UK Board 10th Class Math – Chapter 6 त्रिभुज
UK Board 10th Class Math – Chapter 6 त्रिभुज
UK Board Solutions for Class 10th Math – गणित – Chapter 6 त्रिभुज
प्रश्नावली 6.1
प्रश्न 1. कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए :
(i) सभी वृत्त ………. होते हैं। ( सर्वांगसम, समरूप )
(ii) सभी वर्ग ………. होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम )
(iii) सभी ………….. त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु )
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (a) उनके संगत कोण ……. हों तथा (b) उनकी संगत भुजाएँ ……… हों। (बराबर, समानुपाती )
हल : (i) सभी वृत्त समरूप होते हैं।
(ii) सभी वर्ग समरूप होते हैं।
(iii) सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते है, यदि (a) उनके संगत कोण बराबर हों तथा (b) उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों।
प्रश्न 2. निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए :
(i) समरूप आकृतियाँ
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।
हल : • (i) समरूप आकृतियों के दो उदाहरण :
(1) संकेन्द्रीय वृत्त
(2) विभिन्न भुजाओं वाले सभी वर्ग अथवा समबाहु त्रिभुज अथवा समबहुभुज
• (ii) ऐसी आकृतियों के उदाहरण जो समरूप नहीं हैं :
(1) एक वर्ग तथा एक आयत (2) एक वर्ग तथा एक समचतुर्भुज
प्रश्न 3. बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं :
हल : चतुर्भुज PQRS तथा ABCD में,
अतः दो चतुर्भुजों की भुजाएँ समानुपात में हैं।
परन्तु देखने से ही प्रतीत होता है कि संगत कोण बराबर नहीं हैं।
अतः चतुर्भुज PQRS तथा चतुर्भुज ABCD समरूप नहीं हैं।
प्रश्नावली 6.2
प्रश्न 1. चित्र में, DE || BC है। चित्र (i) में EC और चित्र (ii) में AD ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 2. किसी Δ PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है :
प्रश्न 5. चित्र में DE || OQ और DF || OR है। दर्शाइए कि EF || QR है |
हल: दिया है: दी गई आकृति में DE || OQ तथा DF || OR है।
सिद्ध करना है : EF || QR
तब थेल्स प्रमेय के विलोम से, EF ||QR
प्रश्न 6. चित्र में क्रमश: OP, OQ और OR पर स्थित बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB || PQ और AC || PR है। दर्शाइए, कि BC || QR है।
हल: दिया है : दिए गए चित्र में रेखाखण्डों OP, OQ और OR पर क्रमश: बिन्दु A, B और C इस प्रकार स्थित हैं कि AB|| PQ और AC || PR है।
हल दिया है A ABC में ‘भुजा AB पर एक बिन्दु D है और भुजा BC पर दो बिन्दु E व F हैं। B रेखाखण्ड DF, DE व AE खींचे गए हैं। DE || AC है और DF || AE है |
BF BD
BE
तब स प्रमेय के विलोम से, EF || QR
AB || PQ
.. आनुपातिकता के आधारभूत प्रमेय से,
OA OB
इसी प्रकार A POR मैं,
AP BQ
या
AD AC
अब समीकरण (1) व (2) से,
सिद्ध करना है :
L
AC || PR
(दिया है)
.. आनुपातिकता के आधारभूत प्रमेय से,
प्रश्न 7. प्रमेय 1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के सामान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
हल: दिया है : Δ ABC की एक भुजा AB का मध्य बिन्दु D है। D से DE || BC खींची गई है जो AC की E पर काटती है।
सिद्ध करना है : E, AC का मध्य बिन्दु है।
उपपत्ति : ⋅.⋅D, AB का मध्य बिन्दु है।
अतः E, AC का मध्य बिन्दु है अथवा DE, AC को समद्विभाजित करती है।
प्रश्न 8. प्रमेय 2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है।
प्रश्नावली 6.3
प्रश्न 1. बताइए कि अग्र चित्र में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।
प्रश्न 14. एक त्रिभुज ABC की भुजा AB और AC तथा माध्यिका AD, एक अन्य त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं। दर्शाइए कि Δ ABC ~ PQR है।
प्रश्न 15. लम्बाई 6 मीटर वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लम्बाई 4 मीटर है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 28 मीटर है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल: दिया है: 6 मीटर लम्बे स्तम्भ CD की छाया DE = 4 मीटर प्राप्त होती है। उसी समय एक मीनार AB = h मीटर की छाया BE = 28 मीटर प्राप्त होती है।
प्रश्नावली 6.4
प्रश्न 1. मान लीजिए Δ ABC ~ Δ DEF है और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 सेमी2 और 121 सेमी2 हैं यदि EF = 15.4 सेमी2 हो तो BC ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 2. एक समलम्ब ABCD जिसमें AB || CD है, के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2CD हो तो त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 4. यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे सर्वागसम होते हैं।
प्रश्न 5. एक Δ ABC की भुजाओं AB, BC और CA के मध्य-बिन्दु क्रमश: D, E और F हैं। Δ DEF और Δ ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल: दिया है : ABC की भुजाओं BC, CA, AB के मध्य बिन्दु क्रमश : D, E, F हैं जिनको मिलाने से Δ DEF बना है।
प्रश्न 6. सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।
हल : दिया है : दो समरूप Δ ABC और Δ DEF हैं, जिनमें AP तथा AQ संगत माध्यिकाएँ हैं।
प्रश्न 7. सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
