UK Board 9th Class Math – Chapter 7 त्रिभुज
UK Board 9th Class Math – Chapter 7 त्रिभुज
UK Board Solutions for Class 9th Math – गणित – Chapter 7 त्रिभुज
प्रश्नावली 7.1
प्रश्न 1. चतुर्भुज ACBD में, AC = AD है और रेखाखण्ड AB, ∠A को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि ΔABC ≅ ΔABD है । BC A और BD के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
हल : दिया है : ACBD एक चतुर्भुज है जिसमें भुजा AC = AD है और रेखाखण्ड AB, ∠A को समद्विभाजित करता है।
प्रश्न 2. ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है। सिद्ध कीजिए कि
(i) ΔABD ≅ ΔBAC
(ii) BD = AC
(iii) ∠ABD = ∠BAC
हल : दिया है: चतुर्भुज ABCD में AD = BC और ∠DAB = ∠CBA
सिद्ध करना है (i) ΔABD ≅ ΔBAC
(ii) BD = AC
(iii) ∠ABD = ∠BAC
उपपत्ति (i) दिए गए चतुर्भुज ABCD में AC व BD विकर्ण हैं जो इसको त्रिभुजों में व्यक्त करते हैं।
ΔABD और ΔBAC की तुलना करने पर,
ΔABD और ΔBAC में,
AD = BC दिया है
∠DAB = ∠CBA दिया है
AB = AB दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा है
तब सर्वांगसमता के भुजा – कोण – भुजा (S.A.S.) परीक्षण से, .
ΔABD ≅ ΔBAC
(ii) ·.· सर्वागसम त्रिभुजों में संगत मापें बराबर होती हैं और ΔABD और ΔBAC सर्वांगसम हैं
∴ संगत भुजाएँ BD = AC
(iii) ·.· ΔABD ≅ ΔBAC
∴ ∠ABD = संगत ∠BAC
प्रश्न 3. एक रेखाखण्ड AB पर AD और BC दो बराबर लम्ब रेखाखण्ड हैं । दर्शाइए कि CD, रेखाखण्ड AB को समद्विभाजित करता है।
हल : दिया है : AB एक रेखाखण्ड है जिसके सिरों A तथा B पर क्रमश: AD और BC लम्ब इस प्रकार हैं कि AD = BC
सिद्ध करना है : CD, रेखाखण्ड AB को समद्विभाजित करता है।
उपपत्ति: ·.· रेखाखण्ड AB पर AD और BC दो बराबर लम्ब हैं।
∴ ∠DAB = 90° तथा ∠CBA = 90°
या ∠DAO = 90° तथा ∠CBO = 90° …(1)
और AD = BC …(2) दिया है
·.· रेखाखण्ड AB और CD परस्पर बिन्दु O पर काटते हैं
∴ ∠AOD = ∠BOC …(3) शीर्षाभिमुख कोण हैं
·.· त्रिभुज के अन्तः कोणों का योगफल 180° होता है।
ΔAOD और ΔBOC के अन्तः कोणों की तुलना करने पर, ∠ODA + ∠DAO + ∠AOD = ∠OCB + ∠CBO + ∠BOC
∠ODA + 90° + ∠AOD = ∠OCB + 90° + ∠BOC
समी० (1) व समी० (3) से
⇒ ∠ODA = ∠OCB ….(4)
अब ΔAOD व ΔBOC में,
∠DAO = ∠CBO समी० (1) से प्रत्येक 90° है
AD = BC दिया है समी० (2) से
⇒ ∠ODA = ∠OCB समी० (4) से
तब सर्वांगसमता के कोण – भुजा – कोण (A.S.A.) परीक्षण से,
ΔAOD ≅ ΔBOC
∴ AO = OD
परन्तु AB = AO + OD
∴ रेखाखण्ड AB बिन्दु O पर समद्विभाजित होता है।
अत: CD, रेखाखण्ड AB को बिन्दु O पर समद्विभाजित करता है।
