UK Board 9th Class Math – Chapter 5 यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय
UK Board 9th Class Math – Chapter 5 यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय
UK Board Solutions for Class 9th Math – गणित – Chapter 5 यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय
प्रश्नावली 5.1
प्रश्न 1. निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से कथन असत्य हैं? अपने उत्तरों के लिए कारण दीजिए।
(i) एक बिन्दु से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।
(ii) दो भिन्न बिन्दुओं से होकर जाने वाली असंख्य रेखाएँ हैं।
(iii) एक सांत रेखा दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाई जा सकती है।
(iv) यदि दो वृत्त बराबर हैं तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।
(v) दी गई आकृति में, यदि AB = PQ और PQ = XY है तो AB = XY होगा :
हल: (i) ‘एक बिन्दु से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।’ कथन असत्य है क्योंकि प्रतिच्छेदी रेखाएँ, संगामी रेखाएँ इत्यादि अनेक ज्यामितीय तथ्य इसे खण्डित करते हैं। उत्तर
(ii) ‘दो भिन्न बिन्दुओं से होकर जाने वाली असंख्य रेखाएँ हैं।’ कथन असत्य है क्योंकि दो भिन्न बिन्दुओं से होकर एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है। उत्तर
(iii) ‘एक सांत रेखा दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाई जा सकती है।’ कथन सत्य है जिसे हम अनेक उदाहरणों से जाँच कर सत्य पाते हैं। उत्तर
(iv) ‘यदि दो वृत्त बराबर हैं तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।’ कथन सत्य है क्योंकि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ समान होने पर ही वृत्त समान कहे जाते हैं। उत्तर
(v) दी गई आकृति में यदि AB = PQ और PQ = XY है तो यूक्लिड के प्रथम अभिगृहीत से AB = XY
अतः दिया हुआ कथन सत्य है। उत्तर |
प्रश्न 2. निम्नलिखित पदों में से प्रत्येक की परिभाषा दीजिए। क्या इनके लिए कुछ ऐसे पद हैं जिन्हें परिभाषित करने की आवश्यकता है? वे क्या हैं और आप इन्हें कैसे परिभाषित कर पाएँगे?
(i) समान्तर रेखाएँ
(ii) लम्ब रेखाएँ
(iii) रेखाखण्ड
(iv) वृत्त की त्रिज्या
(v) वर्ग ।
हल : (i) समान्तर रेखाएँ :
हम जानते हैं कि किसी सांत रेखा को उसके सिरों पर दोनों ओर बढ़ाया जा सकता है। ऐसी ही दो सांत रेखाएँ लें तो उन्हें भी दोनों ओर बढ़ाया जा सकता है।
यदि दोनों सांत रेखाएँ किसी ओर बढ़ाए जाने पर परस्पर न मिलें तो वे सांत रेखाएँ समान्तर रेखाएँ कहलाती हैं।
(ii) लम्ब रेखाएँ — यदि दो सांत रेखाएँ परस्पर मिलें और एक-दूसरे पर 90° का कोण बनाएँ तो वे लम्ब रेखाएँ कहलाती हैं। ऐसी स्थिति में एक रेखा दूसरी पर खड़ी होती है।
(iii) रेखाखण्ड — यूक्लिड के अभिगृहीत के अन्तर्गत “दो बिन्दुओं से होकर एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है।” यह अद्वितीय रेखा रेखाखण्ड कहलाती है।
(iv) वृत्त की त्रिज्या – किसी वृत्त के ठीक बीच में स्थित बिन्दु वृत्त का केन्द्र कहलाता है और वृत्त के केन्द्र से उसकी सीमा के किसी बिन्दु तक खींचा गया रेखाखण्ड वृत्त की त्रिज्या होती है।
(v) वर्ग — वर्ग वह क्षेत्र या प्रदेश है जो चार समान लम्बाई की सरल रेखाओं से घिरा हो और जिसके दो किनारों के बीच 90° का कोण बनता हो।
प्रश्न 3. नीचे दी हुई दो अभिधारणाओं पर विचार कीजिए :
(i) दो भिन्न बिन्दु A और B दिए रहने पर, एक तीसरा बिन्दु C ऐसा विद्यमान है जो A और B के बीच स्थित होता है।
(ii) यहाँ कम-से-कम ऐसे तीन बिन्दु विद्यमान हैं कि वे एक रेखा पर स्थित नहीं हैं।
