UK Board 9th Class Math – Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
UK Board 9th Class Math – Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
UK Board Solutions for Class 9th Math – गणित – Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
प्रश्नावली 13.1
प्रश्न 1. 1.5 मीटर लम्बा 1.25 मीटर चौड़ा और 65 सेमी गहरा प्लास्टिक का एक डिब्बा बनाया जाना है। इसे ऊपर से खुला रखना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानते हुए निर्धारित कीजिए :
(i) डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल।
(ii) इस शीट का मूल्य, यदि 1 मीटर2 शीट का मूल्य 20 रुपये है।
हल : (i) प्लास्टिक के डिब्बे की लम्बाई (l) = 1.5 मीटर,
चौड़ाई (b) = 1.25 मीटर
तथा ऊँचाई h = 65 सेमी या 0.65 मीटर
·.· डिब्बा ऊपर से खुला है; अत: इसमें 1 फलक कम होगा।
अतः डिब्बे का पृष्ठ
= सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल-ऊपरी फलक का क्षेत्रफल
= 2 (lb + bh + hl) – (l × b)
= 2[(1.5 × 1.25) + (1.25 × 0.65)
+ (0.65 × 1.5) ] – ( 1.5 × 1.25)
= 2[1.875 + 0.8125 + 0.975] – 1.875
= 2[3.6625] – 1.875
= 7.325 – 1.875
= 5.45 वर्ग मीटर
अतः डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल = 5.45 वर्ग मीटर । उत्तर
(ii) प्लास्टिक शीट का मूल्य = शीट का क्षेत्रफल × मूल्य-दर
= ( 5.45 × 20 ) रुपये
= 109.00 रुपये
अतः आवश्यक प्लास्टिक शीट का मूल्य = 109 रुपये। उत्तर
प्रश्न 2. एक कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 5 मीटर, 4 मीटर और 3 मीटर हैं। 7.50 रुपये प्रति मीटर2 की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल : कमरे की लम्बाई (l) = 5 मीटर, चौड़ाई (b) = 4 मीटर व ऊँचाई (h) = 3 मीटर
∴ कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल = परिमाप × ऊँचाई
= 2 (l + b) × h
= 2 (5 + 4) × 3 वर्ग मीटर
= 18 × 3 वर्ग मीटर
= 54 वर्ग मीटर
और छत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= (5 × 4) = 20 वर्ग मीटर
∴ जिस भाग में सफेदी करानी है, उसका क्षेत्रफल
= ( 54 + 20 ) वर्ग मीटर
= 74 वर्ग मीटर
∴ कमरे में सफेदी कराने का व्यय = क्षेत्रफल × मूल्य-दर
= 74 वर्ग मीटर × 7.50 रु० प्रति वर्ग मीटर
= 555 रु०
अत: कमरे में सफेदी कराने का व्यय = 555 रु० । उत्तर
प्रश्न 3. किसी आयताकार हॉल के फर्श की परिमाप 250 मीटर है। यदि 10 रुपये प्रति मीटर की दर से चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत 15,000 रुपये है तो इस हॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल : माना हाल की ऊँचाई h मीटर है।
हाल की परिमाप = 250 मीटर
∴ हाल की चारों दीवारों का क्षेत्रफल = हाल की परिमाप × ऊँचाई
प्रश्न 4. किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट 9.375 मीटर2 के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस डिब्बे के पेंट से 22.5 सेमी × 10 सेमी × 7.5 सेमी विमाओं वाली कितनी ईंट पेंट की जा सकती हैं?
प्रश्न 5. एक घनाकार डिब्बे का एक किनारा 10 सेमी लम्बाई का है तथा एक अन्य घनाभाकार डिब्बे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 12.5 सेमी, 10 सेमी और 8 सेमी हैं।
(i) किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है?
(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और कितना कम है?
