UK Board 10th Class Math – Chapter 5 समान्तर श्रेढी
UK Board 10th Class Math – Chapter 5 समान्तर श्रेढी
UK Board Solutions for Class 10th Math – गणित – Chapter 5 समान्तर श्रेढी
प्रश्नावली 5.1
प्रश्न 1. निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में सम्बद्ध संख्याओं की सूची A. P. है और क्यों ?
(i) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया 15 रु० है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया 8 रु० है।
(ii) किसी बेलन ( cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का 1/4 भाग बाहर निकाल देता है।
(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत 150 रु० है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत 50 रु० बढ़ती जाती है।
(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि 10000 रु० राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
हल: • (i) ⋅.⋅ टैक्सी के प्रथम किलोमीटर का किराया = 15 रु०
अगले प्रत्येक किमी का किराया = 8 रु०
∴ 2 किमी का किराया = 15 + 8 = 23 रु०
∴ 3 किमी का किराया = 23 + 8 = 31 रु०
∴ 4 किमी का किराया = 31 + 8 = 39 रु०
∴ a1 = 15, a2 = 23, a3 = 31, a4 = 39
दो क्रमागत पदों का अन्तर
a2 – a1 = 23 – 15 = 8 रु०
a3 – a2 = 31 – 23 = 8 रु०
a4 – a3 = 39 – 31 = 8 रु०
⋅.⋅ दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत है,
अत: किमी में टैक्सी का किराया A. P. में है ।
• (ii) माना बेलन में हवा का प्रारम्भिक आयतन = V
अतः कुआँ खोदने में आई लागत 150 रु०, 200 रु० 250 रु०, 300 रु०, ……. A. P. में हैं।
प्रश्न 2. दी हुई A. P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्वान्तर d निम्नलिखित हैं :
अतः दी गई A. P. के प्रथम चार पद : – 1·25, – 1·50, – 1·75 – 2·00
प्रश्न 3. निम्नलिखित में से प्रत्येक A. P. के लिए प्रथम मंद तथा सार्वान्तर लिखिए:
प्रश्न 4. निम्नलिखित में से कौन-कौन A. P. हैं? यदि कोई A. P. है तो इसका सार्वान्तर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए।
हल : यहाँ प्रत्येक अनुक्रम के प्रथम 4 पद ज्ञात हैं। यदि कोई अनुक्रम A. P. है तो उसके अगले तीन पद और ज्ञात करने हैं अर्थात् 5 वाँ, 6 ठा और 7 वाँ पद और ज्ञात करना है।
प्रश्नावली 5.2
प्रश्न 1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P. का प्रथम पद a, सार्वान्तर d और n वाँ पद an है :
प्रश्न 2. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य कीजिए :
प्रश्न 3. निम्नलिखित समान्तर श्रेढियों में रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 4. A.P. : 3, 8, 13, 18, …… का कौन-सा पद 78 है?
हल : दी गई A. P. : 3, 8, 13, 18
प्रश्न 5. निम्नलिखित समान्तर श्रेढियों में से प्रत्येक श्रेढी में कितने पद हैं?
प्रश्न 6. क्या A. P : 11, 8, 5, 2 का एक पद – 150 है? क्यों ?
प्रश्न 7. उस A. P. का 31 वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11 वाँ पद 38 है और 16 वाँ पद 73 है।
प्रश्न 8. एक A. P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अन्तिम पद 106 है। इसका 29 वाँ पद ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 9. यदि किसी A. P. के तीसरे और नौवें पद क्रमश: 4 और – 8 हैं तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?
प्रश्न 10. किसी A. P. का 17 वाँ पद उसके 10 वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 11. A. P. 3, 15, 27, 39, …… का कौन-सा पद उसके 54 वें पद से 132 अधिक होगा?
हल : माना अभीष्ट पद n वाँ पद है।
प्रश्न 12. दो समान्तर श्रेढियों का सार्वान्तर समान है। यदि इनके 100 वें पदों का अन्तर 100 है तो इनके 1000 वें पदों का अन्तर क्या होगा?
हल : ‘माना पहली A. P. का पहला पद a तथा सार्वान्तर d है और दूसरी A. P. का पहला पद A तथा सार्वान्तर d है क्योंकि सार्वान्तर समान है।
प्रश्न 13. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं ?
हल : तीन अंकों की संख्याओं की सूची :
प्रश्न 14. 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?
हल : 10 से बड़ा 4 का पहला गुणज = 12
250 से छोटा 4 का पहला गुणज = 248
अतः 10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्या = 60
प्रश्न 15. n के किस मान के लिए, दोनों समान्तर श्रेढियों 63, 65, 67, …… और 3, 10, 17, ,….. के n वें पद बराबर होंगे?