हल : दिया है : ABCD एक वर्ग है जिसकी एक भुजा AB तथा विकर्ण AC है। AB तथा AC पर समबाहु Δ ABE तथा Δ ACF बनाए गए हैं।
प्रश्न 8. ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिन्दु है । त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है :
प्रश्न 9. दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4 : 9 के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है :
(A) 2 : 3
(B) 4 : 9
(C) 81 : 16
(D) 16 : 81
हल : ⋅.⋅ दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = भुजाओं के अनुपात का वर्ग
= (4 : 9)2
= 16 : 81
अतः विकल्प (D) सही है।
प्रश्नावली 6.5
प्रश्न 1. कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारि कीजिए कि उनमें से कौन-कौन से समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लम्बाई भी लिखिए ।
(i) 7 सेमी, 24 सेमी, 25 सेमी
(ii) 3 सेमी, 8 सेमी, 6 सेमी
(iii) 50 सेमी, 80 सेमी, 100 सेमी
(iv) 13 सेमी, 12 सेमी, 5 सेमी
हल : ⋅.⋅ समकोण त्रिभुजों में सबसे बड़ी भुजा कर्ण का वर्ग शेष दोनों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
प्रश्न 2. PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिन्दु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है। दर्शाइए कि PM2 = QM. MR है।
हल : दिया है : समकोण त्रिभुज PQR में ∠P समकोण है तथा PM ⊥ QR है।
सिद्ध करना है: PM = PM2 = QM. MR
उपपत्ति: ⋅.⋅ समकोण त्रिभुज PQR में ∠P समकोण है और इसके समकोण वाले शीर्ष P से कर्ण QR पर लम्ब खींचा गया है।
प्रश्न 3. दी गई आकृति में ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है । दर्शाइए कि :
(i) AB2 = BC × BD
(ii) AC2 = BC × DC
(iii) AD2 = BD × CD
दिया है : Δ ABD में ∠ DAB = 90° तथा AC ⊥ BD
सिद्ध करना है :
(i) AB2 = BC × BD
(ii) AC2 = BC × DC
(iii) AD2 = BD × CD
प्रश्न 4. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB2 = 2AC2 है।
हल : दिया है : Δ ABC समद्विबाहु है जिसमें C = 90° तथा BC = AC
सिद्ध करना है : AB2 = 2AC2
उपपत्ति : समद्विबाहु समकोण Δ ABC में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
AB2 = AC2 + BC2
या AB2 = AC2 + (AC)2 [क्योंकि दिया है BC = AC]
या AB2 = AC2 + AC2
अत : AB2 = 2AC2
प्रश्न 5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AC = BC है। यदि AB2 = 2AC2 हो तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।
हल: दिया है : समद्विबाहु Δ ABC में,
AC = BC
और AB2 = 2AC2
सिद्ध करना है : Δ ABC एक समकोण त्रिभुज है।
उपपत्ति: ⋅.⋅ AB2 = 2AC2
∴ AB2 = AC2 + AC2
∴ AB2 = BC2 + AC2 (क्योंकि AC = BC)
∴ पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,
Δ ABC समकोण त्रिभुज होगा। उत्तर
प्रश्न 6. एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2 a है। उसके प्रत्येक शीर्षलम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
हल : ⋅.⋅ Δ ABC समबाहु त्रिभुज है। उसकी भुजा AB = 2 a,
BC = 2 a, CA = 2 a
उसके शीर्ष A से BC पर लम्ब AD खींचा गया है।
प्रश्न 7. सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग विकर्णों के योग के बराबर ‘होता है।
हल: दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है जिसमें AC तथा CD दो विकर्ण है जो परस्पर O पर काटते हैं।
प्रश्न 8. दी गई आकृति में Δ ABC के अभ्यन्तर में स्थित कोई बिन्दु O है तथा OD ⊥ BC, OE ⊥ AC और OF ⊥ AB है। दर्शाइए कि :
प्रश्न 9. 10 मीटर लम्बी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 मीटर की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल : दिया है : एक भवन में भूमि से 8 मीटर ऊँचाई पर एक खिड़की A है जिससे AB = 8 मीटर। सीढ़ी AC की लम्बाई 10 मीटर है जिसे खिड़की से लगाने पर उसका निचला सिरा भूमि पर बिन्दु C पर पड़ता है।
ज्ञात करना है : भवन से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी BC
गणना : समकोण त्रिभुज ABC में,
अतः भवन से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी = 6 मीटर। उत्तर
प्रश्न 10. 18 मीटर ऊँचे एक ऊर्ध्वाधर खम्भे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक . खूँटे से जुड़ा हुआ है। खम्भे के आधार से खूँटे को कितनी दूरी पर गाड़ा जाए कि तार तना रहे जबकि तार की लम्बाई 24 मीटर है।
हल : दिया है : माना क्षैतिज धरातल पर l एक सरल रेखा है जिसके किसी बिन्दु B पर एक खम्भा AB ऊर्ध्वाधर गड़ा है। एक तार जिसकी लम्बाई 24 मीटर है, का एक सिरा खम्भे के शिखर A से बँधा है। तार का दूसरा सिरा धरातल पर गड़े एक खूंटे C से बँधा गया है। तार तना रहता है।
ज्ञात करना है : खम्भे के सिरे B की खूंटे C से दूरी BC
विश्लेषण : : माना खम्भे के आधार B से खूँटे की दूरी BC = x मीटर है।
प्रश्न 11. एक हवाईजहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 किमी प्रति घण्टा की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाईजहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 किमी प्रति घण्टा की चाल से उड़ता है। 1½ घण्टे के बाद दोनों हवाईजहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी?
