UK Board 10th Class Math – Chapter 10 वृत
UK Board 10th Class Math – Chapter 10 वृत
UK Board Solutions for Class 10th Math – गणित – Chapter 10 वृत
प्रश्नावली 10.1
प्रश्न 1. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
हल : किसी वृत्त की परिधि पर स्थित प्रत्येक बिन्दु से एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है। चूँकि वृत्त की परिधि पर बिन्दुओं की संख्या असंख्य है; अतः एक वृत्त की असंख्य स्पर्श रेखाएँ सम्भव हैं।
प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :
(i) किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे …………. बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
(ii) वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को ………. कहते हैं।
(iii) एक वृत्त की ………… समान्तर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
(iv) वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को ……… कहते हैं।
हल : रिक्त स्थानों की पूर्ति निम्नवत् है :
(i) किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
(ii) वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को छेदक रेखा कहते हैं।
(iii) एक वृत्त की दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
(iv) वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को स्पर्श बिन्दु कहते हैं।
प्रश्न 3. 5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा PQ केन्द्र O से जाने वाली एक रेखा से बिन्दु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी | PQ की लम्बाई है :
(A) 12 सेमी
(B) 13 सेमी
(C) 8.5 सेमी
(D) √119 सेमी
प्रश्न 4. एक वृत्त खींचिए और एक दी गई रेखा के समान्तर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो ।
हल : माना O केन्द्र का एक वृत्त है और AB एक दी गई रेखा है । हमें AB के समान्तर दो रेखाएँ (माना PQ व RS ) खींचनी हैं जिनमें PQ स्पर्श रेखा और RS छेदक रेखा हो ।
रचना विधि : (i) रेखा AB पर केन्द्र – बिन्दु से लम्ब ON खींचा जो वृत्त को P पर काटे।
(ii) त्रिज्या OP के बिन्दु P पर लम्ब PQ खींचिए। PQ स्पर्श रेखा है।
(iii) OP पर एक बिन्दु M लेकर M से OP पर लम्ब RS खींचा। RS छेदक रेखा है।
प्रश्नावली 10.2
सही विकल्प चुनिए एवं उचित कारण दीजिए ।
प्रश्न 1. एक बिन्दु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 24 सेमी तथा Q की केन्द्र से दूरी 25 सेमी है । वृत्त की त्रिज्या है :
(A) 7 सेमी
(B) 12 सेमी
(C) 15 सेमी
(D) 24.5 सेमी
हल : माना वृत्त की त्रिज्या R सेमी है।
⋅.⋅ बिन्दु Q से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई (T) = 24 सेमी; और बिन्दु Q से वृत्त के केन्द्र की दूरी (D) = 25 सेमी तब वृत्त पर किसी बिन्दु से
( स्पर्श रेखा की लम्बाई )2 = ( केन्द्र से दूरी )2 – त्रिज्या2
⇒ T2 = D2 – R2
⇒ R2 = D2 – T2
= (25)2 – (24)2 = 625 – 576
⇒ R2 = 49
⇒ R = 7
या त्रिज्या = 7 सेमी
अत: विकल्प (A) सही है।
प्रश्न 2. चित्र में, यदि TP, TQ केन्द्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠ POQ = 110° तो ∠ PTQ बराबर है :
(A) 60°
(B) 70°
(C) 80°
(D) 90°
हल : ⋅.⋅ दिए हुए वृत्त में OP तथा OQ त्रिज्याएँ हैं और TP तथा TQ स्पर्श रेखाएँ हैं।
∴ ∠P = 90° तथा ∠Q = 90°
∴ चतुर्भुज OPTQ में, ∠POQ + ∠PTQ = 180°
∴ 110° + ∠PTQ = 180°
∴ ∠PTQ = 180° – 110° = 70°
अत: विकल्प (B) सही है।
प्रश्न 3. यदि एक बिन्दु P से 0 केन्द्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° के कोण पर झुकी हों तो ∠POA बराबर है :
(A) 50°
(B) 60°
(C) 70°
(D) 80°
हल : ⋅.⋅ वृत्त का केन्द्र O है और बिन्दु P से PA व PB वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं जिनके बीच का कोण ∠APB = 80°
प्रश्न 4. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान्तर होती हैं।