हल: (i) घनाकार डिब्बे का पार्श्व- पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × भुजा2
= 4 × (10)2 = 400 वर्ग सेमी
घनाभाकार डिब्बे का पार्श्व-पृष्ठीय क्षेत्रफल = परिमाप × ऊँचाई
= 2(12.5 + 10) × 8
= 16 × 22.5
= 360.0 वर्ग सेमी
अतः स्पष्ट है कि घनाकार डिब्बे का पृष्ठ ( 400 – 360 ) = 40 वर्ग सेमी अधिक है। उत्तर
(ii) घनाकार डिब्बे का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × भुजा2
= 6 × (10)2 = 600 वर्ग सेमी
घनाभाकार डिब्बे का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)
= 2 ( 12.5 × 10) + (10 × 8) + (8 × 12.5)]
= 2[125 + 80 + 100]
= 2 × 305
= 610 वर्ग सेमी
अतः स्पष्ट है कि घनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (610 – 600) = 10 वर्ग सेमी कम है। उत्तर
प्रश्न 6. एक छोटा पौधा घर (green house) सम्पूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों से ( आधार भी सम्मिलित है ) घर के अन्दर ही बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है। यह पौधा-घर 30 सेमी लम्बा, 25 सेमी चौड़ा और 25 सेमी ऊँचा है।
(i) इसमें प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल क्या है?
(ii) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता है?
हल : (i) पौधा घर की लम्बाई (l) = 30 सेमी,
चौड़ाई (b) = 25 सेमी व ऊँचाई (h) = 25 सेमी।
∴ पौधा-घर (ग्रीन हाउस) का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2(lb + bh + hl)
= 2[(30 × 25) + (25 × 25) + (25 × 30)]
= 2[750 + 625 + 750]
= 2 × 2125
= 4250 वर्ग सेमी
अतः पौधा घर बनाने में प्रयुक्त काँच का क्षेत्रफल = 4250 वर्ग सेमी। उत्तर
(ii) ·.· 12 किनारों में 4 लम्बाइयाँ, 4 चौड़ाइयाँ व 4 ऊँचाइयाँ होती हैं।
∴ सभी किनारों की माप = 4 ( लम्बाई + चौड़ाई + ऊँचाई )
= 4 (30 + 25 + 25) सेमी
= 4 × 80 सेमी
= 320 सेमी
अतः आवश्यक टेप की लम्बाई = 320 सेमी । उत्तर
प्रश्न 7. शान्ति स्वीट स्टाल अपनी मिठाइयों को पैक करने के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का ऑर्डर दे रहा था। दो मापों के डिब्बों की आवश्यकता थी। बड़े डिब्बों की माप 25 सेमी × 20 सेमी × 5 सेमी और छोटे डिब्बों की माप 15 सेमी × 12 सेमी × 5 सेमी थीं। सभी प्रकार की अतिव्याप्तता (overlaps) के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर अतिरिक्त गत्ता लगेगा। यदि गत्तै की लागत 4 रुपये प्रति 1000 सेमी2 है तो प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कितनी लागत आएगी?
प्रश्न 8. परवीन अपनी कार खड़ी करने के लिए, एक सन्दूक के प्रकार के ढाँचे जैसा एक अस्थायी स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहती है, जो कार को चारों ओर से ऊपर से ढक ले ( सामने वाला फलक लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है)। यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपड़ा नगण्य होगा, आधार विमाओं 4 मीटर × 3 मीटर और ऊँचाई 2.5 मीटर वाले इस ढाँचे को बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी?
हल : ·.· ढाँचे की विमाएँ 4 मीटर × 3 मीटर × 2.5 मीटर हैं।
∴ l = 4 मीटर, b = 3 मीटर व h = 2.5 मीटर
∴ ढाँचे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = परिमाप × ऊँचाई
= 2(4 + 3) × 2.5
= 14 × 2.5
= 35 वर्ग मीटर
छत या ऊपर के पृष्ठ का क्षेत्रफल = 4 × 3 = 12 वर्ग मीटर
∴ कुल क्षेत्रफल = 35 + 12 = 47 वर्ग मीटर
अतः ढाँचे के निर्माण में 47 वर्ग मीटर तिरपाल की आवश्यकता होगी। उत्तर
प्रश्नावली 13.2
प्रश्न 1. ऊँचाई 14 सेमी वाले एक लम्बवृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 सेमी2 है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 2. धातु की एक चादर से 1 मीटर ऊँची और 140 सेमी व्यास के आधार बाली एक बन्द बेलनाकार टंकी बनाई जानी है। इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी ?