प्रश्न 16. वह A. P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7 वाँ पद 5 वें पद से 12 अधिक है।
प्रश्न 17. A. P. : 3, 8, 13, …….., 253 में अन्तिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 18. किसी A. P. के चौथे और 8 पदों का योग 24 है तथा छठे और 10 वें पदों का योग 44 है। इस A. P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
हल : माना A. P. का पहला पद a तथा सार्वान्तर d है।
प्रश्न 19. सुब्बाराव ने 1995 में 5000 रु० के मासिक वेतन पर कार्य आरम्भ किया और प्रत्येक वर्ष 200 रु० की वेतन वृद्धि प्राप्त उसका वेतन 7000 रु० हो गया?
हल: पहले वर्ष में प्रारम्भिक वेतन = 5000 रु० प्रति मास
दूसरे वर्ष में वेतन = 5000 + 200 = 5200 रु० प्रति मास
तीसरे वर्ष में वेतन = 5200 + 200 = 5400 रु० प्रति मास
इस प्रकार प्रत्येक वर्ष के वेतन (रु०)
5000, 5200, 5400, …….. एक समान्तर श्रेढी बनाते हैं।
जिसका पहला पद a = 5000 तथा सार्वान्तर d = 200
माना n वर्ष बाद वेतन 7000 रु० होगा
अतः 11 वें वर्ष में सुब्बाराव का वेतन 7000 रु० होगा।
प्रश्न 20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में 5 रु० की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत 1.75 रु० बढ़ाती गई। यदि n वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत 20.75 रु० हो जाती है तो ज्ञात कीजिए।
हल: प्रथम सप्ताह की बचत = 5 रु०
प्रत्येक सप्ताह की बचत में उत्तरोत्तर 1.75 रु० की वृद्धि होती है।
∴ प्रत्येक सप्ताह की बचतें एक A. P का निर्माण करती हैं जिसका पहला पद a = 5 तथा सार्वान्तर d = 1.75 रु०
प्रश्नावली 5.3
प्रश्न 1. निम्नलिखित समान्तर श्रेढियों का योग ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 2. नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 3. एक A. P. में,
(i) a = 5, d = 3 और an = 50 दिया है। n और Sn ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7 और a13 = 35 दिया है। d और S13 ज्ञात कीजिए।
(iii) a12 = 37 और d = 3 दिया है। n और S12 ज्ञात कीजिए।
(iv) a3 = 15 और S10 = 125 दिया है। d और a10 ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5 और S9 = 75 दिया है। a और a9 ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8 और S9 = 90 दिया है। n और an ज्ञात कीजिए ।
(vii) a = 8, an = 62 और Sn = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए ।
(viii) an = 4, d = 2 और Sn = – 14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n = 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए ।
(x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 4. 636 योग प्राप्त करने के लिए A. P. : 9, 17, 25, …… के कितने पद लेने चाहिए?
हल: दी गई A. P. : 9, 17, 25, ……..
प्रश्न 5. किसी A. P. का प्रथम पद 5, अन्तिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्वान्तर ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 6. किसी A. P. के प्रथम और अन्तिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्वान्तर 9 है तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?
प्रश्न 7. उस A. P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22 वाँ पद 149 है।
प्रश्न 8; उस A. P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
प्रश्न 9. यदि किसी A. P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है तो इसके प्रथम 7 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 10. दर्शाइए कि a1, a2, ……… , an, ……… से एक A. P. बनती है, यदि an नीचे दिए अनुसार परिभाषित है :
(i) an = 3 + 4 n
(ii) an = 9 – 5 n
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 11. यदि किसी A. P. के प्रथम n पदों का योग 4 n – n2 है तो इसका प्रथम पद ( अर्थात् S1 ) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10 वें और 7 वें पद ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 12. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हो ।
= 20 [12 + 234] = 20 × 246
= 4920
अतः 6 से विभाज्य प्रथम 40 धनं पूर्णांकों का योग = 4920
प्रश्न 13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए ।
हल : 8 से प्रथम 15 गुणजों की सूची :
अतः 8 के प्रथम 15 गुणजों का योगफल = 960
प्रश्न 14.0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
अतः शून्य और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योगफल = 625
प्रश्न 15 निर्माण कार्य से सम्बन्धित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलम्ब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है : पहले दिन के लिए 200 रु०, दूसरे दिन के लिए 250 रु०, तीसरे दिन के लिए 300 रु० इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से 50 रु० अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलम्ब कर देता है?
हल: पहले दिन के विलम्ब के लिए अर्थदण्ड – 200 रु०
दूसरे दिन के विलम्ब के लिए अर्थदण्ड – 250 रु०
तीसरे दिन के विलम्ब के लिए अर्थदण्ड 300 रु०
अतः ठेकेदार को जुर्माने के रूप में 27750 रु० देने होंगे।
प्रश्न 16. किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए 700 रु० की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से 20 रु० कम है तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए ।
∴ पहला पुरस्कार = 160 रु०, शेष पुरस्कार क्रम से 20-20 रु० कम है।
अत: पुरस्कार 160, 140, 120, 100, 80, 60, 40 रु० हैं ।
प्रश्न 17. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?
