UK Board 9th Class Math – Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण
UK Board 9th Class Math – Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण
UK Board Solutions for Class 9th Math – गणित – Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण
प्रश्नावली 4.1
प्रश्न 1. एक नोट बुक की कीमत एक कलम की कीमत से दो गुनी है। इस कथन को निरूपित करने के लिए दो चरों वाला रैखिक समीकरण लिखिए।
हल : माना एक नोट-बुक की कीमत x रु० है और एक कलम की कीमत y रु० है।
·.· नोट-बुक की कीमत कलम की कीमत की दो गुनी है
∴ नोट-बुक की कीमत = 2 × कलम की कीमत
∴ x = 2 × y
अत: x = 2 y उत्तर
प्रश्न 2. निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को ax + by + c = 0 के रूप में व्यक्त कीजिए और प्रत्येक स्थिति में a, b तथा c के मान बताइए :
प्रश्नावली 4.2
प्रश्न 1. निम्नलिखित विकल्पों में कौन-सा विकल्प सत्य है, और क्यों?
y = 3x + 5 का
(i) एक अद्वितीय हल है। (ii) केवल दो हल हैं। (iii) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
हल: ·.· समीकरण y = 3x + 5 या
– 3x + y – 5 =0; ax + by + c = 0 के रूप का है।
∴ यह दो चरों वाला रैखिक समीकरण है।
अतः इसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
तब विकल्प (iii) सत्य है। उत्तर
प्रश्न 2. निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक समीकरण के चार हल लिखिए:
प्रश्न 3. बताइए कि निम्नलिखित हलों में से कौन-कौन समीकरण x – 2y = 4 के हल हैं और कौन-कौन हल नहीं हैं :
प्रश्न 4. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि x = 2, y = 1 समीकरण 2x + 3y = k का एक हल हो।
हल: यदि x = 2, y = 1 समीकरण 2x + 3y = k का एक हल है। तो चरों के ये मान समीकरण को सन्तुष्ट करेंगे।
तब, समीकरण 2x + 3y = k में x = 2 तथा y = 1 प्रतिस्थापित उत्तर करने पर,
2 × 2 + 3 × 1 = k ⇒ k = 4 + 3 = 7
अत: k का अभीष्ट मान = 7 उत्तर
प्रश्नावली 4.3
प्रश्न 1. दो चरों वाले निम्नलिखित रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए :
बिन्दुओं A ( – 1, 5) व B (2, – 1 ) को ग्राफ पेपर पर आलेखित किया और ऋजु रेखा AB खींची।
ऋजु रेखा AB दिए गए रैखिक समीकरण 3 = 2x + y या 2x + y = 3 का आलेख है। उत्तर
प्रश्न 2. बिन्दु (2, 14 ) से होकर जाने वाली दो रेखाओं के समीकरण लिखिए। इस प्रकार की और कितनी रेखाएँ हो सकती हैं और क्यों?
