Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.1

Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.1

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.1

கேள்வி 1.
கீழ்க்கண்ட புள்ளிகளால் அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு காண்க. i) (1, -1), (-4, 6) மற்றும் (-3, -5)
தீர்வு :
படத்தில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளைக் கடிகார முள்ளின் எதிர் திசையில் அமையுமாறு குறிக்க வும். A (1, – 1), B (-4, 6), C (-3,-5) என்பன முக்கோணத்தின் முனைகள் என்க.
ΔABCன் பரப்பு

= 1/2 {(6+20+3) – (4-18-5)}
= 1/2(29- (-19) = 1/2 [29 + 19)
= 1/2 x 48
= 24 ச.அலகுகள்

 

ii) (-10, -4), (-8, -1) மற்றும் (-3, -5)
தீர்வு :
படத்தில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளைக் கடிகார முள்ளின் எதிர் திசையில் அமையுமாறு குறிக்கவும்.
A(-10, -4), B(-8, -1) என்ப ன C(-3, -5)
முக்கோணத்தின் முனைகள் என்க.

ΔACB ன் பரப்பளவு
= 1/2 {(50+3+32) – (12+40+10)}
= 1/2[85 – 62]
= 1/2 x 23
= 11.5 ச. அலகுகள்

கேள்வி 2.
கீழ்க்காணும் புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையுமா என தீர்மானிக்கவும்.
i) (-1/2, 3), (-5, 6) மற்றும் (-8, 8)
தீர்வு :
A(-1/2,3), B(-5, 6), C(-8,8) ஆகியன
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஆகும்.
ΔABC ன் பரப்பு

= 1/2 {(-3-40-24) – (-15-48-4)}
= 1/2[-67 – (-67)]
= 1/2[-67 + 67)] = 0
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைந்துள்ளன.

ii) (a,b+c), (b, c+a) மற்றும் (c, a+b)
தீர்வு :
A(a, b+c), B(b, c+a), C(c, a+b) ஆகியன கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஆகும்.
ΔABC ன் பரப்பு

= 1/2 {{a(c+a) + b(a+b) + c[b+c)) – (b(b+c) + c(c+a) = a(a+b))}
= 1/2 [ac + a² + ba + b + cb + c² – [b² + bc + c² + ac + a² + ab)]
= 1/2 [ac + a² + ba + b + cb + c² – b² – bc – c² – ac – a² – ab]
= 1/2 x 0 = 0
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைந்துள்ளன.

 

கேள்வி 3.
வரிசையில் அமைந்த முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகளும், அதன் பரப்புகளும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.’p’ யின் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு :
i) A(0,0), B(p,8), C(6,2) ஆகியன கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகள் ஆகும்.
ΔABC ன் பரப்பளவு = 20 ச.அ

[0 + 2p + 0] – [0 + 48 + 0] = 20 x 2
2p – 48 = 40
2p = 40 + 48
P = 88/2
p = 44

ii) A(p, p), B(5, 6), C(5, -2) என்பன முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகள் ஆகும்.
ΔABC ன் பரப்பு = 32 ச.அ

[6p – 10 + 5p] – [5p + 30 – 2p] = 32 x 2
(11p – 10) – (3p + 30) = 32 x 2
11p- 10 – 3p – 30 = 32 x 2
8p-40 = 32 x 2
8p = 64 + 40
8p = 104
p = 104/8
p = 13

கேள்வி 4.
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைந்தவை எனில், ‘a’ யின் மதிப்பைக் காண்க.
i) (2, 3), (4, a) மற்றும் (6,-3)
ii) (a,2-2a),(-a+1, 2a) மற்றும் (-4-a,6-2a)
தீர்வு :
A (2, 3), B (4, a) மற்றும் (6, -3) ஆகிய கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும்.
எனவே, ΔABC ன் பரப்பளவு = 0

(2a-12+18) – (12-6a-6) = 0 x 2 = 0
(2a+6) – (6 – 6a) = 0
2a + 6 – 6 + 6a = 0
8a = 0
a = 0

ii) A (a, 2-2a), B (-a+1, 2a) மற்றும் C (-4-2, 6-2a) ஆகிய கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும். எனவே, ΔABC ன் பரப்பளவு = 0

1/2 {(2a-+(-a+1)(6-2a)+(-4-a) (2-2a))
((2-2a)(-a+1)+(2a)(-4-a)+a(6-2a})} = 0
(2a² – 6a + 2a² + 6 – 2a – 8 + 8a – 2a + 2a² )-(-2a + 2 + 2a² – 2a – 8a – 2a² + 6a – 2a²)} = 0 x 2 = 0
(6a² – 2a – 2) – (-2a² – 6a + 2) = 0
6a² – 2a – 2 + 2a² + 6a – 2 = 0
8a² + 4a – 4 = 0
2a² + a – 1 = 0
(2a-1) (a+1) = 0
a = 1/2, -1
a என் மதிப்பு 1/2 (அல்லது) -1