प्रश्न 4. l और m दो समान्तर रेखाएँ हैं जिन्हें समान्तर रेखाओं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेदित करता है। दर्शाइए कि ΔABC ≅ ΔCDA
हल : दिया है : l और m दो समान्तर रेखाएँ हैं जिनको एक अन्य दो समान्तर रेखाओं p और q का युग्म बिन्दुओं A, B, C और D पर प्रतिच्छेदित करता है। रेखाखण्ड AC खींचा गया है।
सिद्ध करना है : ΔABC ≅ ΔCDA
उपपत्ति: : l || m और AC एक तिर्यक रेखाखण्ड इन्हें प्रतिच्छेदित करता है।
∴ ∠DAC = ∠BCA एकान्तर कोण युग्म
इसी प्रकार, p || q है और AC एक तिर्यक रेखाखण्ड इन्हें प्रतिच्छेदित करता है।
∴ ∠DCA = ∠BAC एकान्तर कोण युग्म
अब ΔABC और ΔCDA में,
∴ ∠BCA = ∠DAC अभी सिद्ध किया है
AC = AC त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा है
∠BAC = ∠DCA अभी सिद्ध किया है
तब सर्वांगसमता के कोण भुजा-कोण परीक्षण से,
ΔABC ≅ ΔCDA
प्रश्न 5. रेखा l कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा l पर स्थित कोई बिन्दु है। BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लम्ब हैं। दर्शाइए कि
(i) ΔAPB ≅ ΔAQB
(ii) BP = BQ अर्थात् बिन्दु B कोण A की भुजाओं से समदूरस्थ है।
हल : दिया है : l एक रेखा है जो ∠A को समद्विभाजित करती है। रेखा l पर कोई बिन्दु B स्थित है। बिन्दु B से ∠A की भुजाओं AP और AQ पर क्रमश: BP और BQ लम्ब खींचे गए हैं।
सिद्ध करना है : (i) ΔAPB ≅ ΔAQB, (ii) BP = BQ अर्थात् बिन्दु B कोण A की भुजाओं से समदूरस्थ है।
उपपत्ति: (i) ·.· BP ⊥ AP और BQ ⊥ AQ
∴ ∠P = 90° और ∠Q = 90°
·.· रेखा l, ∠A को समद्विभाजित करती है
∴ ∠QAB = ∠PAB
माना ∠QAB = ∠PAB = x°
तब ΔAPB और ΔAQB के अन्तः कोणों के योग की समानता से, ∠ABP + ∠PAB + ∠P = ∠ABQ + ∠QAB + ∠Q
∴ ∠ABP + x° + 90° = ∠ABQ + x° + 90°
⇒ ∠ABP = ∠ABQ
अब ΔAPB और ΔAQB में,
∠PAB = ∠QAB अभी सिद्ध किया है
AB = AB दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा है
∠ABP = ∠ABQ अभी सिद्ध किया हैं
तब सर्वांगसमता के कोण-भुजा-कोण (A.S.A.) परीक्षण से,
ΔAPB = ΔAQB
(ii) ·.· ΔAPB ≅ ΔAQB
और सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं।
∴ BP=BQ
अर्थात् बिन्दु B, ∠A की भुजाओं से समदूरस्थ है।
प्रश्न 6. दी गई आकृति में, AC = AE, AB = AD और ∠BAD = ∠EAC nw, दर्शाइए कि BC = DE है।
हल : दिया है : दी गई आकृति के त्रिभुज ABD में AB = AD तथा ΔACE में AC = AE है और ∠BAD = ∠EAC | रेखाखण्ड DE खींचा गया है।
सिद्ध करना है : BC = DE
उपपत्ति: ·.· ∠BAD = ∠EAC
दोनों ओर ∠DAC जोड़ने पर,
∠BAD + ∠DAC = ∠EAC + ∠DAC
∴ ∠BAC = ∠DAE ……(1)
अब ΔABC तथा ΔADE में,
भुजा AB = भुजा AD दिया है
∠BAC = ∠DAE समीकरण (1) से
भुजा AC = भुजा AE दिया है
∴ सर्वांगसमता के भुजा-कोण-भुजा (S.A.S.) परीक्षण से,