हल: बिन्दु (x, y) = (2, 14 ) जिस रेखा पर स्थित होगा, उस रेखा के समीकरण को इस बिन्दु के निर्देशांक सन्तुष्ट करेंगे अर्थात् उस रेखा के समीकरण में x = 2 और y = 14 प्रतिस्थापित करने पर दायाँ पक्ष और बायाँ पक्ष समान होंगे।
x = 2 को प्रदर्शित करने वाली रेखा भी बिन्दु (2, 14) से होकर जाएगी।
जिस रेखा का समीकरण y = 14 है, वह भी बिन्दु (2, 14) से होकर जाती है।
·.· x + y = 2 + 14 = 16 ⇒ x + y = 16
∴ जिस रेखा का समीकरण x + y = 16 है, वह भी बिन्दु (2, 14 ) से होकर जाएगी।
·.· 2x + 3y = (2 × 2 ) + (3 × 14 ) = 4 + 42 = 46
⇒ 2x + 3y = 16
∴ जिस रेखा का समीकरण 2x + 3y = 46 है, वह रेखा बिन्दु (2, 14) से होकर जाएगी।
·.· 3x – y = 3 × 2 – 14 = 6 – 14 = – 8
∴ 3x – y = – 8 – या 3x – y + 8 = 0
∴ जिस रेखा का समीकरण 3x – y + 8 = 0 है, वह रेखा बिन्दु (2, 14) से होकर जाएगी।
·.· x = 2 और y = 14 ⇒ y = 7x
∴ जिस रेखा का समीकरण y = 7x है, वह रेखा भी बिन्दु (2, 14) से होकर जाएगी।
इस प्रकार, किसी बिन्दु (2, 14) से जाने वाली ऋजु रेखाओं की संख्या अपरिमित होगी, क्योंकि एक बिन्दु किसी सरल रेखा की स्थिति निर्धारित नहीं कर सकता। किसी सरल रेखा की स्थिति को निर्धारित करने के लिए कम-से-कम दो बिन्दुओं की आवश्यकता होती है।
प्रश्न 3. यदि बिन्दु (3, 4) समीकरण 3y = ax + 7 के आलेख पर स्थित है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल: ·.· बिन्दु (3, 4), समीकरण 3y = ax + 7 के आलेख पर स्थित है।
प्रश्न 4. एक नगर में टैक्सी का किराया निम्नलिखित है :
पहले किमी का किराया 8 रु० है और उसके बाद की दूरी के लिए प्रति किमी का किराया 5 रु० है। यदि तय की गई दूरी x किमी हो और कुल किराया y रु० हो तो इसका एक रैखिक समीकरण लिखिए और उसका आलेख खींचिए ।
हल: ·.· पहले 1 किमी यात्रा का किराया = 8 रु०
और शेष यात्रा का प्रति किमी किराया 5 रु०
तय की गई यात्रा = x किमी
किराया ज्ञात करने के लिए इसे 1 तथा (x – 1 ) दो भागों में बाँटना होगा ।
प्रश्न 5. निम्नलिखित आलेखों में से प्रत्येक आलेख के लिए दिए गए विकल्पों से सही समीकरण का चयन कीजिए :
(i) y = x
(ii) x + y = 0
(iii) y = 2x
(iv) 2 + 3y = 7x
(i) y = x + 2
(ii) y = x – 2
(iii) y = – x + 2
(iv) x + 2y = 6
हल: पहले आलेख के लिए
पहले आलेख पर स्थित बिन्दु हैं : ( – 1, 1) व (1, – 1)
(i) दिया समीकरण y = x
इस समीकरण से स्पष्ट है कि x व y के निर्देशांक जिन बिन्दुओं में बराबर और समान चिह्न के होंगे, वही बिन्दु इस समीकरण को सन्तुष्ट करेंगे।
अतः विकल्प (i) सही नहीं है।
(ii) दिया हुआ समीकरण x + y = 0
बिन्दु (- 1, 1) के लिए समीकरण x + y = 0 में x = – 1 तथा y = + 1 प्रतिस्थापित करने पर,
बायाँ पक्ष = (– 1) + (1) = 0 = दायाँ पक्ष
और बिन्दु ( 1, – 1 ) के लिए समीकरण x + y = 0 में x = 1 तथा y = – 1 प्रतिस्थापित करने पर,
बायाँ पक्ष = (1) + (- 1) = 0 = दायाँ पक्ष :
∴ बिन्दु ( – 1, 1) व ( 1, – 1) समीकरण x + y = 0 के आलेख पर स्थित हैं।
अतः विकल्प (ii) सही है। उत्तर
• दूसरे आलेख के लिए
इस आलेख पर स्थित बिन्दु ( – 1,3), (0, 2) व (2, 0) हैं। तब आलेख के समीकरण को उक्त बिन्दुओं में से कम-से-कम दो बिन्दुओं द्वारा सन्तुष्ट होना चाहिए।
