Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.5

Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.5

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.5

கேள்வி 1.
பின்வரும் தொடர் வரிசைகள் ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையா எனச் சோதிக்கவும்.
(i) a-3, 4-5, a-7,…
(ii) 1/2,1/3,1/4,1/5,…
(iii) 9, 13, 17, 21, 25,…..
(iv) −1/3,0,1/3,2/3,…
(v) 1, -1, 1-1,1,-…
தீர்வு :
i) a-3, a-5, a-7
t₂ – t₁ = (a – 5) – (a – 3) = a – 5 – a + 3 = -2
t₃ – t₂ = (a – 7) – (a – 5) = a – 7 – a + 5 = -2
t₂ – t₁ = t₃ – t₂
பொது வித்தியாசங்கள் சமம்.
எனவே a-3, a-5, a-7…. என்பது ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை A.P.

அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமம் இல்லை
இல்லை 1/2,1/3,1/4,1/5,… என்பது கூட்டுத்தொடர் 2 3 4 5 வரிசை அல்ல.
iii) 9, 13, 17, 21, 25…
t₂ – t₁ = 13-9 = 4
t₃ – t₂ = 17-13 = 4
t₃ – t₂ = t₂ – t₁
அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமம்
எனவே 9, 13, 17, 21, 25…. என்பது கூட்டுத் தொடர் வரிசை.

iv) −1/3,0,1/3,2/3,…
t₂ – t₁ = 0 – (−1/3)=1/3
t₃ – t₂ = 1/3−0=1/3
t₂ – t₁ = t₃ – t₂
அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமம்.
எனவே −1/3,0,1/3,2/3 என்பது கூட்டுத் தொடர் வரிசை.

v) 1, -1, 1, -1, 1, -1…
t₂ – t₁ = -1-1 = -2
t₃ – t₂ = 1-(-1) = 1+1 = 2
t₂ – t₁ ≠ t₃ – t₂
அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமம் அல்ல.
எனவே 1,-1,1,-1,1,-1……… என்ப து கூட்டுத் தொடர் வரிசை அல்ல.

கேள்வி 2.
கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள முதல் உறுப்பு a மற்றும் பொது வித்தியாசம் d-க்குக் கூட்டுத் தொடர்வரிசைகளைக் காண்க.
(i) a = 5, d = 6
(ii) a =7, d=-5
(iii) a = 3/4, d = 1/2
தீர்வு:
i) a = 5, d = 6
கூட்டுத் தொடர் வரிசை a, a+d, a+2d,… 5, 5+6, 5+2(6), 5+3(6)+….. கூட்டுத் தொடர் வரிசை = 5, 11, 17, 23….. a =

ii) a = 7, d = -5
கூட்டுத் தொடர் வரிசை = 7, 7+(-5), 7+2(5), 7+3(-5), …
கூட்டுத் தொடர் வரிசை = 7, 7-5, 7-10, 7-15,….
கூட்டுத் தொடர் = 7, 2, -3, -8…..

iii) a = 3/4 d = 1/2
கூட்டுத் தொடர் வரிசை = 3/4,3/4+1/23/4+2(1/2)+…
கூட்டுத் தொடர் வரிசை = 3/4,5/4,7/4…

கேள்வி 3.
கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள பொது
உறுப்புகளையுடைய கூட்டுத்
தொடர்வரிசைகளின் முதல் உறுப்பு மற்றும்
பொது வித்தியாசம் காண்க.
(i) t_n = -3 + 2n
(ii) t₁ = 4-7n
தீர்வு :
i) t_n =-3+2n
t₁ = -3+2(1) = -3+2 = -1
t₂ = -3+2(2) = -3+4 = 1
எனவே d = t₂ – t₁ = 1-(-1) = 2
எனவே a = -1, d = 2

ii) t_n = 4-7n
t₁ = 4-7(1) = 4-7 = -3
t₂ = 4-7(2) = 4-14 = -10
எனவே d = t₂ – t₁ = -10-(-3) = -10+3 = -7
ஆகையால் a = -3, d = -7

கேள்வி 4.
-11, -15, -19, …… என்ற கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 19-வது உறுப்பைக் காண்க .
தீர்வு :
-11, -15,-19… என்பது A.P
இங்கே a = -11,
d = t₂ – t₁ = -15-(-11) = -15+11 = -4
t_n = a+(n-1)d
t₁₉ = -11+(19-1)(-4)
= -11+(183-4)
= -11-72
= -83
கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் 19வது உறுப்பு =-83.