ΔABC ≅ ΔADE
अतः भुजा BC = भुजा DE
प्रश्न 7. AB एक रेखाखण्ड है और P इसका मध्य बिन्दु है। D और E रेखाखण्ड AB के एक ही ओर स्थित दो बिन्दु इस प्रकार हैं कि ∠BAD = ∠ABE और ∠EPA = ∠DPB है। दर्शाइए कि
(i) ΔDAP ≅ ΔEBP
(ii) AD = BE
हल : दिया है : AB एक रेखाखण्ड है जिसका मध्य- बिन्दु P है। AB के एक ही ओर दो बिन्दु D और E हैं। D से रेखाखण्ड DA और DP खींचे गए हैं और E से रेखाखण्ड EB और EP खींचे गए हैं जिससे ∠BAD = ∠ABE तथा ∠EPA = ∠DPB है।
सिद्ध करना है : (i) ΔDAP ≅ ΔEBP
(ii) AD = BE
उपपत्ति (i) ·.· P, AB का मध्य बिन्दु है जिससे AP = BP
और ·.· ∠BAD = ∠ABE
∴ ∠PAD = ∠PBE क्योंकि ∠BAD ≡ ∠PAD
और ∠ABE ≡ ∠PBE
·.· हमें ज्ञात है कि ∠EPA = ∠DPB
दोनों पक्षों में ∠EPD जोड़ने पर,
∠EPA + ∠EPD = ∠DPB + ∠EPD
∠DPA = ∠EPB
अब ΔDAP तथा ΔEBP में,
∠DPA = ∠EPB अभी सिद्ध किया है
AP = BP P, AB का मध्य बिन्दु है
∠PAD = ∠PBE सिद्ध कर चुके हैं
तब सर्वांगसमता के कोण – भुजा – कोण (A.S.A. Test) परीक्षण से,
ΔDAP ≅ ΔEBP
(ii) ·.· ΔDAP ≅ ΔEBP
और सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं।
∴ संगत भुजाओं का युग्म AD = BE
प्रश्न 8. एक समकोण त्रिभुजं ABC में, जिसमें ∠C समकोण है, M कर्ण AB का मध्य-बिन्दु है | C को M से मिलाकर D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DM = CM है। बिन्दु D को बिन्दु B से मिला दिया जाता है। दर्शाइए कि-
(i) ΔAMC ≅ ΔBMD
(ii) ∠DBC एक समकोण है।
(iii) ΔDBC ≅ ΔACB
हल : दिया है : ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠C = 90° है तथा कर्ण AB का मध्य-बिन्दु है M है। रेखाखण्ड CM खींचकर इसे बिन्दु D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि CM = DM है। बिन्दु D को बिन्दु B से मिलाकर रेखा BD खींची गई है।
सिद्ध करना है : (i) ΔAMC ≅ ΔBMD
(ii) ∠DBC एक समकोण है।
(iii) ΔDBC ≅ ΔACB
उपपत्ति: (i) ΔAMC और ΔBMD में,
AM = BM M, AB का मध्य बिन्दु हैं
CM = DM दिया है।
∠AMC = ∠BMD
रेखाखण्डों AB और CD के काटने से बने शीर्षाभिमुख कोण हैं।
∴ सर्वांगसमता के भुजा – कोण – भुजा (S.A.S. Test) परीक्षण से,
ΔAMC ≅ ΔBMD
(ii, iii) ·.· ΔAMC ≅ ΔBMD
∴ AC = BD तथा AM = DM और CM = BM
·.· AM = DM और CM = BM ⇒ AM + BM = CM + DM
⇒ AB = CD
अब ΔACB और ΔDBC में,
AC = BD ΔAMC और ΔBMD की सर्वांगसमता से
AB = CD अभी सिद्ध किया है
BC = BC उभयनिष्ठ भुजा है
तब त्रिभुजों की सर्वांगसमता के भुजा – भुजा – भुजा (S.S.S. Test) परीक्षण से,
ΔACB ≅ ΔDBC
अब ·.· ΔACB ≅ ΔDBC ∴ ∠DBC = ∠ACB
परन्तु दिया है कि ∠ACB या ∠C = 90°
∴ DBC = 90°
अत: ∠DBC एक समकोण है।
प्रश्नावली 7.2