 

கேள்வி 5.
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை முனைகளாக கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்க?
i) (-9, -2), (-8, -4) (2, 2) மற்றும் (1, – 3)
ii) (-9, 0), (-8, 6) (-1, -2) மற்றும் (-6,-3)
தீர்வு :
i) நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்பதற்கு முன்பாகக் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறிக்க வேண்டும். A(-9, -2), B(-8, -4), C(2, 2) மற்றும் D(1, -3) என்பன முனைப்புள்ளிகள் ஆகும்.

எனவே, நாற்கரம் ABDC ன் பரப்பு

= 1/2 {(36+24+2-4) – (16-4-6-18)}
= 1/2 {58 – (-12)}
= 1/2 (58 +12) = 1/2 x 70
= 35 ச. அலகுகள்
நாற்கரத்தின் பரப்பளவு = 35 ச. அலகுகள்

ii) நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்பதற்கு முன்பாகக் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறிக்க வேண்டும். புள்ளிகளை எதிர் கடிகார திசையில் எடுத்து கொள்க. A (-9, 0), B (-8, 6), C (-1, – 2) மற்றும் D (-6, -3 என்பன முனைப்புள்ளிகள் ஆகும்.

எனவே நாற்கரத்தின் பரப்பளவு (ADCB)

= 1/2{(27+12-6+0) – (0+3+16-54)}
= 1/2 [33 – (-35) = 1/2(33 + 35)
= 1/2 x 68
= 34 ச.அலகுகள்
நாற்கரத்தின் பரப்பளவு = 34 ச. அலகுகள்

 

கேள்வி 6.
(-4, -2), (-3, k), (3, -2) மற்றும் (2, 3) ஆகியவற்றை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு 28 சதுர அலகுகள் எனில், K ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
நாற்கரத்தின் முனைகள் (-4, – 2), (-3, k), (3, -2) மற்றும் (2, 3). மற்றும் அதன் பரப்பு 28 ச.அலகுகள்

1/2(-4k+6+9-4) – (6+3k-4-12)} = 28
(-4k+11) – (3k – 10) = 28 x 2 -4k+11-3k+10 = 56
-7k + 21 = 56
-7k = 56-21
k = 35/−7
k = -5

கேள்வி 7.
A(-3, 9), B (a, b) மற்றும் C(4, – 5) என்ப ன ஒரு கோட்டமைந்த புள்ளிகள் மற்றும் a+b = 1, எனில், a மற்றும் b யின் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்டுள்ள மூன்று புள்ளிகள் ஒரே கோட்டமைந்த புள்ளிகள் ஆகும். எனவே. பரப்பளவு = 0

(-3b-5a+36) – (9a+4b+15) = 0 x 2
-3b – 5a + 36 – 9a – 4b – 15 = 0
-14a-7b+21 = 0
÷by (-7) 2a+b-3 = ) —–(1)
கொடுக்கப்பட்டது a+b = 1 ——-(2)
(1) – (2)

a = 2 ஐ சமன்பாடு (2) ல் பிரதியிட
a + b = 1
2 + b = 1
b = 1 – 2 = -1
b = -1
விடை : a = 2, b = -1

சமன்பாடு (3) ஐ சமன்பாடு (7)ல் பிரதியிட
x₁ + x₂ + x₃ = 34
x₁ + 19 = 34
x₁ = 34 – 19
x₁ = 15

x₁ = 15 ஐ சமன்பாடு (5)ல் பிரதியிட
x₃ + x₁ = 27
x₃ + 15 = 27
x₃ = 27 – 15
x₃ = 12

x₃ = 12 ஐ சமன்பாடு (3) ல் பிரதியிட,
x₂ + x₃ = 19
x₂ + 12 = 19
x₂ = 19 – 12)
சமன்பாடு (4) ஐ சமன்பாடு (8) ல் பிரதியிட
y₁ + y₂ + y₃ = 15
y₁ + 8 = 15
y₁ = 15 – 8
y₁ = 7

y₁ = 7 ஐ சமன்பாடு (6)ல் பிரதியிட
y₃ + y₁ = 8
y₃ + 7 = 8
y₃ = 8 – 7
y₃ = 1

y₃ = 1 சமன்பாடு (4) ல் பிரதியிட
y₂ + y₃ = 8
y₂ + 1 = 8
y₂ = 8 – 1
y₂ = 7
முக்கோணத்தின் முனைகள் A(15, 7), B(7, 7), மற்றும் C(12, 1)
ΔABC ன் பரப்பு

