UK Board 9th Class Math – Chapter 8 चतुर्भुज
UK Board 9th Class Math – Chapter 8 चतुर्भुज
UK Board Solutions for Class 9th Math – गणित – Chapter 8 चतुर्भुज
प्रश्नावली 8.1
प्रश्न 1. एक चतुर्भुज के कोण 3 : 5 : 9 : 13 के अनुपात में हैं। इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
हल : ·.· चतुर्भुज के कोणों का अनुपात 3 : 5 : 9 : 13 है।
अतः माना कि चतुर्भुज के कोणों की माप क्रमश: 3x, 5x, 9x और 13x है।
प्रश्न 2. यदि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।
हल : दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। जिसमें विकर्ण AC = BD है। विकर्णों का प्रतिच्छेद बिन्दु O है।
सिद्ध करना है : ABCD एक आयत है।
उपपत्ति: ·.· समान्तर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD हैं जो O पर प्रतिच्छेद करते हैं
∴ AC = BD
∴ AO + OC = BO + OD …(1)
·.· AC और BD समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण हैं और बिन्दु O पर काटते हैं।
∴ AO = OC और BO = OD …(2)
तब समीकरण (1) व (2) से,
AO = BO =OD
प्रश्न 3. दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।
हल : ज्ञात हैं : एक चतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को बिन्दु O पर परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
अर्थात् ∠AOD = ∠COD = 90°
तथा OA = OC तथा OB = OD
सिद्ध करना है : चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है।
उपपत्ति: ΔAOD तथा ΔCOB में,
∴ सर्वांगसमता के भुजा-कोण-कोण प्रतिबन्ध से ΔAOD तथा ΔCOB सर्वांगसम हैं।
·.· सर्वांगसम त्रिभुजों AOD तथा COB के संगत भाग बराबर होंगे,
∴ ∠OAD = ∠OCB
परन्तु ∠OAD = ∠CAD : तथा ∠OCB = ∠ACB
∴ ∠CAD = ∠ACB
इससे प्रदर्शित होता है कि AD और BC को तिर्यक रेखा AC द्वारा काटने पर बने एकान्तर अन्तः कोण CAD तथा ACB बराबर हैं जो केवल तभी सम्भव है जबकि AD एवं BC एक-दूसरे के समान्तर हो ।
∴ AD एवं BC एक-दूसरे के समान्तर हैं। …(1)
इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है कि
AB एवं DC एक-दूसरे के समान्तर हैं। …(2)
इस प्रकार सिद्ध हुआ कि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
अब हम दिखाएँगे कि AB = BC = CD = DA
ΔAOD तथा ΔCOD में,
OA = OC दिया है।
∠AOD = ∠COD = 90° दिया है।
OD = OD उभयनिष्ठ है।
∴ सर्वांगसमता के भुजा – कोण- भुजा प्रतिबन्ध से ΔAOD तथा ΔCOD सर्वांगसम हैं।
·.· सर्वांगसम त्रिभुजों AOD तथा COD के संगत भाग बराबर होंगे,
∴ AD = CD
इससे प्रदर्शित होता है कि ABCD एक ऐसा समान्तर चतुर्भुज है जिसकी क्रमागत भुजाओं का एक युग्म AD, CD बराबर है।
अत: समान्तर चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है।
प्रश्न 4. दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
हल : दिया है : ABCD एक वर्ग है जिसके विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है : AC = BD और ∠AOB एक समकोण या 90°
उपपत्ति: ABCD एक वर्ग है।
∴ AB = BC = CD = DA
और ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
तब ΔABC और ∠BCD समकोण त्रिभुज हैं।
अब ΔABC और ΔBCD में,
AB = CD
ABCD एक वर्ग है
∠B = ∠C
ABCD एक वर्ग है
BC = BC
दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा है
∴ त्रिभुजों की सर्वांगसमता के परीक्षण भुजा – कोण – भुजा (S.A.S.) से,
अतः वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
प्रश्न 5. दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और वे परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें तो वह एक वर्ग होता है।
हल: दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण AC और BD बराबर हैं तथा एक-दूसरे को बिन्दु O पर इस प्रकार काटते हैं कि AO = OC तथा BO = OD तथा AC ⊥ BD
प्रश्न 6. समान्तर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC, ∠A को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि
(i) यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है।
(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है ।
प्रश्न 7. ABCD एक समचतुर्भुज है। दर्शाइए विकर्ण AC कोणों A और C दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण BD, कोणों B और D दोनों को समद्विभाजित करता है।
हल : दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है।
