 ≠ 0
अत: A^-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,




अतः x = 3, y = – 2, z = 1.

प्रश्न 19.
यदि

हो, तो X ज्ञात कीजिए।
हल :
माना

प्रश्न 20.
निम्नलिखित समीकरण निकाय के अनन्त हल हो, तो a तथा b का मान ज्ञात कीजिए-
2x + y + az = 4
bx – 2y + z = – 2
5x + 5y + z = – 2
हल :
दिया गया समीकरण निकाय
2x + y + az = 4
bx – 2y + z = – 2
5x + 5y + z = – 2
∵ समीकरण निकाय के अनन्त हल है, तब ∆ = 0, ∆₁ = 0, ∆₂ = 0 तथा ∆₃ = 0 होगा।

SabDekho

The Complete Educational Website

Bihar Board

UP Board

IAS Notes

Jac Board

MP Board

सम्पूर्ण व्याकरण

जीवनी

निबंध

टेन्स

सामान्य ज्ञान

Rajasthan Board

NCERT Solutions in Hindi

NCERT Solutions in English