प्रश्न 1. एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जिसमें AB = AC है, ∠B और ∠C के समद्विभाजक परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। A और O को जोड़िए और दर्शाइए कि
(i) OB = OC
(ii) AO, ∠A को समद्विभाजित करता है।
हल: दिया है : समद्विबाहु ΔABC में, AB = AC है। ∠B और ∠C के समद्विभाजक BO तथा CO बिन्दु O पर मिलते हैं। रेखाखण्ड AO को जोड़ा गया है।
प्रश्न 2. ΔABC में AD भुजा BC का लम्ब समद्विभाजक है। दर्शाइए कि ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है।
हल : दिया है : ABC एक त्रिभुज है जिसमें भुजा BC का लम्ब समद्विभाजक AD है।
सिद्ध करना है : ΔABC समद्विबाहु त्रिभुज हैं जिसमें AB = AC है।
उपपत्ति: ·.· AD, BC का लम्ब समद्विभाजक है
∴ BD = CD तथा ∠ADB = ∠ADC = 90°
अब ΔABD और ΔACD में,
BD = CD अभी सिद्ध किया है
∠ADB = ∠ADC अभी सिद्ध किया है
AD = AD दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा है
∴ त्रिभुजों की सर्वांगसमता के भुजा – कोण – भुजा (S.A.S. Test). परीक्षण से,
ΔABD ≅ ΔACD
·.· ΔABD ≅ ΔACD ⇒ AB = AC
अर्थात् ΔABC समद्विबाहु है ।
प्रश्न 3. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं AC और AB पर क्रमशः शीर्षलम्ब BE तथा CF खींचे गए हैं । दर्शाइए कि ये शीर्ष लम्ब बराबर हैं।
हल: दिया है : एक समद्विबाहु ΔABC में AB = AC तथा शीर्ष B से भुजा AC पर BE लम्ब डाला गया है और शीर्ष C से भुजा AB पर CF लम्ब डाला गया है।
सिद्ध करना है: BE = CF
उपपत्ति : ΔABC में,
AB = AC
∴ ∠ABC = ∠ACB
अब ΔBCF और ΔBCE में,
∠BFC = ∠BEC (BE ⊥ AC तथा CF LAB)
∠FBC = ΔECB
∠ABC = ∠ACB या ∠FBC = ∠ECB
BC = BC उभयनिष्ठ भुजा
∴ ΔBCF = ΔBCE
अतः BE = CF
अर्थात् दोनों शीर्षलम्ब बराबर हैं।
प्रश्न 4. ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB पर खींचे गए शीर्षलम्ब BE तथा CF बराबर हैं । दर्शाइए कि
(i) ΔABE ≅ ΔACF
(ii) AB = AC अर्थात् ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हल: दिया है : ΔABC में शीर्ष B से शीर्षलम्ब BE तथा शीर्ष C से शीर्षलम्ब CF, क्रमश: AC और AB पर इस प्रकार खींचे गए हैं कि BE = CF है|
प्रश्न 5. ABC और DBC समान (एक ही ) आधार पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं । दर्शाइए कि
∠ABD = ∠ACD
प्रश्न 6. ABC एक समद्विभाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। भुजा BA बिन्दु D तक इस प्रकार बढ़ाई गई है कि AD = AB है। दर्शाइए कि ∠BCD एक समकोण है।
हल: दिया है : ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें भुजा AB = AC है और भुजा BA को बिन्दु D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = AB है।