सिद्ध करना है। : विकर्ण AC, ∠A और ∠C दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण BD, ∠B तथा ∠D दोनों को समद्विभाजित करता है।
अत: विकर्ण AC, ∠A व ∠C को समद्विभाजित करता है और BD, ∠B व ∠D को समद्विभाजित करता है।
प्रश्न 8. ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोणों A व C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि
(i) ABCD एक वर्ग है।
(ii) BD, दोनों कोणों Bऔर D को समद्विभाजित करता है।
प्रश्न 9. समान्तर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिन्दु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है। दर्शाइए कि
(i) ΔAPD ≅ ΔCQB
(ii) AP=CQ
(iii) ΔAQB ≅ ΔCPD
(iv) AQ = CP
(v) APCQ एक समान्तर चतुर्भुज है।
प्रश्न 10. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा AP और CQ शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर क्रमशः लम्ब हैं । दर्शाइए कि
(i) ΔAPB ≅ ΔCQD
(ii) AP = CQ
प्रश्न 11. ΔABC और ΔDEF में, AB = DE, AB || DE, BC = EF और BC || EF है। शीर्षों A, B और C को क्रमशः शीर्षों D, E और F से जोड़ा जाता है। दर्शाइए कि
(i) चतुर्भुज ABED एक समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) चतुर्भुज BEFC एक समान्तर चतुर्भुज है।
(iii) AD || CF और AD = CF है।
(iv) चतुर्भुज ACFD एक समान्तर चतुर्भुज है।
(v) AC = DF है।
(vi) ΔABC ≅ ΔDEF है।
हल : दिया है : ΔABC और ΔDEF दो त्रिभुज हैं जिनमें AB = DE और AB || DE तथा BC = EF और BC || EF हैं। शीर्षों A, B व C को क्रमशः शीर्षों D, E व F से ऋजु रेखाखण्डों द्वारा जोड़ा गया है।
प्रश्न 12. ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AB || DC और AD = BC है। दर्शाइए कि
(i) ∠A = ∠B
(ii) ∠C = ∠D
(iii) ΔABC ≅ ΔBAD
(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD
प्रश्नावली 8.2
प्रश्न 1. ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य – बिन्दु हैं। AC उसका एक विकर्ण है। दर्शाइए कि
अतः इनसे बनाया गया चतुर्भुज PQRS एक समान्तर चतुर्भुज होगा।
प्रश्न 2. ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R, S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए कि PQRS एक आयत है।
हल: दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है। जिसकी भुजाओं AB, BC, CD, DA के मध्य-बिन्दु क्रमश: P, Q, R, S हैं।
PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है और समीकरण (5) से उसका एक अन्त: कोण समकोण है।
अत: PQRS एक आयत है।
प्रश्न 3. ABCD एक आयत है जिसमें P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं । दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।
प्रश्न 4. ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AB || CD है। साथ ही BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का मध्य बिन्दु है | E होकर एक रेखा AB के समान्तर खींची गई है जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि F भुजा BC का मध्य-बिन्दु है।
प्रश्न 5. एक समान्तर चतुर्भुज ABCD में E और F क्रमशः भुजाओं AB और CD के मध्य-बिन्दु हैं । दर्शाइए कि रेखाखण्ड AF और CE विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।
हल : दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। बिन्दु E और F क्रमशः उसकी भुजाओं AB तथा CD के मध्य-बिन्दु हैं। उसका विकर्ण BD रेखाखण्डों AF तथा CE से क्रमश: बिन्दुओं P और Q पर विभक्त होता है।
सिद्ध करना है : BD को AF और CE तीन बराबर भागों में बाँटते हैं अर्थात् DP = PQ = QB
अत: रेखाखण्ड AF और CE, विकर्ण BD को तीन बराबर भागों में विभक्त करते हैं।
प्रश्न 6. दर्शाइए कि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
हल : दिया है : चतुर्भुज ABCD की भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य – बिन्दु क्रमश: P, Q, R व S हैं। सम्मुख भुजाओं AB और CD के मध्य-बिन्दुओं P और R को मिलाकर रेखाखण्ड PR बनता है तथा BC और DA के मध्य-बिन्दुओं Q और S से रेखाखण्ड QS बनता है।
सिद्ध करना है : PR और QS परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
रचना : रेखाखण्ड PQ, QR, RS और SP को मिलाइए तथा विकर्ण AC और BD खींचिए ।
प्रश्न 7. ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है । कर्ण AB के मध्य-बिन्दु M से होकर BC के समान्तर खींची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि-
