UK Board 10th Class Math – Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति
UK Board 10th Class Math – Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति
UK Board Solutions for Class 10th Math – गणित – Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति
प्रश्नावली 7.1
प्रश्न 1. बिन्दुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए :
(i) (2, 3), (4, 1)
(ii) (– 5, 7), (1, 3)
(iii) (a, b), (– a, – b)
प्रश्न 2. बिन्दुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए | क्या अब आप अनुच्छेद 7:2 में दिए दोनों शहरों A व B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?
प्रश्न 3. निर्धारित कीजिए कि क्या बिन्दु (1, 5) (2, 3) और (- 2, – 11) संरेखी हैं?
हल : दिए हुए बिन्दु माना P = (1, 5), Q = ( 2, 3 ) तथा R = (−2, – 11) हैं।
प्रश्न 4. जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु (5 – 2) (6, 4) और (7, 2), एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल : माना दिए हुए बिन्दु P = ( 5 – 2 ), Q = (6, 4) और R = (7, – 2) हैं।
अतः दिए गए बिन्दु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
प्रश्न 5. किसी कक्षा में, चार मित्र बिन्दुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसा कि अग्र आकृति में दर्शाया गया है। चम्पा और चमेली कक्षा के अन्दर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चम्पा चमेली से पूछती है, ‘क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?’ चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें कौन सही है?
हल : आकृति से बिन्दुओं A, B, C व D के निर्देशांक क्रमश: (3, 4), (6, 7), (9, 4), (6, 1) हैं।
चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाएँ AB, BC, CD, DA परस्पर बराबर हैं और चतुर्भुज के विकर्ण AC व BD भी बराबर हैं।
अत: चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है।
प्रश्न 6. निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो ) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए ।
⋅.⋅ बिन्दुओं P, Q, R, S से बने चतुर्भुज PQRS में PQ = RS तथा QR = SP अर्थात् सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।
अतः चतुर्भुज PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
प्रश्न 7. X– अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (2, – 5) और (- 2, 9) से समदूरस्थ है।
हल : माना X– अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु के निर्देशांक (h, 0) है (क्योंकि X– अक्ष के लिए y – निर्देशांक शून्य होता है ) ।
प्रश्न 8. y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिन्दु P (2, – 3) और Q (10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
प्रश्न 9. यदि Q (0, 1) बिन्दुओं P (5, – 3 ) और R (x, 6) से समदूरस्थ है तो x के मान ज्ञात कीजिए । दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 10. x और y में एक ऐसा सम्बन्ध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (x, y) बिन्दुओं ( 3, 6) और ( – 3, 4) से समदूरस्थ हो ।
प्रश्नावली 7.2
प्रश्न 1. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिन्दुओं (- 1, 7) और (4, – 3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
प्रश्न 2. बिन्दुओं ( 4, – 1) और ( – 2, – 3) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
हल : माना A = (4 – 1) तथा B = ( – 2, – 3 ) दिए गए बिन्दु हैं
माना बिन्दु P (x, y) तथा Q (x‘, y’ ) AB को समत्रिभाजित करते हैं।
प्रश्न 3. आपके स्कूल में खेल-कूद क्रिया- कलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चूने से परस्पर 1 मीटर की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं। AD के अनुदिश परस्पर 1 मीटर की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के 1/4 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झण्डा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के 1/5 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झण्डा गाड़ देती है। दोनों झण्डों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झण्डा इन दोनों झण्डों को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर ठीक आधी दूरी (बीच में ) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झण्डा कहाँ गाड़ना चाहिए?