हल : पहले हवाईजहाज द्वारा हवाई अड्डे से उत्तर दिशा में 1½ घण्टे में चली दूरी
प्रश्न 12. दो खम्भे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 मीटर और 11 मीटर हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके निचले सिरों के बीच की दूरी 12 मीटर हो तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल : दिया है : AB = 6 मीटर तथा CD = 11 मीटर लम्बाई के दो खम्भे मैदान में खड़े हैं जिनके निचले सिरों B और D के बीच की दूरी BD = 12 मीटर है।
ज्ञात करना है : ऊपरी सिरों के बीच की दूरी AC
रचना : A से CD पर लम्ब AE खींचा।
प्रश्न 13. एक Δ ABC जिसका ∠C समकोण है की भुजाओं CA और CB पर क्रमश: बिन्दु D और E पर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि AE2 + BD2 = AB2 + DE2 है।
हल : दिया है : समकोण त्रिभुज ABC जिसमें ∠C समकोण है। बिन्दु D और E क्रमशः भुजाओं CA व CB पर स्थित हैं।
प्रश्न 14. किसी Δ ABC के शीर्ष A से भुजा BC पर डाला गया लम्ब BC को बिन्दु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है। सिद्ध कीजिए कि 2AB2 = 2AC2 + BC2 है।
हल : दिया है : Δ ABC में आधार BC पर शीर्ष A से AD लम्ब इस प्रकार डाला गया है कि BD = 3CD
प्रश्न 15. किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = 1/3 BC है। सिद्ध कीजिए कि 9AD2 = 7AB2 है।
प्रश्न 16. Δ PQR में, QM ⊥ PR और PR2 − PQ2 = QR2 है। सिद्ध कीजिए कि QM2 = PM × MR है।
हल: दिया है : Δ PQR में QM ⊥ PR
प्रश्न 17. किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलम्ब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
हल : दिया है : ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी एक भुजा AB है। शीर्ष A से आधार BC तक शीर्ष लम्ब AD खींचा गया है।
अभ्यास 6.6 (ऐच्छिक)
प्रश्न 3. दी गई आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ ABC > 90° तथा AD⊥ CBहै। सिद्ध कीजिए कि AC2 = AB2 + BC2 + 2BC. BD है।
प्रश्न 4. दी गई आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ ABC < 90° है तथा AD⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि AC2 = AB2 + BC2− 2BC. BD है।
प्रश्न 5. दी गई आकृति में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM⊥ BC है । सिद्ध कीजिए कि :
प्रश्न 6. सिद्ध कीजिए कि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल : दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है :
AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2
रचना : A से BD पर AE तथा C से BD पर CF लम्ब खींचा।
उपपत्ति : ⋅.⋅ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है और AC तथा BD उसके विकर्ण हैं जो परस्पर O पर काटते हैं।
∴ AO = OC तथा OB = OD तथा AB = CD
प्रश्न 7. दी गई आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध कीजिए कि
(i) Δ APC ~ Δ DPB
(ii) AP.PB = CP.DP
प्रश्न 8. दी गई आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि :
(i) Δ PAC ~ Δ PDB
(ii) PA.PB = PC.PD
हल : दिया है : AB और CD एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं जो बढ़ाने पर एक-दूसरे को वृत्त के बाहर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है :
(i) Δ PAC ~ Δ PDB
(ii) PA.PB = PC.PD
रचना : रेखाखण्ड AC व BD को पूरा किया।
उपपत्ति: (i) ⋅.⋅ चतुर्भुज ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है और ∠ PAC उसका बहिष्कोण है।
प्रश्न 10. नाज़िमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 मीटर ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी की सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाज़िमा से दूरी 3.6 मीटर है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी की सतह पर स्थित बिन्दु से उसकी दूरी 2.4 मीटर है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी ( उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक ) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है? यदि वह डोरी को 5 सेमी / से की दर से अन्दर खींचे तो 12 सेकण्ड के बाद नाज़िमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी?
हल: चित्र में नाजिमा की मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा A पानी की सतह से 1.8 मीटर ऊँचाई पर है जिससे AC = 1.8 मीटर है। डोरी AB के सिरे B पर एक काँटा है जिसकी बिन्दु C से दूरी BC = 2.4 मीटर है और नाजिमा से B की दूरी BD = 3.6 मीटर है।