प्रश्न 3. धातु का एक पाइप 77 सेमी लम्बा है। इसके एक अनुप्रस्थ काट का आन्तरिक व्यास 4 सेमी और बाहरी व्यास 4.4 सेमी है, ज्ञात कीजिए ।
(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्षेत्रफल
(iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
हल : धातु के पाइप की लम्बाई या ऊँचाई (h) = 77 सेमी
पाइप के अनुप्रस्थ काट का आन्तरिक व्यास = 4 सेमी
∴ पाइप के अनुप्रस्थ काट की आन्तरिक त्रिज्या r = 2 सेमी
पाइप के अनुप्रस्थ काट का बाहरी व्यास = 4.4 सेमी
∴ पाइप के अनुप्रस्थ काट की बाहरी त्रिज्या R = 2.2 सेमी
प्रश्न 4. किसी बेलनाकार स्तम्भ का व्यास 50 सेमी है और ऊँचाई 3.5 मीटर है। 12.50 रुपये प्रति वर्ग मीटर की दर से इस स्तम्भ के वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 5. एक लम्बवृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4 मीटर2 है। यदि बेलन के आधार की त्रिज्या 0.7 मीटर है तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 6. किसी वृत्ताकार कुएँ का आन्तरिक व्यास 3.5 मीटर है और यह 10 मीटर गहरा है। ज्ञात कीजिए :
(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ।
(ii) 40 रुपये प्रति मीटर की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय ।
प्रश्न 7. गरम पानी द्वारा गरम रखने वाले एक संयन्त्र में 28 मीटर लम्बाई और 5 सेमी व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयन्त्र में गर्मी देने वाला कुल कितना पृष्ठ है?
प्रश्न 8. ज्ञात कीजिए :.
(i) एक बेलनाकार पेट्रोल की बन्द टंकी का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, जिसका व्यास 4.2 मीटर और ऊँचाई 4.5 मीटर है।
(ii) इस टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात (steel) लगा होगा, यदि कुल इस्पात का 1/12 भाग बनाने में नष्ट हो गया है?
प्रश्न 9. आकृति में, आप एक लैम्प शेड कां फ्रेम देख रहे हैं। इसे एक सजावटी कपड़े से ढका जाना है। इस फ्रेम के आधार का व्यास 20 सेमी है और ऊँचाई 30 सेमी है। फ्रेम के ऊपर और नीचे. मोड़ने के लिए दोनों ओर 2.5 सेमी अतिरिक्त कपड़ा भी छोड़ा जाना है। ज्ञात कीजिए कि लैम्प शेड को ढकने के लिए कुल कितने कपड़े की आवश्यकता होगी।
अतः लैम्प शेड को ढकने के लिए आवश्यक कपड़े का क्षेत्रफल 2200 वर्ग सेमी होगा। उत्तर
प्रश्न 10. किसी विद्यालय के विद्यार्थियों से एक आधार वाले बेलनाकार कलमदानों को गत्ते से बनाने और सजाने की प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया। प्रत्येक कलमदान को 3 सेमी त्रिज्या और 10.5 सेमी ऊँचाई का होना था। विद्यालय को इसके लिए प्रतिभागियों को गत्ता देना था। यदि इसमें 35 प्रतिभागी थे, तो विद्यालय को कितना गत्ता खरीदना पड़ा होगा?
