UK Board 10th Class Math – Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय
UK Board 10th Class Math – Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय
UK Board Solutions for Class 10th Math – गणित – Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय
प्रश्नावली 8.1
प्रश्न 1. Δ ABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 सेमी और BC = 7 सेमी है। निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए-
(i) sin A, cos A
(ii) sin C, cos C
हल: समकोण Δ ABC बनाया जिसमें ∠B = 90° है
तब पाइथागोरस प्रमेय से,
प्रश्न 2. चित्र में, tan P – cot R का मान ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 3. यदि sin A =3/4 तो cos A और tan A का मान परिकलित कीजिए।
प्रश्न 4. यदि 15 cot A = 8 हो तो sin A और sec A का मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 5. यदि sec θ = 13/12 हो तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।
प्रश्न 11. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य । कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए ।
(i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।
(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = 12/5
(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
(iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।
(v) किसी भी कोण 8 के लिए sin θ = 4/3
∴ tan A का मान 1 से कम तभी हो सकता है जब ∠A की सम्मुख भुजा, ∠A की आधार भुजा से छोटी हो ।
परन्तु ऐसा सदैव होना आवश्यक नहीं है।
अतः कथन “tan A का मान सदैव 1 से कम होता है” असत्य है।
परन्तु कर्ण, समकोण त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा होती है।
अतः दिया गया कथन असत्य है।
प्रश्नावली 8.2
प्रश्न 1. निम्नलिखित के मान निकालिए:
प्रश्न 2. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए :
प्रश्न 4. बताइए कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए ।
(i) sin (A + B) = sin A + sin B.
(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cos θ
(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।
∴ θ का मान बढ़ने पर sin θ का मान भी बढ़ता है परन्तु यह θ = 90° तक ही सही है, आगे नहीं ।
अतः दिया गया कथन सत्य है।
प्रश्नावली 8.3
प्रश्न 1. निम्नलिखित का मान निकालिए :
प्रश्न 2. दिखाइए कि :
प्रश्न 3. यदि tan 2A = cot (A – 18° ), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है तो A का मान ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 4. यदि tan A = cot B तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°
हल : ⋅.⋅ tan A = cot B
∴ tan A = tan (90° – B)
[सूत्र : cot θ = tan (90 – θ) से ]
∴ A = 90° – B
∴ A + B = 90° [ पक्षान्तरण द्वारा ]
अंतः स्पष्ट है कि tan A = cot B होने पर A + B = 90° होगा।
प्रश्न 5. यदि sec 4 A = cosec (A – 20°), जहाँ 4 A एक न्यूनकोण है तो A का मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 6. यदि A, B और C त्रिभुज ABC के अन्तःकोण हों तो दिखाइए कि :
हल : यदि A, B और C त्रिभुज ABC के अन्त: कोण हों तो
हम जानते हैं कि त्रिभुज के अन्तःकोणों का योग = 180°
प्रश्न 7. sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए ।
प्रश्नावली 8.4
प्रश्न 1. त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए ।
हल : ⋅.⋅ हम जानते हैं cot A और cosec A में सम्बन्ध ‘cosec2 A = 1 + cot2 A‘ है और cosec A और sin A में सम्बन्ध प्रतिलोम का है।
प्रश्न 2. ∠A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।
प्रश्न 3. मान निकालिए :
प्रश्न 4. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए—
(i) 9 sec² A – 9 tan² A बराबर है –
(A) 1
(B) 9
(C) 8
(D) 0
(ii) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ) बराबर है –
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) – 1
(iii) (sec A + tan A) (1 – sin A) बराबर है –
(A) sec A
(B) sin A
(C) cosec A
(D) cos A
प्रश्न 5. निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यूनकोण हैं-
