UK Board 10th Class Math – Chapter 12 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल
UK Board 10th Class Math – Chapter 12 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल
UK Board Solutions for Class 10th Math – गणित – Chapter 12 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल
प्रश्नावली 12.1
प्रश्न 1. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 19 सेमी और 9 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।
हल : पहले वृत्त की त्रिज्या (r1) = 19 सेमी
अतः अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या = 28 सेमी।
प्रश्न 2. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 सेमी और 6 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
हल : पहले वृत्त की त्रिज्या (r1) = 8 सेमी
अतः अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या = 10 सेमी ।
प्रश्न 3. दी गई आकृति एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है, जिसमें केन्द्र से बाहर की ओर पाँच क्षेत्र GOLD, RED, BLUE, BLACK और WHITE चिह्नित हैं, जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं। GOLD अंक वाले क्षेत्र का व्यास 21 सेमी है तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 सेमी चौड़ी है। अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँचों क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 4. किसी कार के प्रत्येक पहिए का व्यास 80 सेमी है। यदि यह कार 66 किमी प्रति घण्टे की चाल से चल रही है तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाता है?
अतः 10 मिनट में कार का प्रत्येक पहिया 4375 चक्कर लगाएगा।
प्रश्न 5. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए-
यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है तो उस वृत्त की त्रिज्या है—
(A) 2 मात्रक
(B) π मात्रक
(C) 4 मात्रक
(D) 7 मात्रक
हल : माना वृत्त की त्रिज्या R है।
तब वृत्त का परिमाप (परिधि) = 2πR और वृत्त का क्षेत्रफल
= πR2
⋅.⋅ संख्यात्मक रूप से,
वृत्त का क्षेत्रफल = वृत्त का परिमाप
∴ πR2 = 2πR
∴ R = 2
(दोनों पक्षों को πR से भाग देने पर )
∴ वृत्त की त्रिज्या = 2 मात्रक
अत: विकल्प (A) सही है।
प्रश्नावली 12.2
प्रश्न 1. 6 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है।
प्रश्न 3. एक घड़ी की मिनट की सुई की लम्बाई 14 सेमी है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: ⋅.⋅ मिनट की सुई 1 घण्टे या 60 मिनट में लगाती है 1 पूरा चक्कर
प्रश्न 4. 10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंन्द्र पर एक समकोण अन्तरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए-
(i) संगत लघु वृत्तखण्ड (ii) संगत त्रिज्यखण्ड ( π = 3.14 का प्रयोग कीजिए ) |
= 3.14 × (10)2 − 28.5
= 314 − 28.5 = 285.5
अत: संगत दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 285.5 वर्ग सेमी।
प्रश्न 5. त्रिज्या 21 सेमी वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। ज्ञात कीजिए-
(i) चाप की लम्बाई, (ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल,
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ।
हल : ⋅.⋅ वृत्त की त्रिज्या ( r ) = 21 सेमी
चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण θ = 60°
अत: अभीष्ट वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 40.05 वर्ग सेमी।
प्रश्न 6. 15 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करती है । संगत लघु और दीर्घ वृत्तखण्डों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( π = 3.14 और √3 = 1.73 ) का प्रयोग कीजिए।
अतः लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 20.4375 वर्ग सेमी ।
तथा दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 686-0625 वर्ग सेमी।
प्रश्न 7. त्रिज्या 12 सेमी वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 120° का कोण अन्तरित करती है। संगत वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए। )
हल : वृत्त की त्रिज्या (r) = 12 सेमी तथा जीवा द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण θ = 120°
अत: अभीष्ट वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 88.44 वर्ग सेमी ।
प्रश्न 8. चित्र में 15 सेमी भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूँटे से एक घोड़े को 5 मीटर लम्बी रस्सी से बाँध दिया गया है। ज्ञात कीजिए-
(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।
(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि यदि घोड़े को 5 मीटर लम्बी रस्सी के स्थान पर 10 मीटर लम्बी रस्सी से बाँध दिया जाए। ( π = 3.14 का प्रयोग कीजिए। )
प्रश्न 9. एक वृत्ताकार ब्रूच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35 मिमी है। तारको वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखण्डों में विभाजित करता है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है तो ज्ञात कीजिए-
(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई
(ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
प्रश्न 10. एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगी हुई हैं। छतरी को 45 सेमी त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 11. किसी कार के दो वाइपर (Wipers) हैं, जो परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लम्बाई 25 सेमी है और 115° के कोण तक घूमकर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए ।
हल : प्रत्येक वाइपर की सफाई का क्षेत्र उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल होगा जिसकी त्रिज्या (r) = पत्ती की लम्बाई = 25 सेमी तथा त्रिज्यखण्ड का कोण θ = 115°
प्रश्न 12. जहाजों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए एक लाइट हाउस ( light house) 80° कोण वाले एक त्रिज्यखण्ड में 16.5 किमी की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए । जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके। ( π = 3.14 का प्रयोग कीजिए । )
अतः समुद्र के उस भाग, जहाँ जहाजों को चेतावनी दी जा सके, का क्षेत्रफल = 189.97 वर्ग किमी।