प्रश्न 7. ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें ∠A = 90° और AB = AC है | ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए ।
हल: दिया है : ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें A = 90° और बराबर भुजाओं में AB = AC है।
प्रश्न 8. दर्शाइए कि किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है।
हल: दिया है : ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें भुजाएँ AB, BC और CA परस्पर समान लम्बाई की हैं। ∠A, ∠B और ∠C समबाहु त्रिभुज के अन्त: कोण हैं।
सिद्ध करना है : त्रिभुज का प्रत्येक अन्तःकोण = 60°
उपपत्ति: ·.· ΔABC समबाहु है जिसमें AB = BC = AC
यदि AB = AC तो ∠C = ∠B …(1)
यदि AB = BC तो ∠C = ∠A …(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) से
∠A = ∠B = ∠C …(3)
परन्तु त्रिभुज के अन्तः कोणों का योग = 180°
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
∴ ∠A + ∠A + ∠A = 180°
∴ 3 ∠A = 180° ⇒ ∠A = 60°
तब समीकरण (3) से ∠A = ∠B = ∠C = 60°
अतः समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक अन्तः कोण = 60°
प्रश्नावली 7.3
प्रश्न 1. ΔABC और A DBC एक ही आधार पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D, भुजा BC के एक ही ओर स्थित हैं। यदि AD बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करे तो दर्शाइए कि-
(i) ΔABD ≅ ΔACD
(ii) ΔABP ≅ ΔACP
(iii) AP, ∠A और ZD दोनों को समद्विभाजित करता है।
(iv) AP, रेखाखण्ड BC का लम्ब समद्विभाजक है।
हल : दिया है : एक ही आधार BC पर दो समद्विबाहु त्रिभुज, ΔABC और ΔDBC ऐसे स्थित हैं कि A और D, BC के एक ही ओर हैं। AD को बढ़ाने पर यह BC को P पर काटती है।
·.· BP = CP ⇒ AP, भुजा BC का समद्विभाजक है।
·.· ∠APB + ∠APC = 180° और ∠APB = ∠APC
तब हल करने पर, ∠APB = ∠APC = 90°
∴ AP, BC पर लम्ब है।
·.· AP, BC पर लम्ब भी है और AP, BC का समद्विभाजक भी है।
अतः AP रेखाखण्ड BC का लम्ब समद्विभाजक है।
प्रश्न 2. AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का शीर्षलम्ब है, जिसमें AB = AC है । दर्शाइए कि
(i) AD, रेखाखण्ड BC को समद्विभाजित करता है।
(ii) AD, ∠A को समद्विभाजित करता है।
हल : दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। त्रिभुज के शीर्ष ∠A से BC पर AD लम्ब डाला गया है जिससे AD शीर्षलम्ब है।
सिद्ध करना है : (i) AD, रेखाखण्ड BC को समद्विभाजित करता है ।
(ii) AD, ∠A को समद्विभाजित करता है।
प्रश्न 3. एक ΔABC की दो भुजाएँ AB तथा BC और माध्यिका AM क्रमशः ΔPQR की भुजाओं PQ तथा QR और माध्यिका PN के बराबर है। दर्शाइए कि