हल: ⋅.⋅ प्रत्येक कक्षा में तीन अनुभाग हैं।
कक्षा I द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 1 = 3
कक्षा II द्वारा लगाए गए कुल पेड़ 3 × 2 = 6
कक्षा III द्वारा लगाए गए कुल पेड़ 3 × 3 = 9
कक्षा IV द्वारा लगाए गए कुल पेड़ 3 × 4 = 12
अत: स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए कुल पेड़ = 284
प्रश्न 18. केन्द्र A से प्रारम्भ करते हुए, बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.6 सेमी, 1.0 सेमी, 1.5 सेमी, 2.0 सेमी, …… वाले उत्तरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है।
तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लम्बाई क्या है?
प्रश्न 19. 200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है : सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे, इत्यादि जैसा कि चित्र में प्रदर्शित है। ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे हुए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?
हल : सबसे निचली पंक्ति में 20 लट्ठे हैं।
अर्थात् नीचे से प्रारम्भ कर प्रथम पंक्ति में = 20 लट्ठे
दूसरी पंक्ति में = 19 लट्ठे
तीसरी पंक्ति में = 18 लट्ठे
चौथी पंक्ति में = 17 लट्ठे ……. इत्यादि
प्रश्न 20. एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारम्भिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 मीटर की दूरी पर है तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 मीटर की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं। जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारम्भ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती रहती है,. जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
हल : पहले आलू की बाल्टी से दूरी = 5 मीटर
दूसरे आलू की बाल्टी से दूरी = (5 + 3 ) = 8 मीटर
तीसरे आलू की बाल्टी से दूरी = (8 + 3) = 11 मीटर
चौथे आलू की बाल्टी से दूरी = (11 + 3) = 14 मीटर
इस प्रकार बाल्टी से आलुओं की दूरी A. P. में है जिसका
पहला पद a = 5 मीटर तथा सार्वान्तर d = 3 मीटर है।
एक बार बाल्टी चलकर आलू को उठाना होता है और उसे फिर वापस बाल्टी में डालना पड़ता है।
अतः प्रतियोगी द्वारा चली दूरी : = 370 मीटर।
प्रश्नावली 5.4 (ऐच्छिक)
प्रश्न 1. A. P. : 121, 117, 113, ……. का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा?
हल: दी गई A. P. : 121, 117, 113, ……..
a =121 तथा सार्वान्तर d = 117 – 121 = – 4
मान लिया n वाँ पद प्रथम ऋणात्मक पद होगा
या n < 32 क्योंकि n = एक पूर्णांक है।
अंतः 32 वाँ पद पहला ऋणात्मक पद होगा।
प्रश्न 2. किसी A. P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस A. P. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 3. एक सीढ़ी के क्रमागत डण्डे चित्र की भाँति परस्पर 25 सेमी की दूरी पर हैं। डण्डों की लम्बाई एक समान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डण्डे की लम्बाई 45 सेमी है और सबसे ऊपर वाले डण्डे की लम्बाई 25 सेमी है। यदि ऊपरी और निचले डण्डे के बीच की दूरी 2½ मीटर है तो डण्डों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लम्बाई की आवश्यकता होगी?
हल : ⋅.⋅ प्रथम व अन्तिम डण्डे के बीच की क्षैतिज दूरी
प्रश्न 4. एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है किx से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मा ज्ञात कीजिए।
हल : मकानों पर अंकित संख्याएँ : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……… , 47, 48, 49 हैं।
x एक ऐसी संख्या है कि x के एक ओर की संख्याओं का योग
= x के दूसरी ओर की संख्याओं का योग
अर्थात् 1 से x – 1 तक की संख्याओं का योग
= x + 1 से 49 तक की सभी संख्याओं का योग ।
अनुक्रम की सभी संख्याओं में सार्वान्तर d = 1 है।
तब से x – 1 तक की संख्याओं का योग
प्रश्न 5. एक फुटबाल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लम्बाई 50 मीटर है और वह ठोस कंक्रीट (concrete) की बनी है। प्रत्येक सीढ़ी में 1/4 मीटर की चढ़ाई है और 1/2 मीटर का फैलाव (चौड़ाई) है। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।
हल: प्रत्येक सीढ़ी की लम्बाई 50 मीटर चौड़ाई 1/2 मीटर है।
सीढ़ियों की संख्या 15 है। प्रत्येक सीढ़ी की जमीन से ऊँचाई एक समान्तर श्रेढी (A.P.) का अनुक्रम है जो निम्नवत् है :
अतः चबूतरे में लगी कंक्रीट का आयतन = 750 घन मीटर।