प्रश्नावली 13.3
प्रश्न 1. एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 सेमी है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 सेमी है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल : शंकु के आधार का व्यास = 10.5 सेमी
प्रश्न 2. एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी तिर्यक ऊँचाई 12 मीटर और आधार का व्यास 24 मीटर है।
प्रश्न 3. एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 सेमी2 है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 सेमी है। ज्ञात कीजिए :
(i) आधार की त्रिज्या
(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल।
प्रश्न 4. शंकु के आधार का एक तम्बू 10 मीटर ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24 मीटर है। ज्ञात कीजिए :
(i) तम्बू की तिर्यक ऊँचाई
(ii) तम्बू में लगे कैनवास ( canvas) की लागत, यदि 1 मीटर2 कैनवास की लागत 70 रु० है ।
प्रश्न 5. 8 मीटर ऊँचाई और आधार की त्रिज्या 6 मीटर वाले एक शंकु के आकार का तम्बू बनाने में 3 मीटर चौड़े तिरपाल की कितनी लम्बाई लगेगी? यह मान कर चलिए कि इसकी सिलाई और कटाई में 20 सेमी तिरपाल अतिरिक्त लगेगा। ( π = 3.14 ) का प्रयोग कीजिए ।
प्रश्न 6. शंकु के आधार की एक गुम्बज की तिर्यक ऊँचाई और आधार का व्यास क्रमशः 25 मीटर और 14 मीटर है। इसकी वक्र पृष्ठ पर 210 रुपये प्रति 100 मीटर2 की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल : शंक्वाकार गुम्बज के आधार का व्यास = 14 मीटर
∴ शंक्वाकार गुम्बज के आधार की त्रिज्या (r) = 7 मीटर
गुम्बज की तिर्यक ऊँचाई (l) = 25 मीटर
प्रश्न 7. एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है। इसी प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
प्रश्नावली 13.4
प्रश्न 1. निम्नलिखित त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 2. निम्नलिखित व्यास वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 3. 10 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
(π = 3.14)
हल: गोले की त्रिज्या (r) = 10 सेमी
ध्यान दीजिए कि अर्धगोले का पृष्ठ गोले के पृष्ठ का आधा नहीं होता। इसमें अर्ध भाग के साथ एक समान त्रिज्या का वृत्तीय आधार बढ़ जाता है।
अतः अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= गोले के पृष्ठ का आधा + आधार का क्षेत्रफल
= 2 π r2 + π r2
= 3 π r2
= 3 × 3.14 × 10 × 10 वर्ग सेमी
= 942 वर्ग सेमी। उत्तर
प्रश्न 4. एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिज्या 7 सेमी से 14 सेमी हो जाती है। इन दोनों स्थितियों में, गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए ।
हल: पहले गुब्बारे की त्रिज्या (r) = 7 सेमी
∴ गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 π r2
= 4 π × 7 × 7 वर्ग सेमी
= 196 π वर्ग सेमी |
हवा भरने के बाद गुब्बारे की त्रिज्या (R) = 14 सेमी
∴ हवा भरने के बाद गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 4 π R2
= 4 π × 14 × 14 वर्ग सेमी
= 784 π वर्ग सेमी।
अतः गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों में अनुपात
= 196 π : 784 π = 1 : 4. उत्तर
प्रश्न 5. पीतल से बने एक अर्धगोलाकार कटोरे का आन्तरिक व्यास 10.5 सेमी है। 16 रुपये प्रति 100 सेमी2 की दर से इसके आन्तरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 6. उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है।
हल: माना गोले की त्रिज्या r सेमी है।
∴ गोले का पृष्ठ = 4 π r2
प्रश्न 7. चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए ।
हल : ·.· चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक चौथाई है।
∴ चन्द्रमा की त्रिज्या थ्री पृथ्वी की त्रिज्या का लगभग एक-चौथाई होगी।
माना चन्द्रमा की त्रिज्या r है तब पृथ्वी की त्रिज्या 4 r होगी।
तब चन्द्रमा का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 π r2 वर्ग सेमी।
और पृथ्वी का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 π (4 r)2
= 64 π r2 वर्ग सेमी।
अतः चन्द्रमा और पृथ्वी के पृष्ठीय क्षेत्रफलों में अनुपात
= 4 π r2 : 64 π r2 = 1 : 16 उत्तर
प्रश्न 8. एक अर्धगोलाकार कटोरा 0.25 सेमी मोटी स्टील से बना है। इस कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या 5 सेमी है। कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल : कटोरे की मोटाई कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या (r) = 5 सेमी
कटोरे की चादर की मोटाई (d) = 0.25 सेमी
∴ कटोरे की बाहरी त्रिज्या (R) = 5.25 सेमी
प्रश्न 9. एक लम्बवृत्तीय बेलन त्रिज्या r वाले एक गोले को पूर्णतया घेरे हुए है ज्ञात कीजिए :
(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii) ऊपर (i) और (ii) में प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात
प्रश्नावली 13.5
प्रश्न 1. माचिस की डिब्बी के माप 4 सेमी × 2.5 सेमी × 1.5 सेमी हैं। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन क्या होगा?