கேள்வி 5.
16, 11,6, 1,… என்ற கூட்டுத்தொடர்வரிசையில் -54 என்பது எத்தனையாவது உறுப்பு?
தீர்வு :
கூட்டுத்தொடர் வரிசை = 16, 11,6,….-54
இங்கே a = 16, d = -5
t_n = -54 என்க
= a + (n – 1) d =-54
16 + (n – 1)(-5) = -54
21-5n = -54|
-5n = -54-21
-5n = -75
5n = 75
n = 75/5
n = 15
15வது உறுப்பு = -54 ஆகும்.

கேள்வி 6.
9, 15, 21, 27 …… 183 என்ற கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் நடு உறுப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கூட்டுத்தொடர் வரிசை = 9, 15, 21, 27, …., 183
இங்கே a = 9, d = 15-9 = 6
t_n = a + (n – 1)d = 183
9+(n-1)6 = 183
9+6n-6 = 183
3+6n = 183
6n = 183 – 3
6n = 180
n = 180/6
n = 30
உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை = 30
எனவே நடு உறுப்புகள் = t₁₅ மற்றும் t₁₆
t₁₅ = 9+(15-1)6 = 9+(14×6) = 9+84 = 93
t₁₆ = 9+(16-1)6 = 9+(15×6) = 9+900 = 99
எனவே நடு உறுப்புகள் = 93, 99.

கேள்வி 7.
ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் ஒன்பதாவது உறுப்பின் ஒன்பது மடங்கும், பதினைந்தாவது உறுப்பின் பதினைந்து மடங்கும் சமம் எனில் இருபத்து நான்காவது உறுப்பின் ஆறு மடங்கானது பூச்சியம் என நிறுவுக.
தீர்வு:
தரவு :- 9t₉ = 15t₁₅
நிரூபி :- 6t₂₄ = 0
9t₉ = 15t₁₅
9(a+(9-1)d) = 15(a+(15-1)d)
9(a+8d) = 15(a+14d)
9a+72d = 15a+210d
5a+210d-9a-72d = 0
6a+138d = 0
6(a+23d) = 0
6(a+(24-1)d) = 0
எனவே 6t₂₄ = 0

கேள்வி 8.
3 +k, 18 -k, 5k +1 என்பவை ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் உள்ளன எனில், k-யின் மதிப்புக் காண்க.
தீர்வு:
தரவு:- 3+k, 18-k, 5k+1 என்பவை ஒரு கூட்டுத்தொடர்வரிசை.
எனவே அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமம்.
t₂ – t₁ = 18-k-(3+k) = 18-k-3-k = 15-2k
t₃ – t₂ = 5k+1-(18-k) = 5k+1-18+k = 6k-17
6k-17 = 15-2k
6k+2k = 15+17
8k = 32
k = 32/8
k = 4

கேள்வி 9.
x, 10, y, 24, z என்பவை ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் உள்ளன எனில், x, y, z ஆகியவற்றின் மதிப்பு காண்க. தீர்வு:\
x, 10, y, 24, z என்பவை ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசை அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமம்.
t₂ – t₁ = 10
t₃ – t₂ = y-10
t₄ – t₃ = 24-y
t₅ – t₄ = z-24

t₃ – t₂ = t₄ – t₃
y – 10 = 24 – y
y + y = 24 + 10
2y = 34
y = 34/2
y = 17
t₂ – t₁ = t₃ – t₂ எனில்
10-x = y-10
10-x = 17-10 ( y = 17)
10-x = 7
-x = 7-10
-x = -3
x= 3
t₄ – t₃ = t₅ – t₄ எனில்
24 – y = z – 24
24 – 17 = z – 24
7 = z – 24
z = 7 + 24
x = 31
ஆகையால் . = 3, v = 17, 7 = 31

கேள்வி 10.
ஒரு சினிமா அரங்கின் முதல் வரிசையில் 20 இருக்கைகளும் மொத்தம் 30 வரிசைகளும் உள்ளன. அடுத்தடுத்த ஒவ்வொரு வரிசையிலும் அதற்கு முந்தைய வரிசையைவிட இரண்டு இருக்கைகள் கூடுதலாக உள்ளன. கடைசி வரிசையில் எத்தனை இருக்கைகள் இருக்கும்?
தீர்வு:
தரவு : a = 20, n = 30, d = 2
t_n = a+(n-1)d
t₃₀ = 20+(30-1)2
= 20+29×2
= 20+58
= 78
எனவே கடைசி வரிசையில் உள்ள இருக்கைகளின் எண்ணிக்கை = 78.