प्रश्न 6. एक अचर बल लगाने पर पिण्ड द्वारा किया गया कार्य पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी के अनुक्रमानुपाती होता है । इस कथन को दो चरों वाले एक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए और अचर बल 5 मात्रक लेकर इसका आलेख खींचिए ।
यदि पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी
(i) 2 मात्रक (ii) 0 मात्रक
हो तो आलेख से किया हुआ कार्य ज्ञात कीजिए ।
हल : माना किसी पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी के लिए चर s तथा पिण्ड द्वारा किए गए कार्य के लिए चर W है।
नोट – ध्यान दीजिए कि दूरी-कार्य आलेख पर ऐसा कोई बिन्दु नहीं होगा जिसके लिए x = 0 हो।
प्रश्न 7. एक विद्यालय की कक्षा IX की छात्राएँ यामिनी और फातिमा ने मिलकर भूकम्प पीड़ित व्यक्तियों की सहायता के लिए प्रधानमंत्री राहत कोष में 100 रु० अंशदान दिया। एक रैखिक समीकरण लिखिए जो इन आँकड़ों को सन्तुष्ट करता हो। (आप उनका अंशदान x रु0 और y रु० मान सकते हैं)। इस समीकरण का आलेख खींचिए।
हल : माना यामिनी ने x रु० तथा फातिमा ने y रु० दिए ।
ऋजु रेखा AB दोनों छात्राओं द्वारा प्रधानमंत्री राहत कोष में दिए गए अंशदान का आलेख प्रदर्शित करती है। उत्तर
प्रश्न 8. अमेरिका और कनाडा जैसे देशों में तापमान फारेनहाइट में मापा जाता है, जबकि भारत जैसे देशों में तापमान सेल्सियस में मापा जाता है। यहाँ फारेनहाइट को सेल्सियस में रूपान्तरित करने वाला एक रैखिक समीकरण दिया गया है :
(i) सेल्सियस को X- अक्ष और फारेनहाइट को Y-अक्ष मानकर ऊपर दिए गए रैखिक समीकरण का आलेख खींचिए ।
(ii) यदि तापमान 30°C है तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा?
(iii) यदि तापमान 95°F है तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा?
(iv) यदि तापमान 0°C है तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा? और यदि तापमान 0°F है तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा ?
(v) क्या ऐसा भी कोई तापमान है जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मकतः समान है? यदि हाँ, तो उसे ज्ञात कीजिए ।
हल :
प्रश्नावली 4.4
प्रश्न 1. (i) एक चर वाले
(ii) दो चर वाले
समीकरण के रूप में y = 3 का ज्यामितीय निरूपण कीजिए ।
हल : (i) एक चर वाले समीकरण के रूप में y = 3 का ज्यामितीय निरूपण :
संख्या रेखा खींचिए और उस पर 0 के दायीं ओर तीसरा चिह्न चिह्नित कीजिए y = 3 की संख्या – रेखा पर यही ज्यामितीय स्थिति है।
(ii) दो चर वाले समीकरण के रूप में y = 3 का ज्यामितीय
निरूपण :
(1) वर्ग पत्रक (ग्राफ पेपर) पर X- अक्ष तथा Y- अक्ष खींचकर उन पर मापन चिह्न अंकित कीजिए ।
(2) Y- अक्ष पर + 3 चिह्न से X- अक्ष के समान्तर रेखा AB खींचिए।
इस रेखा पर x (भुज) के भिन्न-भिन्न मान वाले बिन्दुओं के लिए भी y (कोटि) का मान 3 स्थिर है।
ऋजु रेखा AB अभीष्ट आलेख है। उत्तर
प्रश्न 2. (i) एक चर वाले
(ii) दो चर वाले
समीकरण के रूप में 2x + 9 = 0 का ज्यामितीय निरूपण कीजिए।
हल: (i) एक चर वाले समीकरण के रूप में 2x + 9 = 0 का ज्यामितीय निरूपण :
ऋजुरेखा AB अभीष्ट आलेख है।