प्रश्न 13. एक गोल मेजपोश पर छह समान डिजाइन बने हुए हैं जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि मेजपोश की त्रिज्या 28 सेमी है तो 0.35 रु० प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिजाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.7 का प्रयोग कीजिए)
हल : मेजपोश के वृत्त की त्रिज्या (r) = 28 सेमी
⋅.⋅ सभी डिजाइनों के क्षेत्रफल समान हैं,
∴ प्रत्येक वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल और जीवाओं द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण θ समान हैं तथा प्रत्येक 60° है।
प्रश्न 14. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए-
त्रिज्या R वाले वृत के उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल जिसका कोण p° है, निम्नलिखित है-
प्रश्नावली 12.3
प्रश्न 1. दी गई आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 सेमी, PR = 7 सेमी तथा O वृत्त का केन्द्र है।
हल : ⋅.⋅ O वृत्त का केन्द्र है।
∴ QR व्यास है।
Δ PQR समकोणीय होगा क्योंकि अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है।
प्रश्न 2. दी गई आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केन्द्र O वाले दोनों संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 7 सेमी और 14 सेमी हैं तथा ∠ AOC = 40° है।
हल: बड़े वृत्त की त्रिज्या (r1) = 14 सेमी और छोटे वृत्त की त्रिज्या (r2) = 7 सेमी।
प्रश्न 3. दी गई आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 सेमी का एक वर्ग है तथा APD और BPC दो अर्द्धवृत्त हैं।
हल : वर्ग ABCD की भुजा = 14 सेमी
अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 42 वर्ग सेमी।
प्रश्न 4. दी गई आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ भुजा 12 सेमी वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष O को केन्द्र मानकर 6 सेमी त्रिज्या वाला एक वृत्तीय चाप खींचा गया है।
हल: समबाहु त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल
दीर्घ त्रिज्यखण्ड का कोण θ = 360° – 60° = 300° क्योंकि समबाहु त्रिभुज का अन्त: कोण 60° का होता है।
वृत्त की त्रिज्या (r) = 6 सेमी
प्रश्न 5. भुजा 4 सेमी वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 सेमी व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल : माना ABCD एक वर्ग है जिसकी प्रत्येक भुजा 4 सेमी है।
∴ वर्ग का क्षेत्रफल = 4 × 4 = 16 वर्ग सेमी
वृत्तों के चतुर्थांशों की त्रिज्या (r) = 1 सेमी
प्रश्न 6. एक वृत्ताकार मेजपोश, जिसकी त्रिज्या 32 सेमी है, में बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिजाइन बना हुआ है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल : Δ ABC समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠B = 60°
OB तथा OC वृत्ताकार मेजपोश की त्रिज्याएँ हैं।
प्रश्न 7. दी गई आकृति में, ABCD भुजा 14 सेमी वाला एक वर्ग है। A, B, C और D को केन्द्र मानकर, चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त तीन शेष वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल : वर्ग ABCD की भुजा = 14 सेमी
∴ वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = (भुजा)2
= (14 × 14)
= 196 वर्ग सेमी
चित्र से स्पष्ट है कि चारों वृत्तों के चतुर्थांश वर्ग ABCD में समाहित हैं।
अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 42 वर्ग सेमी।
प्रश्न 8. आकृति एक दौड़ने का पथ (racing track) दर्शाती है, जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्द्धवृत्ताकार हैं।
दोनों आन्तरिक समान्तर रेखाखण्डों के बीच की दूरी 60 मीटर है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखण्ड 106 मीटर लम्बा है। यदि यह पथ 10 मीटर चौड़ा है तो ज्ञात कीजिए :
(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी
(ii) पथ का क्षेत्रफल ।
प्रश्न 9. आकृति में, AB और CD केन्द्र O वाले एक वृत्त के दो परस्पर व्यास हैं तथा OD छोटे वृत्त काव्यास है । यदि OA = 7 सेमी है तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल : ⋅.⋅ बड़े वृत्त की त्रिज्या
OA = OD = छोटे वृत्त का व्यास
∴ छोटे वृत्त का व्यास = OD = OA = 7 सेमी
अतः सम्पूर्ण छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (38.5 + 28) = 66.5 वर्ग सेमी।
प्रश्न 10. एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 सेमी2 है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केन्द्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जा ता है छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73205 लीजिए)
प्रश्न 11. एक वर्गाकार रूमाल पर नौ वृत्ताकार डिजाइन बने हैं, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 7 सेमी है। ( आकृति देखिए )। रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या (r) = 7 सेमी
प्रश्न 12. दी गई आकृति में, OACB केन्द्र O और त्रिज्या 3.5 सेमी वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 सेमी है तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(i) चतुर्थांश OACB,
(ii) छायांकित भाग ।
हल : वृत्त की त्रिज्या (r) = 3.5 सेमी, OD = 2 सेमी
प्रश्न 13. दी गई आकृति में, एक चतुर्थांश OPBQ के अन्तर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20 सेमी है तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)
हल : वर्ग OABC की भुजा OA = 20 सेमी
प्रश्न 14. AB और CD केन्द्र O तथा त्रिज्याओं 21 सेमी और 7 सेमी वाले दो संकेन्द्रीय वृत्तों के क्रमशः दो चाप हैं। यदि ∠ AOB = 30° है तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल : चित्र में वाइपर केन्द्र O पर वृत्तीय गति करता है। वाइपर की कुल लम्बाई OB = 21 सेमी है। जिस भाग को वाइपर साफ नहीं करता, उस त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या OA = 7 सेमी है। वाइपर के घूमने का कोण θ = 30° है।
प्रश्न 15. दी गई आकृति में, ABC त्रिज्या 14 सेमी वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 98 वर्ग सेमी।
प्रश्न 16. दी गई आकृति में, छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो 8 सेमी त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।
हल : ध्यान दीजिए दो समान त्रिज्यखण्डों को मिलाने पर दी गई आकृति प्राप्त होती है और लूप परस्पर आच्छादित करते हैं।
