UK Board 9th Class Math – Chapter 11 रचनाएँ
UK Board 9th Class Math – Chapter 11 रचनाएँ
UK Board Solutions for Class 9th Math – गणित – Chapter 11 रचनाएँ
प्रश्नावली 11.1
प्रश्न 1. एक दी हुई किरण के प्रारम्भिक बिन्दु पर 90° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए ।
हल : दिया है : AB एक दी हुई किरण है जिसका प्रारम्भिक बिन्दु A है।
रचना करनी है : किरण AB के बिन्दु A पर 90° के कोण की ।
विश्लेषण : हम 60° का कोण बना सकते हैं। इस कोण के साथ 60° का एक संलग्न कोण बनाकर उसे समद्विभाजित करें और इसमें जोड़ दें तो 90° का कोण प्राप्त होगा।
रचना :
(1) किरण AB खींची।
(2) A को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या का चाप खींचा जो किरण AB को बिन्दु P पर काटता है।
(3) अब P को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का एक चाप खींचा जो पहले चाप को बिन्दु Q पर काटता है। ∠PAQ = 60° है।
(4) पुनः Q को केन्द्र मानकर उसी (AP) त्रिज्या से एक अन्य चाप खींचा जो पहले चाप को बिन्दु R पर काटे । ∠QAR = 60° है।
(5) बिन्दु Q तथा R को केन्द्र मानकर चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु C पर काटते हैं। रेखाखण्ड CA खींचा। ∠CAQ = 30° है।
इस प्रकार ∠CAB = 60° + 30° = 90° हुआ।
अतः ∠CAB अभीष्ट कोण है।
प्रश्न 2. एक दी हुई किरण के प्रारम्भिक बिन्दु पर 45° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए ।
हल : दिया है : OP एक दी हुई किरण है जिसका प्रारम्भिक बिन्दु O है।
रचना करनी है : किरण OP के बिन्दु O पर 45° के कोण की ।
अत: 90° का कोण बनाकर उसे समद्विभाजित करके 45° का कोण प्राप्त होगा।
रचना : (1) किरण OP खींची।
(2) O को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या OA का एक चाप लगाया जो किरण OP को A पर काटता है।
(3) A को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का एक चाप खींचा जो पहले चाप को B पर काटता है।
(4) B को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का एक अन्य चाप खींचा जो केन्द्र O वाले चाप को C पर काटता है।
(5) B तथा C को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या के चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु R पर काटते हैं। रेखाखण्ड OR खींचा जो चाप BC को D पर काटता है। ∠POR = 90° है।
(6) बिन्दुओं A तथा D को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या के दो चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु Q पर काटते हैं। रेखाखण्ड OQ खींचा। ∠POQ = 45° क्योंकि OQ ∠POR = 90° का समद्विभाजक है।
अत: ∠POQ अभीष्ट कोण है।
प्रश्न 3. निम्नलिखित मापों के कोणों की रचना कीजिए :
प्रश्न 4. निम्नलिखित कोणों की रचना कीजिए और चाँदे द्वारा मापकर पुष्टि कीजिए :
प्रश्न 5. एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जब इसकी भुजा दी हो तथा कारण सहित रचना कीजिए ।
हल : दिया है : समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC
रचना करनी है : समबाहु त्रिभुज ABC की।
रचना : (1) रेखाखण्ड BC दी गई माप का खींचा।
(2) B तथा C को केन्द्र मानकर BC त्रिज्या के दो चाप लगाए जो परस्पर A पर काटते हैं।
(3) रेखाखण्ड AB तथा AC खींचे।
त्रिभुज ABC अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।
