Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.9

Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.9

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.9

கேள்வி 1.
பின்வரும் தொடர்களின் கூடுதலைக் காண்க.
(i) 1+2 + 3 +….. + 60
(ii) 3 + 6 + 9 +…..+ 96
(iii) 51+ 52 + 53 +…..+ 92
(iv) 1+ 4 + 9 +16 + +225
(v) 6² + 7² + 8² +… + 21²
(vi) 10³ + 11³ + 12³ +……. +20³
(vii) 1+ 3 + 5 +… + 71
தீர்வு :
i) 1+2 + 3 +….. + 60
Σn = n(n+1)/2 இங்கே n = 60
= 60(60+1)/2
= 60×61/2
= 30 x 61
= 1830
So 1+2+3+ +60 = 1830

ii) 3 + 6 + 9 + ….. + 96
தீர்வு :
= 3(1 + 2 + 3 + … + 32)
= 3 x Σn
= 3 x n(n+1)/2 இங்கே n = 32
= 3 x 32(32+1)/2
= 3×32×33/2
32(32+1) = 3x 2 – 3x32x33
= 3 x 16 x 33
= 1584
3+6+9+12+…+96 = 1584

iii) 51 + 52 + 53 + ….. + 92
தீர்வு :
= (1 + 2 + 3 + … + 92) – (1 + 2 + 3 + ….. + 50)
= n(n+1)/2−n(n+1)/2
= 92×93/2−50×51/2
= 46 x 93 – 25 x 51
= 4278-1275
51 + 52 + 53 + …. + 92 = 3003

iv) 1 + 4 + 9 + 16 + … + 225
தீர்வு :
= 1² + 2² + 3² + 4²+ ………….. +15²
= n(n+1)(2n+1)/6 இங்கே n = 15
= 15×16×31/6
= 1240
எனவே 1+4+9+16+… +225 = 1240

v) 6² + 7² + 8² + …………….. + 21²
= (1² + 2² + 3² + ………. + 21²) – (1² + 2² + 3² +… + 5²)
= n(n+1)(2n+1)/6−n(n+1)(2n+1)/6
= 21×22×43/6−5×6×11/6
= 3311 – 55
= 3256
எனவே 6² + 7² + 8² + ……………..+21² = 3256

vi) 10³ + 11³ + 12³ +.. +20³
தீர்வு :
= (1³ + 2³ + 3³ + ……………. + 20³) –
(1³ + 2³ + 3³+ …………..+9³)
= [n(n+1)/2]2−[n(n+1)/2]2
= [20×21/6]2−[9×10/6]2
= (210)² – (45)²
= 44100 – 2025
= 42075
எனவே 10³ + 11³ + 12³ + ………… +20³ = 42075

vii) 1+ 3 + 5 + ………….. + 71
இங்கு a = 1, d = 2, l = 71
= l−a/d + 1
= 71−1/2 + 1
= 70/2 + 1
n = 36
1 + 3 + 5 +…+ 71 = n² = 36² = 1296

கேள்வி 2.
1+2 + 3 +…..+k = 325, எனில்
1³ + 2³ + 3³ +… + k³ யின் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :
1 + 2 + 3 + ………………+ k = 325
Σn = 325
n(n+1)/2 = 325 —–(1)
1³ + 2³ + 3³ + ……………..+ k³ = Σn³
= [n(n+1)/2]2
= (325)²
= 105625 ((1)லிருந்து)
எனவே 1³ + 2³ + 3³ + …………. + k³ = 105625

கேள்வி 3.
1³ + 2³ + 3³ +…. + k³ = 44100 எனில் 1 + 2 + 3 +….+k யின் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :
தரவு :-1³ + 2³ + 3³ + ……………….+k³ = 44100
Σk³ = 44100
im 11
2 1+2 + 3 +…+ k = 210

கேள்வி 4.
1³ + 2³ + 3³ +….. என்ற தொடரின் எத்தனை உறுப்புகளைக் கூட்டினால் கூடுதல் 14400 கிடைக்கும்?
தரவு:-
1³ + 2³ + 3³ + ……………… +n³ = 44100
Σn³ = 14400
im 12
n² + n – 240 = 0
(n + 16)(n – 15) = 0
n = -16 என்பது பொருந்தாது
n = 15

கேள்வி 5.
முதல் n இயல் எண்களின் கணங்களின் கூடுதல் 2025 எனில் n-யின் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :
கணக்கின் படி Σn² = 285
n(n+1)(2n+1)/6 = 285 ——(1)
மேலும் Σn<sup3 = 2025
[n(n+1)/2]2 = 2025
n(n+1)/2 = 45
n(n+1) = 90——(2)
(2) ஐ (1) ல் பிரதியிட
90(2n+1)/6 = 285
2n+1 = 285×6/90
2n+1 = 1990
2n = 18
n = 9

கேள்வி 6.
ரேகாவிடம் 10 செ.மீ, 11 செ.மீ , 12 செ.மீ…… 24 செ.மீ என்ற பக்க அளவுள்ள 15 சதுர வடிவ வண்ண க் காகிதங்கள் உள்ளன. இந்த வண்ணக் காகிதங்களைக் கொண்டு எவ்வளவு பரப்பை அடைத்து அலங்கரிக்க முடியும்?
தீர்வு :
தரவு:- 10² + 11² + 12² + …………. + 24² = (1² + 2² + 3² + …………. +24²) –
(1² + 2² + 3² + …………….+9²)
= n(n+1)(2n+1)/6−n(n+1)(2n+1)/6
= 24×25×49/6−9×10×19/6
= 4900 – 285
= 4615 ச.செ.மீ

கேள்வி 7.
(2³ – 1³) + (4³ – 3³)-(6³ – 5³) + …. என்ற
தொடர்வரிசையின் (i) n உறுப்புகள் வரை (i) 8 உறுப்புகள் வரை கூடுதல் காண்க.
தீர்வு :
தரவு:- (2³ – 1³) + (4³ – 3³)-(6³ – 5³) + …. n உறுப்புகள்
(i.e) Σ[(இரட்டைப்படை எண்)³
-(ஒற்றைப்படை எண்)³]
= Σ[(2n)³ – (2n – 1)³]
= Σ[8n³ (8n³-12n² + 6n – 1)]
= Σ[8n³ – 8n³ + 12n² – 6n + 1)]
= Σ[12n³ – 6n + 1]
= 12Σn² – 6Σn + Σ1
= 12×n×(n+1)(2n+1)/6−6n(n+1)/2+n
= 2n(n+1)(2n+1) – 3n(n+1)+n
= 2n[2n² + n + 2n + 1] – 3n² – 3n + n
= 4n³ + 2n² + 4n² + 2n – 3n² – 3n + n
= 4n³ + 3n²

ii) 8 உறுப்புகள் வரை கூடுதல் காண் n
உறுப்புகள் கூடுதல் = 4n³ + 3n² 8
உறுப்புகள் வரை கூடுதல் = 4(8)³ + 3(8)²
= 4 x 512 + 3 x 64
= 2048 + 192
= 2240