प्रश्न 4. बिन्दुओं (- 3, 10) और (6, – 8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (- 1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है।
हल : माना बिन्दुओं (- 3, 10) और (6, – 8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (- 1, 6) m1 : m2 में विभक्त करता है, तब
प्रश्न 5. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A (1, – 5) और B ( – 4, 5) को मिलाने वाला रेखाखण्ड X– अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 6. यदि बिन्दु (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5) इसी क्रम में लेने पर, एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल : माना A ≡ (1, 2), B ≡ ( 4, y), C ≡ (x, 6 ) तथा D ≡ (3, 5)
यदि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तो इसके विकर्ण AC तथा BD परस्पर समद्विभाजित करेंगे।
प्रश्न 7. बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केन्द्र (2, – 3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।
प्रश्न 8. यदि A और B क्रमश: ( – 2, – 2) और (2, – 4) हों तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = 3/7 AB हो और P रेखाखण्ड AB पर स्थित हो।
प्रश्न 9. बिन्दुओं A (- 2, 2) और B (2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
हल : माना बिन्दु A = ( – 2, 2) तथा B = (2, 8)
तब, रेखाखण्ड AB को दो बराबर भागों में बाँटने वाले बिन्दु Q के निर्देशांक = मध्य बिन्दु के निर्देशांक
प्रश्न 10. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (3, 0), ( 4, 5), (- 1, 4) और ( – 2, – 1) हैं।
प्रश्नावली 7.3
प्रश्न 1. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं :
प्रश्न 2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में ” का मान ज्ञात कीजिए ताकि तीनों बिन्दु संरेखी हों :
परन्तु यदि उक्त बिन्दु A, B, C संरेख हों तो Δ ABC का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
परन्तु यदि उक्त बिन्दु A, B, C संरेख हैं तो Δ ABC का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए ।
∴ – 3 k + 9 = 0 ⇒ k = 3
अतः k का मान = 3
प्रश्न 3. शीर्षों (0, – 1), ( 2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य – बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए ।
∴ शीर्षो (0, – 1), (2, 1 ) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1 वर्गमात्रक।
पुनः दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = 1 : 4
प्रश्न 4. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, ( – 4, – 2), (- 3, – 5), (3, – 2) और (2, 3) हैं।
हल : माना शीर्ष A ≡ ( – 4, – 2); B ≡ (3, – 5); C ≡ (3, – 2 ) तथा D ≡ (2, 3) हैं।
अत: अभीष्ट चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 28 वर्ग मात्रक ।
प्रश्न 5. कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9, उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A (4, – 6), B (3, – 2) और C (5, 2) हैं।
इस प्रकार माध्यिका AD, Δ ABC को दो त्रिभुजों (Δ ABD व Δ ACD) में विभक्त करती है।
Δ ABC का क्षेत्रफल
अतः स्पष्ट है कि Δ ABC की माध्यिका AD, Δ ABC को दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुज ABD व त्रिभुज ACD में विभक्त करती है।
प्रश्नावली 7.4 (ऐच्छिक)
प्रश्न 1. बिन्दुओं A (2, – 2) और B (3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को रेखा 2x + y – 4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है, उसे ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 2. x और y में एक सम्बन्ध ज्ञात कीजिए यदि बिन्दु (x, y), (1, 2) और (7, 0) संरेखी हैं।
प्रश्न 3. बिन्दुओं (6, – 6), (3, – 7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केन्द्र ज्ञात कीजिए ।
हल : माना A (6, – 6), B (3, – 7) तथा C (3, 3) बिन्दु एक – वृत्त की परिधि पर हैं और वृत्त का केन्द्र O (h, k) है।
प्रश्न 4. किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (- 1, 2) और (3, 2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 5. कृष्णानगर के एक सेकेण्डरी स्कूल के कक्षा X के विद्यार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए एक आयताकार भूखण्ड दिया गया है। गुलमोहर की पौध (sapling ) को परस्पर 1 मीटर की दूरी पर इस भूखण्ड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है। इस भूखण्ड के अन्दर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। विद्यार्थियों को भूखण्ड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं।
(i) A को मूलबिन्दु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि मूलबिन्दु C हो तो ΔPQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे?
साथ ही उपर्युक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?
हल : चित्र देखिए । बिन्दुओं P, Q व R से सम्मुख अक्षों पर लम्ब खींचे गए हैं
प्रश्न 7. मान लीजिए A (4, 2), B (6, 5) और C (1, 4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं।
(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है। बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
(ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP : PD 2 : 1 हो।
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : QE = 2:1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो।
(iv) आप क्या देखते हैं?
[ नोट- वह बिन्दु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केन्द्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
प्रश्न 8. बिन्दुओं A ( – 1, – 1), B(- 1, 4), C ( 5, 4) और D (5, – 1) से एक आयत ABCD बनता है । P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं। क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक समचतुर्भुज है? सकारण उत्तर दीजिए।
हल : A ≡ (- 1, – 1), B ≡ (- 1, 4), C ≡ (5, 4), D ≡ (5, – 1)
⋅.⋅ चतुर्भुज PQRS में, PQ = QR = RS = SP और विकर्ण PR ≠ विकर्ण QS
अत: चतुर्भुज PQRS -एक समचतुर्भुज है।