उपपत्ति: ·.· AB = BC और AC = BC ⇒ AB = BC = AC
∴ त्रिभुज ABC समबाहु ही है।
प्रश्नावली 11.2
प्रश्न 1. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें BC = 7 सेमी, ∠B = 75° और AB + AC = 13 सेमी हो ।
हल : दिया है : Δ ABC में BC = 7 सेमी, ∠B = 75° और AB + AC = 13 सेमी है।
रचना करनी है : उपर्युक्त Δ ABC की।
रचना : (1) एक किरण BX खींचकर उसमें से रेखाखण्ड BC = 7.0 सेमी काटा।
(2) BC के बिन्दु B से BC पर ∠CBY = 75° बनाया।
(3) BY में से BD = 13 सेमी काटा।
(4) CD को मिलाया और उसका लम्ब समद्विभाजक खींचा जिसने BD को बिन्दु A पर काटा।
(5) रेखाखण्ड AC खींचा।
Δ ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
प्रश्न 2. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें BC = 8 सेमी, ∠B = 45° और AB – AC = 3.5 सेमी हो ।
हल : दिया है : ABC एक त्रिभुज है जिसमें BC = 8 सेमी, ∠B = 45° व AB – AC = 3.5 सेमी है।
रचना करनी है : उपर्युक्त Δ ABC की ।
रचना : (1) एक रेखाखण्ड BC = 8.0 सेमी खींचा।
(2) बिन्दु B BC पर ∠XBC = 45° बनाया।
(3) BX में से BD = 3.5 सेमी काटा।
(4) CD को मिलाया।
(5) CD का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो बढ़ी हुई BD को A पर काटता है।
(6) AC को मिलाया।
Δ ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
प्रश्न 3. एक त्रिभुज PQR की रचना कीजिए जिसमें QR = 6 सेमी, ∠Q = 60° और PR – PQ = 2 सेमी हो ।
हल : दिया है : ΔPQR में, QR = 6 सेमी, ∠Q = 60° भुजा PQ < PR और PR – PQ = 2 सेमी है।
रचना करनी है : उपर्युक्त Δ ABC की ।
रचना : (1) रेखाखण्ड QR = 6 सेमी खींचा।
(2) Q से QR पर ∠XQR = 60° बनाया।
(3) XQ को आगे बढ़ाया और उसमें से QS = (PR – PQ) या 2 सेमी काट लिया।
(4) SR को मिलाया ।
(5) SR का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो OX को P पर काटता है।
(6) रेखाखण्ड PR खींचा।
Δ PQR अभीष्ट त्रिभुज है।
प्रश्न 4. एक त्रिभुज XYZ की रचना कीजिए, जिसमें ∠Y = 30°, ∠Z = 90° और XY + YZ + ZX = 11 सेमी हो ।
हल : दिया है : ΔXYZ में, ∠Y = 30°, ∠Z = 90° है तथा XY + YZ + ZX = 11 सेमी है।
रचना करनी है : उपर्युक्त ΔXYZ की ।
रचना : (1) त्रिभुज की परिमाप (XY + YZ + ZX) = 11 सेमी के बराबर माप का रेखाखण्ड PQ खींचा।
(2) P पर ∠RPQ = 30° व Q पर ∠SQP = 90° दिए हुए आधार कोण बनाए ।
(3) ∠RPQ व ∠SQP के समद्विभाजक खींचे जो परस्पर शीर्ष X पर काटते हैं।
(4) PX का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो PQ को Y पर काटता है।
(5) QX का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो PQ को Z पर काटता है।
(6) XY और XZ को मिलाया।
Δ XYZ अभीष्ट त्रिभुज है।
प्रश्न 5. एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका आधार 12 सेमी और कर्ण व अन्य भुजा का योग 18 सेमी हो ।
हल: दिया है : समकोण Δ ABC में आधार BC = 12 सेमी, ∠C = 90° तथा कर्ण AB व एक अन्य भुजा AC का योग 18 सेमी हो।
रचना करनी है : उपर्युक्त समकोण Δ ABC की।
रचना : (1) रेखाखण्ड BC = 12 सेमी खींचा।
(2) बिन्दु C से BC पर ∠BCX = 90° बनाया।
(3) CX में से CD = (AB + AC) = 18 सेमी काट लिया।
(4) रेखाखण्ड BD खींचा।
(5) BD का लम्ब समद्विभाजक खींचा जिसने CD को बिन्दु A पर काटा।
(6) रेखाखण्ड AB खींचा।
Δ ABC अभीष्ट त्रिभुज है।