हल : माचिस की डिब्बी की माप 4 सेमी × 2.5 सेमी × 1.5 सेमी है।
∴ l = 4 सेमी, b = 2.5 सेमी तथा h = 1.5 सेमी
∴ माचिस की डिब्बी का आयतन = l b h
= 4 × 2.5 × 1.5 घन सेमी
= 15 घन सेमी
अतः 12 माचिसों के पैकेट का आयतन = 15 × 12
= 180 घन सेमी। उत्तर
प्रश्न 2. एक घनाभाकार पानी की टंकी 6 मीटर लम्बी, 5 मीटर चौड़ी और 4.5 मीटर गहरी है। इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है? ( 1 घन मीटर = 1000 लीटर)
हल : घनाभाकार टंकी की लम्बाई (l) = 6 मीटर,
चौड़ाई (b) = 5 मीटर और गहराई (h) = 4.5 मीटर ।
∴ टंकी का आयतन = l b h
= 6 × 5 × 4.5 घन मीटर
= 135 घन मीटर
∴ टंकी में समाहित = सकने वाले पानी का आयतन
= 135 घन मीटर
= 135 × 1000 लीटर
= 1,35,000 लीटर
अतः टंकी में 1,35,000 लीटर पानी आ सकता है। उत्तर
प्रश्न 3. एक घनाभाकार बर्तन 10 मीटर लम्बा और 8 मीटर चौड़ा है। इसको कितना ऊँचा बनाया जाए कि इसमें 380 घन मीटर द्रव आ सके ?
प्रश्न 4. 8 मीटर लम्बा, 6 मीटर चौड़ा और 3 मीटर गहरा एक घनाभाकार गढ्ढा खुदवाने में 30 रुपये प्रति घन मीटर की दर से होने वाला व्यय ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 5. एक घनाभाकार पानी की टंकी की धारिता 50,000 लीटर पानी की है। यदि इस टंकी की लम्बाई और गहराई क्रमश: 2.5 मीटर और 10 मीटर है तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल : माना टंकी की चौड़ाई b मीटर है।
·.· टंकी की लम्बाई (l) = 2.5 मीटर और
टंकी की गहराई (h) = 10 मीटर |
प्रश्न 6. एक गाँव जिसकी जनसंख्या 4000 है, को प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता है। इस गाँव में 20 मीटर × 15 मीटर × 6 मीटर मापों वाली एक टंकी बनी हुई है। इस टंकी का पानी वहाँ कितने दिन के लिए पर्याप्त होगा?
प्रश्न 7. किसी गोदाम की मापें 40 मीटर × 25 मीटर × 10 मीटर हैं। इस गोदाम में 1.0 मीटर × 1.25 मीटर × 0.5 मीटर की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट (crate) रखे जा सकते हैं?
प्रश्न 8. 12 सेमी भुजा वाले एक ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है। नए घन की भुजा क्या होगी? साथ ही, इन दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल: 12 सेमी भुजा वाले ठोस घन का आयतन = (12)3 घन सेमी
= 12 × 12 × 12 घन सेमी
= 1728 घन सेमी
·.· इस घन को 8 समान आयतन वाले घनों में काटा जा सकता है।
अतः नए घन की भुजा = 6 सेमी और दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात 4 : 1 उत्तर
प्रश्न 9. 3 मीटर गहरी और 40 मीटर चौड़ी एक नदी 2 किमी प्रति घण्टा की चाल से बहकर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा?
प्रश्नावली 13.6
प्रश्न 1. एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 सेमी और उसकी ऊँचाई 25 सेमी है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है? (1000 सेमी3 = 1 लीटर)
प्रश्न 2. एक लकड़ी के बेलनाकार पाइप का आन्तरिक व्यास 24 सेमी है और बाहरी व्यास 28 सेमी है। इस पाइप की लम्बाई 35 सेमी है। इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए यदि 1 सेमी3 लकड़ी का द्रव्यमान 0.6 ग्राम है।
प्रश्न 3. एक सोफ्ट ड्रिंक (soft drink ) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है : (i) लम्बाई 5 सेमी और चौड़ाई 4 सेमी वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊँचाई 15 सेमी है और (ii) व्यास 7 सेमी वाले वृत्तीय आधार और 10 सेमी ऊँचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा। किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है?
