Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.1

Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.1

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.1

கேள்வி 1.
3 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 2 – ஐத் தரக்கூடிய அனைத்து மிகை முழுக்களையும் காண்க.
தீர்வு :
a மற்றும் b (a>b) இரு மிகை முழுக்கள் எனில்
a = bq + r,0 ≤ r < b என்றவாறு , r எனும் தனித்த மிகை முழுக்கள் கிடைக்கும். இங்கு a = b(3)+2)
b = 0, எனில் = 0(3) + 2 = 2
b = 1, எனில் = 1(3) + 2 = 5
b = 2, எனில் = 2(3) + 2 = 8
b = 3, எனில் = 3(3) + 2 = 11.
எனவே மிகை முழுக்கள் = 2, 5, 8, 11…..

கேள்வி 2.
ஒருநபரிடம் 532 பூந்தொட்டிகள் உள்ளன. அவர் வரிசைக்கு 21 பூந்தொட்டிகள் வீதம் அடுக்க விரும்பினார். எத்தனை வரிசைகள் முழுமை பெறும் எனவும் மற்றும் எத்தனை பூந்தொட்டிகள் மீதமிருக்கும் எனவும் காண்க.
தீர்வு :
a மற்றும் b (a > b) என்பன ஏதேனும் இரு மிகை முழுக்கள் எனில் a = bq+r,0≤r<b
என்றவாறு q, r எனும் தனித்த மிகை முழுக்கள் கிடைக்கும்.
இங்கு a = 532, b = 21
532 = 25 x 21 + 7
எனவே முழுமை பெறும் வரிசைகள் = 25
மீதமிருக்கும் பூந்தொட்டிகள் எண்ணிக்கை = 7

கேள்வி 3.
தொடர்ச்சியான இரு மிகை முழுக்களின் பெருக்கற்பலன் 2 ஆல் வகுபடும் என நிறுவுக.
தீர்வு: அடுத்தடுத்த இரண்டு மிகை முழுக்கள் x, x+1 என்க.
இதன் பெருக்கல் பலன் = x(x + 1) = x² + x
தீர்வுவகை 1:
x ஒரு இரட்டை எண் எனில்,x = 2k
இப்பொழுது x + x = (2k)² +2k
= 4k² +2k
= 2(2k + 1)
= 2 ஆல் வகுபடும்.

தீர்வுவகை 2:
x ஒரு ஒற்றை எண் எனில் x = 2k +1
இப்பொழுது x² + x = (2k + 1)² + 2k + 1
= 4k² + 4k + 1 + 2k +1
= 4k² + 6k + 2
= 2(2k² + 3k + 1)
= 2 ஆல் வகுப்படும்.
எனவே தொடர்ச்சியான இருமிகை முழுக்களின் பெருக்கல்பலன் 2 ஆல் வகுப்படும்.

கேள்வி 4.
a, b மற்றும் C என்ற மிகை முழுக்களை 13 ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மீதிகள் முறையே 9, 7 மற்றும் 10 எனில் a+b+c ஆனது 13 ஆல் வகுபடும் என நிரூபி.
தீர்வு:
a மற்றும் b (a > b) என்பன ஏதேனும் இரு மிகை முழுக்கள் எனில் a = bq+r,0<r இங்கே a = 13q + 9
b = 13q + 7
c = 13q + 10
எனவே a + b + c = 13q + 9 + 13q + 7 + 13q + 10
= 39q + 26
= 13 (3q +2)
13 ஆல் வகுபடும்.
எனவே a+b+c ஆனது 13 ஆல் வகுபடும்.

கேள்வி 5.
எந்த மிகை முழுவின் வர்க்கத்தையும் 4 ஆல் வகுக்கும்போது மீதி 0 அல்லது 1 மட்டுமே கிடைக்கும் என நிறுவுக.
தீர்வு:
k என்பது ஏதேனும் மிகை முழு என்க
k = 4k எனில்
k² = 16k²
k² = 4 x 4k² + 0
(மீதி r = 0)
k = 4k + 1 எனில்
k² = (4k + 1)
k² = 16k² + 8k + 1
= 4(4k² + 2k) + 1
(மீதி r = 1)
எனவே எந்த மிகை முழுஎண் வர்க்கத்தையும் 4 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 0 அல்லது 1 மட்டுமே கிடைக்கும்.