प्रश्न 4. BE और CF एक ΔABC के दो बराबर शीर्षलम्ब हैं। R.H.S. सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हल : दिया है : ABC एक त्रिभुज है जिसमें शीर्ष B से भुजा AC पर BE शीर्ष लम्ब खींचा गया है और शीर्ष C से भुजा AB पर CF शीर्षलम्ब इस प्रकार है कि BE = CF
सिद्ध करना है : ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
उपपत्ति: ·.· ΔABC में BE, शीर्ष B से AC पर शीर्षलम्ब है
∴ ∠BEC = 90°
∴ ΔBEC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कर्ण BC है।
पुन: ·.· ΔABC में CF, शीर्ष C से AB पर शीर्षलम्ब है।
∴ ∠BFC = 90°
∴ ∠BFC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कर्ण BC है।
समकोण त्रिभुज ΔBEC और ΔBFC में,
BE = CF दिया है
BC = BC दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ भुजा है
सर्वांगसमता के नियम R. H.S. से, ΔBEC ≅ ΔBFC
∴ ∠ECB = ∠FBC ⇒ ∠ACB = ∠ABC
अब ΔABC में क्योंकि ∠ACB = ∠ABC
AB = AC
अत: ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
प्रश्न 5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। AP ⊥ BC खींचकर दर्शाइए कि ∠B = ∠C
हल : दिया है : ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। शीर्ष A से BC पर AP लम्ब खींचा गया है।
सिद्ध करना है : ∠B = ∠C
उपपत्ति : ·.· AP ⊥ BC
∴ ΔAPB में, APB = 90° जिससे कर्ण = AB है।
और ΔAPC में, APC = 90° जिससे कर्ण = AC है।
अब ΔAPB और ΔAPC में,
AB = AC दिया है
AP = AP दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा है
∴ समकोण त्रिभुजों की सर्वांगसमता के R. H. S. परीक्षण से,
ΔΑΡΒ ≅ ΔAPC
अत: ∠B = ∠C
प्रश्नावली 7.4
प्रश्न 1. दर्शाइए कि समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लम्बी (या सबसे बड़ी ) भुजा होती है।
हल : दिया है : ΔABC में, ∠C = 90° तथा भुजा AB कर्ण है।
सिद्ध करना है : कर्ण AB, सबसे बड़ी भुजा है।
उपपत्ति: ΔABC में, ∠C = 90°
∴ ∠A + ∠B = 180° – 90° = 90°
∴ ∠A तथा ∠B, 90° से छोटे हैं।
∴ ∠C > ∠A तथा ∠C > ∠B
ΔABC में, ∠C > ∠A
∴ AB > BC
तथा ∠C > ∠B
∴ AB > CA
·.· AB > BC और AB > CA
∴ AB, दोनों (BC व CA) से बड़ी है।
अतः कर्ण AB सबसे बड़ी भुजा है।
प्रश्न 2. सम्मुख आकृति में, ΔABC की भुजाओं AB और AC को क्रमशः बिन्दुओं P और Q तक बढ़ाया गया है साथ ही ∠PBC < ∠QCB दर्शाइए कि AC > AB
हल : दिया है : ΔABC में भुजाओं AB और AC को आगे बढ़ाया गया है। बढ़ी हुई AB पर बिन्दु P और बढ़ी हुई AC पर बिन्दु Q लिया गया है। इस प्रकार बने बहिष्कोणों में
∠PBC < ∠QCB
सिद्ध करना है : AC > AB
उपपत्ति : ·.· PBC, ΔABC का बहिष्कोण है।.