हल : दिया है : एक वृत्त का केन्द्र O तथा व्यास AB है । व्यास के सिरों A तथा B से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ PAQ तथा RBS खींची गई हैं।
सिद्ध करना है : PQ || RS
उपपत्ति: ⋅.⋅ AB वृत्त का व्यास है और PAQ तथा RBS बिन्दुओं A तथा B पर वृत्त A की स्पर्श रेखाएँ हैं।
∴ ∠PAB = 90°
तथा ∠ABS = 90°
परन्तु ∠PAB तथा ∠ABS ऋजु रेखाओं PQ तथा RS को तिर्यक रेखा AB के द्वारा काटने से बने समान एकान्तर कोण हैं।
अत: PQ || RS
प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
हल : दिया है : एक वृत्त का केन्द्र O है और AB वृत्त की स्पर्श रेखा है जो वृत्त को बिन्दु P पर स्पर्श करती है। P से वृत्त की स्पर्श रेखा AB पर PQ लम्ब खींचा गया है।
सिद्ध करना है : लम्ब PQ वृत्त के केन्द्र O से जाता है।
उपपत्ति: ⋅.⋅ AP, वृत्त के स्पर्श बिन्दु P पर स्पर्श – रेखा है
∴ AP, वृत्त की त्रिज्या पर लम्ब होगी ।
⋅.⋅ PQ ⊥ AP
∴ PQ रेखा में वृत्त की त्रिज्या समाहित होगी ।
⋅.⋅ त्रिज्या का एक सिरा P है, तब दूसरा सिरा केन्द्र O होगा।
∴ रेखा PQ में केन्द्र O भी समाहित है।
अतः लम्ब PQ वृत्त के केन्द्र O से होकर जाता है।
प्रश्न 6. एक बिन्दु A से, जो एक वृत्त के केन्द्र से 5 सेमी दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 4 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए ।
हल: बिन्दु A से वृत्त के केन्द्र की दूरी (D) = 5 सेमी
वृत्त की स्पर्श रेखा की लम्बाई (T) = 5 सेमी
माना वृत्त की त्रिज्या R सेमी है।
⋅.⋅ बिन्दु A से,
( वृत्त की स्पर्श रेखा की लम्बाई T)2
= ( वृत्त के केन्द्र से दूरी D)2 – ( त्रिज्या R)2
∴ (4)2 = (5)2 – R2
∴ R2 = 52 – 42 = 25 – 16 = 9
∴ R = 3 सेमी
अतः वृत्त की त्रिज्या R = 3 सेमी।
प्रश्न 7. दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी तथा 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
हल : माना O केन्द्र वाले दो संकेन्द्रीय वृत्त हैं जिनकी त्रिज्याएँ OA तथा OP क्रमश: 5 सेमी व 3 सेमी हैं।
बड़े वृत्त की एक जीवा AB है जो छोटे वृत्त को बिन्दु P पर स्पर्श करती है।
∴ त्रिज्या OP ⊥ AB
⇒ OP ⊥ AB
∴ Δ OAP समकोणीय त्रिभुज है।
∴ पाइथागोरस प्रमेय से,
AP2 + OP2 = OA2
∴ AP2 + (3)2 = (5)2
⇒ AP2 = (5)2 – (3)2
= 25 – 9 = 16
⇒ AP = 4 सेमी
परन्तु बड़े वृत्त में, जीवा AB पर केन्द्र O से OP लम्ब है।
∴ P, AB को अर्धित करता है।
∴ AP = BP ⇒ BP = 4 सेमी
तबजीवा AB की लम्बाई = AP + BP = 4 + 4 = 8 सेमी।
प्रश्न 8. एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है। सिद्ध कीजिए :
AB + CD = AD + BC
हल : दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है जिसकी भुजाएँ AB, BC, CD तथा DA वृत्त को क्रमशः बिन्दुओं P, Q, R और S पर स्पर्श करती हैं।
सिद्ध करना है : AB + CD = AD + BC
उपपत्ति: ⋅.⋅ AB तथा AD वृत्त को P तथा S पर स्पर्श करती हैं।
∴ AP = AS
पुन:AB तथा BC वृत्त को P तथा Q पर स्पर्श करती हैं।
∴ PB = BQ
⋅.⋅ BC तथा CD वृत्त को Q तथा R पर स्पर्श करती हैं।
∴ QC = CR
और CD तथा DA वृत्त को R तथा S पर स्पर्श करती हैं।
∴ DR = SD
⋅.⋅ AB + CD = AP + PB + DR + CR (चित्र देखिए )
= AS + BQ + SD + QC
= (AS + SD) + (BQ + QC)
= AD + BC
अत: AB + CD = AD + BC
प्रश्न 9. संलग्न आकृति में, XY ‘और X’Y’ 0 केन्द्र वाले एक वृत्त की दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A पर तथा X’Y’ को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠ AOB = 90° है।
हल : दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त की XY तथा X’Y’ दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं। वृत्त पर एक बिन्दु C से स्पर्श रेखा AB खींची गई है जो XY को A पर तथा X’Y’ को B पर काटती है। OA तथा OB को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है : ∠AOB = 90°