= 1/2 {(105+7+84) – (49+84+15)}
= 1/2 (196 – 148) = 1/2 x 48 = 24 அலகுகள்
Δ POR ன் பரப்பு

= 1/2 {(44+54+66.5) – (94.5+38+44)}
= 1/2 (164.5 – 176.5)
= 1/2 x (-12) = -6
(பரப்பளவு ஒரு போதும் குறை எண்ணாக இருக்க இயலாது. எனவே, இதன் பரப்பை மிகை எண்ணாக எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.)
ΔABC ன் பரப்பு = 4 x ΔPQR ன் பரப்பு
24 = 4 x 6
24 = 24 நிரூபிக்கப்பட்டது

 

கேள்வி 9.
நாற்கர வடிவ நீச்சல் குளத்தின் கான்கிரீட் உள்முற்றமானது படத்தில் காட்டியுள்ள படி அமைக்கப்பட்டுள்ளது எனில், உள்முற்றத்தின் பரப்பு காண்க.

தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட முனைகள் A(-4, -8), B(8, -4), C(6, 10) மற்றும் D(-10, 6)ன் பரப்பு

= 1/2 {(16+80+36+80) – (-64-24-100-24)}
= 1/2 212 x 424
= 212 ச. அலகுகள்
கொடுக்கப்பட்ட முனைகள் E(-3, -5), F(6, -2), G(3, 7) மற்றும் H(-6, 4) ன் பரப்பு

= 1/2 {(6 + 42 + 12 + 30) – (-30 – 6 – 42 – 12)}
= 1/2 x 180
= 90 ச.அலகுகள்
உளமுற்றத்தின் பரப்பு = ABCD ன் பரப்பு – EFGH ன் பரப்பு
= 212 – 90 = 122 ச.அலகுகள்

கேள்வி 10.
A(-5, -4) , B(1, 6) மற்றும் C(7, -4) ஆகியவற்றை முனைப்புள்ளிகளாகக் கொண்ட முக்கோணவடிவக் கண்ணாடிக்கு வர்ணம் பூசப்படுகிறது. 6 சதுர அடி பரப்புக்கு வர்ணம் பூச ஒரு வாளி தேவைப்படுகிறது எனில் கண்ணாடியின் முழுப்பகுதியையும் ஒரு முறை வர்ணம் பூச எத்தனை வாளிகள் தேவைப்படும்?
தீர்வு : கொடுக்கப்பட்ட முனைப்புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து எதிர் கடிகார திசையில் எடுத்து கொள்க.

ΔACB ன் பரப்பு

= 1/2{(20+42-4) – (-28-4-30)}
= 1/2[58 – (-62]] = 1/2 (58 + 62)
= 1/2 x 120
= 60 ச.அலகுகள்
6 ச.அடி பரப்புக்கு வர்ணம் பூச ஒரு வாளி தேவைப்படுகிறது.
கண்ணாடி முழுவதும் வர்ணம் பூச தேவைப்படும் வாளிகள் = 60/6 = 10 வாளிகள்
10 வாளிகள் தேவைப்படும்.

 

கேள்வி 11.
படத்தை பயன்படுத்திப் பரப்பைக் காண்க.
(i) முக்கோணம் AGF
(ii) முக்கோணம் FED
(iii) நாற்கரம் BCEG.

தீர்வு :
i) கொடுக்கப்பட்ட A(-5, 3), G(-4.5, 0.5) மற்றும் F(-2, 3) ஆகியவை முக்கோணத்தின் முனைகள்.
ΔAGFன் பரப்பளவு

= 1/2 {(-2.5-13.5-6) – (-13.5-1-15)}
= 1/2 {–22 – (-29.5)}
= 1/2 x 75
= 3.75 ச.அலகுகள்

ii) முக்கோணம் FEDன் பரப்பு முனைகள் F(-2, 3), E(1.5, 1) மற்றும் D(1, 3)

= 1/2{(-2+4.5+3) – (-4.5+1-6)}
= 3 ச. அலகுகள்

iii) நாற்கரத்தின் முனைகள் B(-4,-2), C(2,-1), E(1.5, 1) மற்றும் G(-4.5, 0.5)
நாற்கரம் BCEG ன் பரப்பு

= 1/2 {(4+2+0.75+9) – (-4-1.5-4.5-2}}
= 1/2 {15.75 – (-12)}
= 1/2 x {15.75+12} = 1/2 x 27.75
= 13.875 ச. அலகுகள்

SabDekho

The Complete Educational Website

Bihar Board

UP Board

IAS Notes

Jac Board

MP Board

सम्पूर्ण व्याकरण

जीवनी

निबंध

टेन्स

सामान्य ज्ञान

Rajasthan Board

NCERT Solutions in Hindi

NCERT Solutions in English