∴ ∠PBC = ∠ACB + ∠A
और ·.· ∠QCB भी ΔABC का बहिष्कोण है।
∴ ∠QCB = ∠ABC + ∠A
·.· ∠PBC < ∠QCB
∴ ∠ACB + ∠A < ∠ABC + ∠A
⇒ ∠ACB < ∠ABC
अब ΔABC में,
·.· ∠ACB < ∠ABC ⇒ ∠ABC > ∠ACB
तब बड़े कोण ∠ABC के सामने की भुजा AC > छोटे कोण ∠ACB की सम्मुख भुजा AB
अतः AC > AB
प्रश्न 3. सम्मुख आकृति में ∠B < ∠A और ∠C < ∠D है। दर्शाइए कि AD < BC
हल : दिया है : दी गई आकृति में ΔΑΒΟ का ∠B < ∠A से और ΔCDO का ∠C < ∠D से।
सिद्ध करना है : ऋजु रेखा AD < BC
उपपत्ति: ·.· ΔABO में, ∠B < ∠A
∴ ∠B के सामने की भुजा AO < ∠A के सामने की भुजा BO
∴ AO < BO …..(1)
इसी प्रकार ΔCDO में, ∠C < ∠D
∴ ∠C के सामने की भुजा OD < ∠D के सामने की भुजा OC
∴ OD < OC ……(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर,
AO + OD < BO + OC
∴ AD < BC
अतः AD < BC
प्रश्न 4. सम्मुख आकृति में, AB और CD क्रमशः एक चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजाएँ हैं । दर्शाइए कि
∠A > ∠C और ∠B > ∠D
हल : दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AB सबसे छोटी और CD सबसे बड़ी भुजा है।
सिद्ध करना है :
∠A > ∠C और ∠B > ∠D
रचना : रेखाखण्ड AC तथा BD खींचिए ।
उपपत्ति: ·.· AB सबसे छोटी भुजा है।
∴ BC > AB
तब ΔABC में,
BC का सम्मुख कोण ∠BAC > AB का सम्मुख कोण ∠ACB
∴ ∠BAC > ∠ACB ……(1)
पुन: ·.· CD सबसे बड़ी भुजा है।
∴ CD > AD
∴ ∠DAC > ∠DCA ……(2)
समी० (1) व समी० (2) को जोड़ने पर,
∴ ∠BAC + ∠DAC > ∠ACB + ∠DCA
∴ ∠BAD > ∠BCD
या ∠A > ∠C
·.· AB सबसे छोटी भुजा है।
तब ΔABD में, AD > AB
∴ ∠ABD > ∠ADB …….(3)
इसी प्रकार, CD सबसे बड़ी भुजा है।
तब ΔBCD में, CD > BC
∴ ∠CBD > ∠BDC ……..(4)
समी० (3) व (4) को जोड़ने पर,
∠ABD + ∠CBD > ∠ADB + ∠BDC
∴ ∠ABC > ∠ADC
या ∠B > ∠D
प्रश्न 5. सम्मुख आकृति में, PR > PQ है और PS, ∠QPR को समद्विभाजित करता है। सिद्ध कीजिए कि ∠PSR > ∠PSQ है।
हल: दिया है : ΔPQR में, PR > PQ और ∠QPR का समद्विभाजक, QR से बिन्दु S पर मिलता है | ∠PSR = x° तथा PSQ = y°
सिद्ध करना है : ∠PSR > ∠PSQ
उपपत्ति : ΔPQR में, PR > PQ
∴ ∠Q > ∠R
·.· PS, ∠P का समद्विभाजक है।
प्रश्न 6. दर्शाइए कि एक रेखा पर एक दिए हुए बिन्दु से, जो उस रेखा पर स्थित नहीं है, जितने रेखाखण्ड खींचे जा सकते हैं उनमें लम्ब रेखाखण्ड सबसे छोटा होता है।
हल: दिया है : AB एक सरल रेखा है और P उसके बाहर दिया हुआ एक बिन्दु है। P से रेखा AB पर PM और PN रेखाखण्ड खींचे गए हैं, जिनमें PM ⊥ AB
सिद्ध करना है : PM < PN
उपपत्ति : ΔMPN में,
∠M = 90°, PM ⊥ AB
∴ शेष कोण ∠MPN + ∠PNM = 90°
∴ प्रत्येक 90° से छोटा है।
∴ ∠M > ∠N
∠M के सामने की भुजा > ∠N के सामने की भुजा से
∴ PN > PM
∴ PN> PM
प्रश्नावली 7.5 ऐच्छिक
प्रश्न 1. ABC एक त्रिभुज है। इसके अभ्यन्तर में एक ऐसा बिन्दु ज्ञात कीजिए जो ΔABC के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।
हल : एक ΔABC के अभ्यन्तर में एक ऐसा बिन्दु P ज्ञात करना है जो त्रिभुज के तीनों शीर्षों A, B व C से समान दूरी पर हो।
रचना विधि :
(1) सर्वप्रथम दिया हुआ त्रिभुज ABC बनाइए ।
