UK Board 9th Class Math – Chapter 2 बहुपद
UK Board 9th Class Math – Chapter 2 बहुपद
UK Board Solutions for Class 9th Math – गणित – Chapter 2 बहुपद
प्रश्नावली 2.1
प्रश्न 1. निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए :
प्रश्न 2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में x2 का गुणांक लिखिए:
प्रश्न 3. 35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए।
हल: द्विपद बहुपद axn + b के रूप का होता है जहाँ a तथा b वास्तविक संख्याएँ हैं और n एक धन पूर्णांक है।
तब 35 घात वाला द्विपद ax35 + b है जबकि a तथा b अचर हैं।
ऐसे बहु हैं x35 + 3, 2x35 + 7, 27x35 – 13 इत्यादि ।
एकपदी बहुपद axn के रूप का होता है जहाँ a एक वास्तविक संख्या है और n एक धन पूर्णांक है।
तब 100 घात वाला एकपदी ax100 होगा जबकि a एक वास्तविक संख्या है।
ऐसे बहुपद के उदाहरण हैं : x100 , 2x100 , √5x100 , ……. इत्यादि । उत्तर
प्रश्न 4. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए:
प्रश्न 5. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में कौन-कौन बहुपद रैखिक हैं, कौन-कौन द्विघाती हैं और कौन-कौन त्रिघाती हैं :
प्रश्नावली 2.2
प्रश्न 1. निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x2 + 3 के मान ज्ञात कीजिए :
(i) x = 0 (ii) x = – 1 (iii) x = 2
प्रश्न 2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 3. सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं :
प्रश्न 4. निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) = x + 5
(ii) p(x)= x – 5
(iii) p(x) = 2x + 5
(iv) p(x) = 3x – 2
(v) p(x) = 3x
(vi) p(x) = a x; a ≠ 0
(vii) p(x) = c x + d; c ≠ 0, जहाँ c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
प्रश्नावली 2.3
प्रश्न 1. x3 + 3x2 + 3x + 1 को अग्रलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 2. x3 – ax2 + 6x – a को x – a से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 3. जाँच कीजिए कि 7 + 3x , 3x3 + 7x का एक गुणनखण्ड है या नहीं।
·.· शेषफल शून्य नहीं है।
अतः 7 + 3x, 3x3 + 7x का गुणनखण्ड नहीं है। उत्तर
प्रश्नावली 2.4
प्रश्न 1. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखण्ड (x + 1 ) है।
प्रश्न 2. गुणनखण्ड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g (x), p(x) का एक गुणनखण्ड है या नहीं :
प्रश्न 3. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p(x) का एक गुणनखण्ड हो :
प्रश्नावली 2.5
प्रश्न 1. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनफल ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 2. सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 3. उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखण्डन कीजिए।
प्रश्न 4. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए :
प्रश्न 5. गुणनखण्डन कीजिए :
प्रश्न 6. निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए:
प्रश्न 7. उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 8. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्डन कीजिए :
प्रश्न 9. सत्यापित कीजिए :
प्रश्न 10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्डन कीजिए:
प्रश्न 11. गुणनखण्डन कीजिए : 27x3 + y3 + z3 − 9 xyz
प्रश्न 12. सत्यापित कीजिए :
प्रश्न 13. यदि x + y + z = 0 हो तो दिखाइए कि x3 + y3 + z3 = 3xyz
प्रश्न 14. घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 15. नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लम्बाई और चौड़ाई के लिए सम्भव व्यंजक दीजिए :
स्पष्ट है कि क्षेत्रफल के (5y + 4 ) व (7y – 3 ) दो गुणनखण्ड प्राप्त होते हैं।
अतः आयत की लम्बाई = 7y – 3 तथा चौड़ाई = 5y + 4 उत्तर
प्रश्न 16. घनाभों (Cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, की विमाओं के लिए सम्भव व्यंजक क्या हैं ?
·.· घनाभ के आयतन के अवयव लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई हैं जबकि दिए गए आयतन के तीन गुणनखण्ड 3, x और (x – 4) हैं।
अतः घनाभ की विमाएँ = 3, x व (x – 4) उत्तर
(ii) ·.· घनाभ का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
∴ 12ky2 + 8ky – 20k = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
∴ 4k (3y2 + 2y – 5 ) = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
∴ 4k (3y2 + 5y – 3y – 5 ) = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
∴ 4k [y (3y + 5) – 1 (3y + 5)] = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
∴ 4k (3y + 5) (y – 1) = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
·.· घनाभ के आयतन के घटक लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई हैं जबकि दिए गए आयतन के तीन गुणनखण्ड 4k, (3y + 5) और (y – 1 ) हैं ।
अतः घनाभ की विमाएँ = 4k, (3y + 5) व (y – 1) उत्तर