கேள்வி 11.
ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமைந்த அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் எனில், அந்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையில் அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகள் a-d, a, a+d என்க.
உறுப்புகளின் கூடுதல் = 27
a – d + a + a + d = 27
3a = 27
a = 27/3
a = 9
பெருக்கற்பலன் = 288
(a-d) x a x (a+d) = 288
(a²-d²) x a = 288
(9²-d²)x9 =
81-d² = 288/9
81-d² = 32
-d² = 32-81
-d² = -49
d² = 49
d = 7
∴ அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகள் = 2, 9, 16

கேள்வி 12.
ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 6-வது மற்றும் 8வது உறுப்புகளின் விகிதம் 7:9 எனில், 9-வது மற்றும் 13- வது உறுப்புகளின் விகிதம் காண்க.
தீர்வு:
தரவு t₆:t₈ = 7 : 9
a+(6-1)d a+(8-1)d = 7:9
(a+5d) : (a+7d) = 7:9
a+5d/a+7d=7/9
9(a+5d) = 7(a+7d)
9a+45d = 7a+49d
9a-7a = 49d-45d
2a = 4d
a = 2d —–(1)
எனவே t₉ :t₁₃ = 9+(9-1)d : a+(13-1)d
= a+8d : a+12d
= 2d+8d : 2d+12d
= 10d : 14d|
= 5:7
ஆகையால் t₉ :t₁₃ = 5:7

கேள்வி 13.
ஒரு குளிர்காலத்தில் திங்கள்கிழமை முதல் வெள்ளிக்கிழமை வரை ஊட்டியின் வெப்பநிலை கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் உள்ளன. திங்கள் கிழமை முதல் புதன்கிழமை வரை உள்ள வெப்பநிலைகளின் கூடுதல் 0°C மற்றும் புதன்கிழமை முதல் வெள்ளிக்கிழமை வரை உள்ள வெப்பநிலைகளின் கூடுதல் 18°C எனில், ஐந்து நாட்களின் வெப்பநிலைகளைக் காண்க.
தீர்வு:
திங்கள் கிழமை முதல் வெள்ளிக்கிழமை வரை ஊட்டியின் வெப்பநிலை a, b,c,d,e என்க. தரவு: a, b, c,d, e என்பது ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை.
a+b+c = ) ——(1)
c+d+e = 18 —–(2)
அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமம் எனில் b-a = c-b = d-c=e-d b-a = c-b எனில்
2b = c+a ——(3)
c-b = d – c எனில்
2c = b + d ——(4)
If d – c = e – d எனில்
2d = c + e ——(5)
a + b + c = 0 எனில்
2b + b = 0
3b = 0
b = 0

c + d + e = 18 எனில்
2d + d = 18 ((5)லிருந்து)
3d = 18
d = 18/3
d = 6
(4) லிருந்து 2c = 0 + 6 எனில்
c= 6/2
c = 3

a + b + c = 0 எனில்
a + 0 + 3 = ()
c + d + e = 18 எனில்
3 + 6 + e = 18 (எனில் (5))
9 + e = 18
e = 18 – 9
e = 9
5 நாட்களின் வெப்பநிலைகள் = -3°C, 0°C, 3°C,6°C 9°C.

கேள்வி 14.
பிரியா தனது முதல் மாத வருமானமாக ₹15,000 ஈட்டுகிறார். அதன் பிறகு ஒவ்வோர் ஆண்டும் அவரது மாத வருமானம் ₹1500 உயர்கிறது. அவளுடைய முதல் மாத செலவு ₹13,000 மற்றும் அவளது மாதாந்திரச் செலவு ஒவ்வோர் ஆண்டும் ₹900 உயர்கிறது. பிரியாவின் மாதாந்திரச் சேமிப்பு ₹20,000 அடைய எவ்வளவு காலம் ஆகும்.
தீர்வு:
a = 15000-13000 = 2000
d = 1500-900 = 600
t_n = 20000
t_n = a+(n-1)d
2000+(n-1)(600) = 20000
(n-1)(600) = 20000-2000 600n-600 = 18000
600n = 18000+600
600n = 18600
n = 18600/600
n = 31
பிரியாவின் மாதாந்திர சேமிப்பு = ₹20,000 ஐ அடைய ஆகும் காலம் 31 வருடங்கள் ஆகும்.

SabDekho

The Complete Educational Website

Bihar Board

UP Board

IAS Notes

Jac Board

MP Board

सम्पूर्ण व्याकरण

जीवनी

निबंध

टेन्स

सामान्य ज्ञान

Rajasthan Board

NCERT Solutions in Hindi

NCERT Solutions in English