கேள்வி 6.
யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்திப் பின்வருவனவற்றின் மீ.பொ.வ காண்க.
(i) 340 மற்றும் 412
(ii) 867 மற்றும் 255
(iii) 10224 மற்றும் 9648
(iv) 84, 90 மற்றும் 120.
தீர்வு :
(i) 340 மற்றும் 412
a, b என்பவை ஏதேனும் இரண்டு மிகை முழுக்கள் மற்றும் (a>b) எனில்
a = bq + r,0 ≤ r < b
இங்கு 412 = 340 x 1 + 72
340 = 72 x 4 + 52
72 = 52 x 1 + 20
52 = 20 x 2 + 12
20 = 12 x 1 + 8
12 = 8 x 1 + 4
8 = 4 x 2 + 0
340 மற்றும் 412 ன் மீ.பொ.வ = 4

(ii) 867 மற்றும் 255
867 = 255 x 3 + 102
255 = 102 x 2 + 51
102 = 51 x 2 + 0
867 மற்றும் 255 ன் மீ.பொ,வ 81

(iii) 10224 மற்றும் 9648
10224 = 9648 x 1 + 576
9648 = 576 x 16 + 432
576 = 432 x 1 + 144
432 = 144 x 3 + 0
10224 மற்றும் 9648 ன் மீ. பொ. வ = 144

(iv) 84, 90 மற்றும் 120
90 = 84 x 1 +6
84 = 6 x 14 + 0
84, மற்றும் 90 மீ.பொ.வ = 6
120 = 6 x 20 + 0
84, 90 மற்றும் 120 ன் மீ. பொ. வ = 6

கேள்வி 7.
1230 மற்றும் 1926 ஆகிய எண்களை வகுக்கும்போது மீதி 12 – ஐத் தரக்கூடிய மிகப்பெரிய எண்ணைக் காண்க. தீர்வு :
1230 மற்றும் 1926 ஆகிய எண்களை வகுக்கும் போது மீதி 12 எனில் நமக்கு தேவையான எண் 1230 -12 =1218, 1926-12 =1914 ஆகியவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியாகத்தான் இருக்கும்.
எனவே 1914 = 1218 x 1 + 696
1218 = 696 x 1 + 522
522 = 174 x 3 + 0
1218 மற்றும் 1914 ன் மீ.பொ.வ = 174

கேள்வி 8.
32 மற்றும் 60 ஆகியவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி d என்க . d = 32x + 60y எனில் x மற்றும் y என்ற முழுக்களைக் காண்க.
தீர்வு :
‘d’ என்பது 32 மற்றும் 60ன் மீ. பொ. வ என்க.
60 = 32 x 1 + 28
32 = 28×1+4|
28 = 4×7 +0

எனவே 32 மற்றும் 60ன் மீ. பொ. வ = 4
d = 4
ஆகையால் 4 = 32x + 60y
4 = 32(2) + 60(-1)
= 64 – 60
= 4
எனவே x = 2 மற்றும் y = -1

கேள்வி 9.
ஒரு மிகை முழுவை 88 ஆல் வகுக்கும் போது 61 கிடைக்கிறது. அதே மிகை முழுவை 11 ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மீதியைக் காண்க.
தீர்வு :
a = 88q + 61
61 = 11 x 5 + 6 எனவே இதே மிகை முழுவை 11 ஆல் வகுக்கும்
போது கிடைக்கும் மீதி = 6.

கேள்வி 10.
எந்த இரு அடுத்தடுத்த மிகை முழுக்கள் சார்பகா எண்கள் என நிறுவுக.
தீர்வு :
15, 16 என்பவை அடுத்தடுத்த மிகை முழுக்கள் என்க.
இப்பொழுது 16 = 15 x 1 + 1
15 = 1 x 15 + 0
எனவே 15, 16 சார்பகா எண்கள் ஆகும்.
28, 29 என்பவை அடுத்தடுத்த மிகை முழுக்கள் என்க.
இப்பொழுது 29 = 28 x 1 + 1
28 = 1 x 28 + 0
எனவே 28, 29 என்பவை சார்பகா எண்கள். எனவே எந்த இரு அடுத்தடுத்த மிகை முழுவும் சார்பகா எண்கள் ஆகும்.