(2) AB तथा BC के लम्ब समद्विभाजक खींचिए जो परस्पर बिन्दु P पर काटें ।
(3) रेखाखण्ड PA, PB और PC खींचिए।
P अभीष्ट बिन्दु है जो तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।
प्रश्न 2. किसी त्रिभुज के अभ्यन्तर में एक ऐसा बिन्दु ज्ञात कीजिए जो त्रिभुज की सभी भुजाओं समदूरस्थ है।
हल : माना ABC एक त्रिभुज है जिसके अभ्यन्तर में एक ऐसा बिन्दु P ज्ञात करना है जो त्रिभुज की तीनों भुजाओं AB, BC और CA से समदूरस्थ हो ।
रचना विधि :
(1) सर्वप्रथम दिया हुआ ΔABC बनाइए ।
(2) ∠B और ∠C के समद्विभाजक खींचिए जो परस्पर बिन्दु P पर काटें।
P अभीष्ट बिन्दु है जो तीनों भुजाओं से समदूरस्थ है।
प्रश्न 3. एक बड़े पार्क में लोग तीन बिन्दुओं (स्थानों) पर केन्द्रित हैं-
A : जहाँ बच्चों के लिए फिसलपट्टी और झूले हैं।
B : जिसके पास मानव निर्मित एक झील है।
C : जो एक बड़े पार्किंग स्थल और बाहर निकलने के रास्ते के निकट है।
एक आइसक्रीम का स्टॉल कहाँ लगाना चाहिए ताकि वहाँ लोगों की अधिकतम संख्या पहुँच सके ?
हल: A, B और C तीन बिन्दु स्थान हैं। आइसक्रीम का स्टॉल लगाने के लिए लोगों की उस पर अधिकतम पहुँच होने के लिए यह आवश्यक है कि स्टॉल तीनों स्थानों से समदूरस्थ हो ।
अतः आइसक्रीम स्टॉल लगाने के लिए हमें एक ऐसे स्थान (बिन्दु) P का चयन करना है जो पार्क के तीनों स्थानों से समान दूरी पर हो।
ज्ञात करने की विधि :
(1) बिन्दु A से बिन्दु B को, बिन्दु B से बिन्दु C को और बिन्दु C से बिन्दु A को ऋजु रेखाओं द्वारा मिलाकर ΔABC बनाइए ।
(2) किन्हीं दो भुजाओं (AB व BC) के लम्ब समद्विभाजक खींचिए जो परस्पर बिन्दु P पर काटें ।
आइसक्रीम स्टॉल के चयन के लिए उपयुक्त स्थान बिन्दु P होगा जो तीनों स्थानों से समदूरस्थ है।
प्रश्न 4. षड्भुजीय और तारे के आकार की रंगोलियों को 1 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों से भरकर पूरा कीजिए । प्रत्येक स्थिति में त्रिभुजों की संख्या गिनिए। किसमें अधिक त्रिभुज हैं?
हल: चित्रों से स्पष्ट है कि विकर्णो को मिलाने पर षड्भुजीय आकृति को 6 समबाहु त्रिभुजों में और तारे के आकार की आकृति को 12 समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है जबकि समबाहु त्रिभुजों में प्रत्येक भुजा 5 सेमी है।
पुनः षड्भुजीय आकृति के एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा 5 सेमी है, को 1 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों में विभाजित कर स्पष्ट किया गया है कि 5 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज को 1 सेमी भुजा वाले 25 त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।
तब स्थिति 1: षड्भुजीय रंगोली
इसको 1 सेमी भुजा वाले 6 × 25 = 150 समबाहु त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है।
स्थिति 2 : तारे के आकार की रंगोली
5 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 12
∴ आकृति में 1 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 12 × 25 = 300
स्पष्ट है कि तारे के आकार वाली आकृति में त्रिभुजों की संख्या अधिक है।