Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.13

Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.13

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.13

கேள்வி 1.
பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாடுகளின் மூலங்களின் தன்மையைக் கூறுக.
i) 15x² + 11x + 2 =
ii) x² – x – 1 = 0
iii) √2t² – 3t + 3√2= 0
iv) 9y² – 6√2y + 2 = 0
v) 9a²b²x² – 24abcdx + 16c²d² = 0, a ≠ 0, b ≠ 0
தீர்வு :
i) 15x² + 11x + 2 = 0
இங்கு a = 15, b = 11, c = 2
∆ = b² – 4ac
= 11² – 4 x 15 x 2 = 121 – 120
= 1
∆ > 0 ∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமல்ல.

ii) x² – x – 1 = 0
இங்கு a = 1, b = -1, c = -1
∆ = b² – 4ac
= (- 1)² – 4 x 1 x (- 1)
= 1 + 4
= 5
∆ > 0 ∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமல்ல.

iii) √2t² – 3t + 3√2= 0
இங்கு a = √2, b = – 3, c = 3√2
∆= b² – 4ac = (- 3)² – 4 x √2 x 3√2
= 9 – 24
= – 15
∆ < 0
∴ மூலங்கள் மெய் மூலங்கள் இல்லை

iv) 9y² – 6√2y + 2 = 0
இங்கு a = 9, b = – 6√2, c = 2
∆ = b² – 4ac
= (- 6√2)² – 4 x 9 x 2
= 72 – 72)
=0
∆ > 0
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்

v) 9a²b²x² – 24abcdx + 16c²d² = 0, a ≠ 0, b ≠ 0
இங்கு
a = 9a²b²,
b = – 24abcd,
c = 16c²d²
∆ = b² – 4ac
= (- 24abcd)² – 4 x 9a²b² x 16c²d²
= 576a²b²c²d² – 576a²b²c²d²
= 0
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்

கேள்வி 2.
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம் எனில், K
யின் மதிப்பைக் காண்க.
i) (5k – 6)x² + 2kx + 1 = 0
ii) kx² + (6k + 2)x + 16 = 0
தீர்வு :
i) (5k – 6)x² + 2kx + 1 = 0
இங்கு a = 5k – 6, b = 2k, c = 1
கணக்கின் படி, மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்
∴ Δ =0
⇒ b² – 4ac = 0
⇒ (2k)² – 4 x (5k – 6) x 1 = 0
÷4 ⇒k² – 20k x 24 = 0 +4
⇒ k² – 5k + 6 = 0
(k – 2) (k – 3) = 0
∴ k = 2 (அ) 3

ii) kx² + (6k + 2)x + 16 = 0
இங்கு a = k, b = 6k + 2, c = 16
கணக்கின் படி, மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்
Δ = 0
⇒ b² – 4ac = 0
⇒ (6k + 2)² – 4kx 16 = 0
⇒ 36k² + 24k + 4 – 64k = 0
⇒ 36k² – 40k + 4 = 0
⇒ 9k² – 10k + 1 = 0
⇒ (k – 1) (9k – 1) = 0
k = 1 (அ) 1/9

கேள்வி 3.
(a – b) x² + (b – c) x + (c – a) = 0 என்ற
சமன்பாட்டின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம் எனில் , b,a,c ஆகியவை ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையை அமைக்கும் என நிறுவுக.
தீர்வு :
(a – b)x² + (b-c) x + (c – a) = 0
இங்கு A = a – b, B = b – c, C = c – a
கணக்கின் படி மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்
Δ = 0
⇒ B² – 4AC=0
⇒ (b- c)² – 4(a – b) (c – a) = 0
⇒ b² – 2bc + c² – 4 [ac – a² – bc + ab] =0
⇒ b² – 2bc + c² – 4ac + 4a² + 4bc – 4ab = 0
⇒ 4a² + b² + c² – 4ab + 2bc – 4ac = 0 =
(2a – b – c)² = 0
⇒ 2a – b – c = 0
⇒ 2a = b + c
∴ b, a, c என்பது A.P ஆகும்.

கேள்வி 4.
a, மற்றும் b மெய் எண்க ள் எனில், (a – b) x² – 6 (a + b)x – 9(a – b) = 0 – யின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமில்லை என நிரூபிக்கவும்.
தீர்வு :
இங்கு A = a – b, B = – 6(a + b), C = -9(a – b)
A = B² – 4AC
= [- 6(a + b)]² – 4(a – b) [- 9(a – b)]
= 36 (a + b)² + 36 (a – b)²
= 36 [(a + b)² + (a – b)²)
= 36 [2(a² + b²)]
= 72 (a² + b²)
(Δ > 0)
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமல்ல.

கேள்வி 5.
(c² – ab)x² – 2(a² – bc)x + b² – ac = 0 என்ற சமன்பாட்டில் மூலங்கள் சமம் மற்றும் மெய் எனில் a = 0 அல்லது a³ + b³ + c³ = 3abc என நிரூபி.
தீர்வு :
இங்கு A = c² – ab, B = – 2(a²– bc), C = b² – ac கணக்கின் படி, மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்
Δ = 0
⇒ B² – 4AC =0
⇒ (-2 (a² – bc)]² – 4(c² – ab) (b² – ac) = 0
⇒ 4(a² – bc)² – 4 [b²c² – ac³ – ab³ + a²bc] = 0
⇒ 4(a⁴ – 2a²bc + b²c²) – 4b²c² + 4ac³ + 4ab³ – 4a²bc = 0
⇒ 4a⁴ – 8a²bc + 4b²c² – 4b²c² + 4ac³ + 4ab³ – 4a²bc = 0
⇒ 4a⁴ – 12a²bc + 4a³ + 4ab³ = 0
⇒ 4a (a³ – 3abc + c³ + b³) = 0
⇒ 4a = 0 (அ) a³ – 3abc + c³ + b³ = 0)
∴ a = 0 (84) a³ + b³ + c³ = 3abc