क्या इन अभिधारणाओं में कोई अपरिभाषित शब्द है? क्या ये अभिधारणाएँ अविरोधी हैं? क्या ये यूक्लिड की अभिधारणाओं से प्राप्त होती हैं? स्पष्ट कीजिए।
हल : (i) दोनों अभिधारणाओं में बिन्दु और रेखा अपरिभाषित शब्द हैं।
(ii) दोनों अभिधारणाएँ परस्पर अविरोधी नहीं हैं।
(iii) ये अभिधारणाएँ यूक्लिड के अभिगृहीतों का अनुसरण नहीं करतीं। परन्तु ये पाँचवीं अभिधारणा के अनुरूप हैं।
प्रश्न 4. यदि दो बिन्दुओं A और B के बीच एक बिन्दु C ऐसा स्थित है कि AC = BC तो सिद्ध कीजिए कि AC = 1/2 AB है। एक आकृति खींचकर इसे स्पष्ट कीजिए ।
हल : ·.· बिन्दु C दो बिन्दुओं A और B के बीच स्थित है, तब AC + BC = AB होगा क्योंकि बिन्दु C से रेखा AB दो भागों में विभक्त होगी ।
परन्तु यह भी ज्ञात है कि C ऐसा है कि AC = BC है |
तब BC के स्थान पर AC लिखा जा सकता है
∴ AC + AC = AB होगा
∴ 2AC = AB
·.· बराबरों के आधे भी परस्पर बराबर होंगे।
∴ AC = 1/2 AB
प्रश्न 5. प्रश्न 4 में, C रेखाखण्ड AB का मध्य-1 -बिन्दु कहलाता है। सिद्ध कीजिए कि रेखाखण्ड का एक और केवल एक ही मध्य बिन्दु होता है।
हल : ·.· बिन्दु C, रेखाखण्ड AB का मध्य बिन्दु तभी कहलाता है जब AC = BC हो ।
अब मान लिया रेखा AB का एक अन्य मध्य बिन्दु C’ है तब AC’ = BC’ भी होना चाहिए ।
परन्तु AC + BC = AB
और AC’ + BC’ = AB
उपर्युक्त दोनों तथ्यों में यूक्लिड की अभिधारणा से,
AC + BC = AC’ + BC’
ऐसा तभी सम्भव है जब C और C’ एक ही बिन्दु हों
तब किसी रेखाखण्ड AB का एक और केवल एक ही मध्यबिन्दु C सम्भव है।
प्रश्न 6. दी गई आकृति में यदि AC = BD है तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है।
हल: बिन्दु B, बिन्दुओं A तथा C के बीच स्थित है।
∴ AB + BC = AC
इसी प्रकार बिन्दु C बिन्दुओं B तथा D के बीच स्थित है।
∴ BC + CD = BD
परन्तु हमें ज्ञात है कि AC = BD
तब AB + BC = BC + CD
दोनों पक्षों (बराबरों) में से बराबर BC घटाने पर,
AB + BC – BC = BC + CD – BC
या AB = CD
प्रश्न 7. यूक्लिड की अभिगृहीतों की सूची में दिया हुआ अभिगृहीत 5 एक सर्वव्यापी सत्य क्यों माना जाता है?
हल : क्योंकि पूर्ण का कोई भी भाग क्यों न हो, वह अस्तित्व में पूर्ण से आया होगा तब इसके लिए प्रमाण देने की आवश्यकता ही नहीं है कि पूर्ण अपने भाग से बड़ा होगा। जैसे कि इसका प्रमाण देने की आवश्यकता नहीं होती कि पिता पुत्र से आयु में बड़ा होता है।
अतः यह “पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है” यह सर्वव्यापी सत्य है।
प्रश्नावली 5.2
प्रश्न 1. आप यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को किस प्रकार लिखेंगे ताकि वह सरलता से समझी जा सके।
हल : यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा
यदि l और m दो रेखाओं को तीसरी रेखा n काटती है और रेखा n के एक ही ओर बने दोनों अन्तः कोणों का योग दो समकोण से कम हो तो l और m बढ़ाने पर उसी ओर मिलेंगी जिस ओर के कोणों का योग 2 समकोण से कम होगा।
प्रश्न 2. क्या यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा से समान्तर रेखाओं के अस्तित्व का औचित्य निर्धारित होता है? स्पष्ट कीजिए।
हल: यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा से
समान्तर रेखाओं का अस्तित्व
यदि l और m दो रेखाओं को तीसरी रेखा n काटती है और n के एक ही ओर बने अन्तः कोण ∠1 व ∠2 का योग 2 समकोण हो तो l और m, रेखा n के एक ओर नहीं मिलेंगी। जब ∠1 + ∠2 = 180° है तो n रेखा के दूसरी ओर बने अन्तः कोणों ∠3 व ∠4 का योग भी 180° होगा तब रेखाएँ l और m, रेखा n के दूसरी ओर भी नहीं मिलेंगी। अतः l और m कभी नहीं मिलेंगी, तब l और m रेखाएँ समान्तर होंगी।