अतः स्पष्ट है कि बेलनाकार डिब्बे की धारिता 85 घन सेमी अधिक है। उत्तर
प्रश्न 4. यदि एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 सेमी2 है और उसकी ऊँचाई 5 सेमी है तो ज्ञात कीजिए :
(i) आधार की त्रिज्या, (ii) बेलन का आयतन
(π = 3 ·14 लीजिए)
प्रश्न 5. 10 मीटर गहरे एक बेलनाकार बर्तन की आन्तरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय 2200 रुपये है। यदि पेंट कराने की दर 20 रुपये प्रति मीटर2 है तो ज्ञात कीजिए :
(i) बर्तन का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) आधार की त्रिज्या
(iii) बर्तन की धारिता
प्रश्न 6. ऊँचाई 1 मीटर वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी?
प्रश्न 7. सीसे की एक पेंसिल (lead pencil) लकड़ी के एक बेलन के अभ्यन्तर में ग्रेफाइट (graphite) से बने ठोस बेलन को डाल कर बनाई गई है। पेंसिल का व्यास 7 मिमी है और ग्रेफाइट का व्यास 1 मिमी है। यदि पेंसिल की लम्बाई 14 सेमी है तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए ।
अतः लकड़ी का आयतन 5.28 घन सेमी और ग्रेफाइट का आयतन 0.11 घन सेमी है। उत्तर
प्रश्न 8. एक अस्पताल (hospital) के एक रोगी को प्रतिदिन 7 सेमी व्यास वाले एक बेलनाकार कटोरे में सूप (soup) दिया जाता है। यदि यह कटोरा सूप से 4 सेमी ऊँचाई तक भरा जाता है तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है?
प्रश्नावली 13.7
प्रश्न 1. उस लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी
(i) त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है। (ii) त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है।
हल : (i) लम्बवृत्तीय शंकु की त्रिज्या (r) = 6 सेमी तथा ऊँचाई (h) = 7 सेमी।
प्रश्न 2. शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) त्रिज्या 7 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 25 सेमी है।
(ii) ऊँचाई 12 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 13 सेमी है।
हल : (i) माना शंकु के आकार वाले बर्तन की सीधी ऊँचाई h सेमी है।
प्रश्न 3. एक शंकु की ऊँचाई 15 सेमी है। यदि उसका आयतन 1570 सेमी3 है तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 3.14) प्रयोग कीजिए।
प्रश्न 4. यदि 9 सेमी ऊँचाई वाले एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 48 π सेमी3 है तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 5. ऊपरी व्यास 3.5 मीटर वाले शंकु के आकार का एक गड्ढा 12 मीटर गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी है?
प्रश्न 6. एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 9856 सेमी3 है। यदि इसके आधार का व्यास 28 सेमी है तो ज्ञात कीजिए :
(i) शंकु की ऊँचाई
(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
प्रश्न 7. भुजाओं 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 सेमी के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए ।
हल : ·.· Δ ABC को 12 सेमी वाली भुजा AB के परितः घुमाया जाता है।
प्रश्न 8. यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 सेमी के परितः घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए । प्रश्न 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 9. गेहूँ की एक ढेरी 10.5 मीटर व्यास और 3 मीटर ऊँचाई वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए कैनवास से ढका जाता है। वाँछित कैनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
प्रश्नावली 13.8
प्रश्न 1. उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्नलिखित हैं :
(i) 7 सेमी (ii) 0.63 मीटर
प्रश्न 2. उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित ) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्नलिखित है :
(i) 28 सेमी (ii) 0.21 मीटर ।
प्रश्न 3. धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 सेमी है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति घन सेमी है तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 4. चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है?
प्रश्न 5. व्यास 10.5 सेमी वाले एक अर्ध-गोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है?