रचना : रेखाखण्ड OC खींचा।
उपपत्ति: ⋅.⋅ XY और X ‘Y’ वृत्त की दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं जो वृत्त को (माना) P तथा Q पर स्पर्श करती हैं। C से वृत्त की एक स्पर्श रेखा AB, XY को A पर तथा X’Y’ को B पर काटती है।
∴ बिन्दु A से वृत्त पर: AP व AC स्पर्श रेखाएँ हैं।
तब, Δ OPA व Δ OCA में,
OP = OC (वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)
AP = AC (बाह्य बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं)
OA = OA (उभयनिष्ठ भुजा है)
Δ OPA = Δ OCA
∠ POA = ∠ AOC …….(1)
इसी प्रकार, बिन्दु B से वृत्त पर BQ और BC स्पर्श रेखाएँ हैं।
तब, Δ OQB तथा Δ OBC में,
OQ = OC ( वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)
BQ = BC (बिन्दु B से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं)
OB = OB (उभयनिष्ठ भुजा है)
Δ OQB ≅ Δ OBC
∠ BOQ = ∠ COB ……..(2)
⋅.⋅ ∠ POA + ∠ AOC + ∠ COB + ∠ BOQ = 180°
∴ ∠ AOC + ∠ AOC + ∠ COB + ∠ COB = 180°
[समीकरण (1) व समीकरण (2) से ]
∴ 2 (∠ AOC + ∠ COB) = 180°
∴ ∠ AOC + ∠ COB = 90°
अत: ∠ AOB = 90°
प्रश्न 10. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण का सम्पूरक होता है।
हल : दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त के बाहर एक बिन्दु P है। P से वृत्त पर PA तथा PB दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। स्पर्श रेखाओं के बीच का ∠ APB है। स्पर्श बिन्दुओं को रेखा AB मिलाती है जो वृत्त के केन्द्र पर ∠ AOB बनाती है।
सिद्ध करना है : ∠ APB, ∠ AOB का सम्पूरक है।
उपपत्ति : ⋅.⋅ OA वृत्त की त्रिज्या है और बाह्य बिन्दु P से PA स्पर्श रेखा है जो वृत्त को बिन्दु A पर स्पर्श करती है।
∴ ∠ OAP = 90° …….(1)
इसी प्रकार, OB वृत्त की त्रिज्या है और बाह्य बिन्दु P से PB वृत्त की स्पर्श रेखा है जो वृत्त को बिन्दु B पर स्पर्श करती है।
∴ ∠ OBP = 90° …….(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
∠ OAP + ∠ OBP = 180°
तब, चतुर्भुज OAPB में,
∠ AOB + ∠ OAP + ∠ OBP + ∠ APB = 360°
∴ ∠ AOB + 180° + ∠ APB = 360°
∴ ∠AOB + ∠ APB = 360° – 180° = 180°
⋅.⋅ ∠ AOB + ∠ APB= 180°
अत: ∠ APB, ∠ AOB का सम्पूरक है।
प्रश्न 11. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समान्तर चतुर्भुज, समचतुर्भुज होता है।
हल : दिया है : केन्द्र O वाले वृत्त के परिगत खींचा गया समान्तर चतुर्भुज ABCD जिसकी भुजाएँ वृत्त को क्रमश: P, Q, R और S बिन्दुओं पर स्पर्श करती हैं।
सिद्ध करना है : ABCD एक समचतुर्भुज है।
रचना : AC, OP और OQ को मिलाया।
उपपत्ति : चूँकि बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ लम्बाई में बराबर होती हैं,
प्रश्न 12. 4 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखण्ड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिन्दु D द्वारा BC विभाजित है) की लम्बाइयाँ क्रमशः 8 सेमी और 6 सेमी हैं। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।
हल: चित्र में ABC एक त्रिभुज है जिसके अन्तर्वृत्त का केन्द्र O है तथा अन्तर्वृत्त की त्रिज्याएँ OD = OE = OF = 4 सेमी हैं।
स्पर्श बिन्दु D से BC के खण्ड BD = 8 सेमी तथा DC = 6 सेमी है।
और यदि x − 7 = 0 तो x = 7
x का मान − 14 ऋणात्मक है जो लम्बाई नहीं हो सकता। अतः यह स्वीकार्य नहीं है।
तब, x = 7
∴ भुजा AB = x + 6 = 7 + 6 = 13 सेमी
तथा भुजा CA = x + 8 = 7 + 8 = 15 सेमी
अतः त्रिभुज की अन्य दो भुजाएँ AB व CA क्रमशः 13 सेमी व 15 सेमी हैं।
प्रश्न 13. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केन्द्र पर सम्पूरक कोण अन्तरित करती हैं।
हल: दिया है : केन्द्र O वाले वृत्त के परिगत चतुर्भुज ABCD खींचा गया है जिसकी भुजाएँ AB, BC, CD व DA वृत्त को क्रमश: बिन्दुओं M, P, Q व N पर स्पर्श करती हैं।