हल : कटोरे का व्यास = 10.5 सेमी
प्रश्न 6. एक अर्ध गोलाकार टंकी 1 सेमी मोटी एक लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आन्तरिक त्रिज्या 1 मीटर है तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए ।
हल : ·.· टंकी अर्ध गोलाकार है और उसकी आन्तरिक त्रिज्या (r) = 1 मीटर है।
प्रश्न 7. उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है।
हल : माना गोले की त्रिज्या r सेमी है।
∴ गोले का पृष्ठ = 4 π r2 वर्ग सेमी होगा।
तब प्रश्नानुसार, 4 π r2 = 154
प्रश्न 8. किसी भवन का गुम्बद एक अर्ध-गोले के आकार का । अन्दर से, इसमें सफेदी कराने में 498.96 रुपये व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर 2 रुपये प्रति वर्ग मीटर है तो ज्ञात कीजिए :
(i) गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (ii) गुम्बद के अन्दर की हवा का आयतन ।
हल : (i) माना अर्ध गोलाकार गुम्बद की त्रिज्या r मीटर है।
·.· अर्ध-गोलाकार गुम्बद खोखला होता है।
∴ गुम्बद का आन्तरिक पृष्ठ = 2 π r2 वर्ग मीटर
तब गुम्बद के आन्तरिक पृष्ठ पर सफेदी कराने का व्यय
= 2 π r2 × 2 रु०
= 4 π r2 रु०
परन्तु प्रश्न में दिया है कि सफेदी कराने का व्यय 498.96 रुपये है।
अतः गुम्बद के अन्दर की हवा का आयतन 523.908 घन मीटर है। उत्तर
प्रश्न 9. लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r है और पृष्ठ का क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है, जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S है। ज्ञात कीजिए :
(i) नए गोले की त्रिज्या r‘
(ii) S और S‘ का अनुपात।
प्रश्न 10. दवाई का एक कैपसूल (capsule) 3.5 मिमी व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैपसूल को भरने के लिए कितनी दवाई ( मिमी में ) की आवश्यकता होगी?
प्रश्नावली 13.9 (ऐच्छिक)
प्रश्न 1. एक लकड़ी के बुक-शैल्फ (book- shelf) की बाहरी विमाएँ निम्नलिखित हैं-
ऊँचाई = 110 सेमी, गहराई = 25 सेमी, चौड़ाई = 85 सेमी। प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 सेमी है। इसके बाहरी फलकों पर पॉलिश कराई जाती है और आन्तरिक फलकों पर पेंट किया जाना है। यदि पॉलिश कराने की दर 20 पैसे प्रति सेमी2 है और पेंट कराने की दर 10 पैसे प्रति सेमी2 है तो इस बुक-शैल्फ पर पॉलिश और पेंट कराने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए ।
हल : बुक-शैल्फ के बाहरी फलकों का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2[(25 × 110) + (25 × 85) ] + (85 × 110) वर्ग सेमी
= 2[2,750 + 2,125] + 9,350 वर्ग सेमी
= (2 × 4,875) + 9,350 वर्ग सेमी
= 9,750 + 9,350 वर्ग सेमी
= 19,100 वर्ग सेमी
इसके अतिरिक्त सामने के फ्रेम का क्षेत्र और पेंट होगा।
फ्रेम के पृष्ठ का क्षेत्रफल
= (110 × 85) – [(30 + 30 + 30 + 10) × 75]
+ (75 × 5) + (75 × 5) वर्ग सेमी
= 9,350 −7,500 + 375 + 375 वर्ग सेमी
= 2600 वर्ग सेमी
∴ जिस भाग पर पॉलिश होना है, उसका क्षेत्रफल
= 19,100 + 2,600 = 21,700 वर्ग सेमी
अतः पॉलिश कराने का व्यय
= 21,700 × 20 पैसे
= 4,34,000 पैसे या 4,340 रु०
बुक – शैल्फ के आन्तरिक पृष्ठ को 3 भागों में चार पट्टिकाओं द्वारा बाँटा गया है।
प्रश्न 2. किसी घर के कम्पाउण्ड की सामने की दीवार को 21 सेमी व्यास वाले लकड़ी के गोलों को छोटे आधारों पर टिकाकर सजाया जाता है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस प्रकार के आठ गोलों का प्रयोग इस कार्य के लिए किया जाना है और इन गोलों को चाँदी वाले रंग में पेंट करवाना है। प्रत्येक आधार 1.5 सेमी त्रिज्या और ऊँचाई 7 सेमी का एक बेलन है तथा इन्हें काले रंग से पेंट करवाना है। यदि चाँदी के रंग का पेंट करवाने की दर 25 पैसे प्रति सेमी’ तथा काले रंग के पेंट करवाने की दर 5 पैसे प्रति सेमी हो तो पेंट करवाने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 3. एक गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने प्रतिशत कम हो गया है?
