UK Board 9th Class Math – Chapter 9 समान्तर चतुर्भुजों और त्रिर्भुजों के क्षेत्रफल
UK Board 9th Class Math – Chapter 9 समान्तर चतुर्भुजों और त्रिर्भुजों के क्षेत्रफल
UK Board Solutions for Class 9th Math – गणित – Chapter 9 समान्तर चतुर्भुजों और त्रिर्भुजों के क्षेत्रफल
प्रश्नावली 9.1
प्रश्न 1. निम्नलिखित आकृतियों में से कौन-सी आकृतियाँ एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं? ऐसी स्थिति में, उभयनिष्ठ आधार और दोनों समान्तर रेखाएँ लिखिए।
हल : (i) इस आकृति में त्रिभुज PDC और चतुर्भुज ABCD का उभयनिष्ठ आधार DC है और DC की समान्तर रेखा पर त्रिभुज का शीर्ष P और चतुर्भुज के शीर्ष A व B स्थित हैं।
अतः ये आकृतियाँ (त्रिभुज और चतुर्भुज) एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
(ii) इस आकृति में दोनों चतुर्भुजों का आधार SR तो उभयनिष्ठ है परन्तु उनके शीर्ष P, Q व M, N आधार के समान्तर एक ही रेखा में नहीं हैं। अतः ये एक ही आधार और एक समान्तर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं।
(iii) दी गई आकृति में ΔQRT और 
PQRS का आधार QR उभयनिष्ठ है जबकि आधार QR के समान्तर एक ही रेखा पर ΔQRT का शीर्ष T और PQRS के शीर्ष P व S स्थित हैं। तब ΔQRT और PQRS एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं। उभयनिष्ठ आधार QR तथा समान्तर रेखाएँ QR व PS हैं।
PQRS का आधार QR उभयनिष्ठ है जबकि आधार QR के समान्तर एक ही रेखा पर ΔQRT का शीर्ष T और PQRS के शीर्ष P व S स्थित हैं। तब ΔQRT और PQRS एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं। उभयनिष्ठ आधार QR तथा समान्तर रेखाएँ QR व PS हैं।(iv) दी गई आकृति में दो समलम्ब व एक त्रिभुज है जिनका कोई उभयनिष्ठ आधार नहीं है। अतः ये एक ही आधार व एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं।
(v) इस आकृति में दो समलम्ब ABQD तथा APCD हैं व दो त्रिभुज ABP तथा DCQ हैं जिनमें सभी का कोई उभयनिष्ठ आधार नहीं है । अतः ये आकृतियाँ एक ही आधार व एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं।
(vi) दी गई आकृति में PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है जिसके अन्तर्गत PADS, ABCD व BQRC, तीन समान्तर चतुर्भुजं समाहित हैं परन्तु इनका कोई उभयनिष्ठ आधार नहीं है । अतः ये आकृतियाँ एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं।
PADS, ABCD व BQRC, तीन समान्तर चतुर्भुजं समाहित हैं परन्तु इनका कोई उभयनिष्ठ आधार नहीं है । अतः ये आकृतियाँ एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं।प्रश्नावली 9.2
प्रश्न 1. दी गई आकृति में ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है और AE ⊥ DC तथा CE ⊥ AF है। यदि AB = 16 सेमी, AE = 8 सेमी और CF = 10 सेमी है तो AD ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 2. यदि E, F, G और H क्रमशः समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं तो दर्शाइए कि
प्रश्न 3. P और Q क्रमशः समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिन्दु हैं दर्शाइए कि
प्रश्न 4. सम्मुख आकृति में P समान्तर चतुर्भुज ABCD के अभ्यन्तर में स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि
प्रश्न 5. दी गई आकृति में, PQRS और ABRS दो समान्तर चतुर्भुज हैं तथा X भुजा BR पर स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि
प्रश्न 6. एक किसान के पास समान्तर चतुर्भुज PQRS के रूप का एक खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिन्दु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? वह किसान खेत में गेहूँ और दालें बराबर-बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहता है। वह ऐसा कैसे करे?
हल : माना किसान के पास चित्रानुसार PQRS समान्तर चतुर्भुज के आकार का एक खेत है। किसान ने भुजा RS पर एक बिन्दु A चुनकर उसे P तथा Q से मिला दिया।
खेत तीन त्रिभुजाकार भागों में विभाजित हो गया है। ये भाग Δ PSA, Δ PAQ तथा Δ QAR हैं।
·.· किसान को गेहूँ और दालें बराबर क्षेत्रफलों में बोनी हैं इसलिए P से सम्मुख भुजा SR पर PN लम्ब डाला गया है।
अतः किसान को Δ PAQ क्षेत्रफल में गेहूँ और Δ PSA तथा Δ QAR के क्षेत्रफल में दालें बोना चाहिए।
प्रश्नावली 9.3
प्रश्न 1. दी गई आकृति में, Δ ABC की एक माध्यिका AD पर स्थित E कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि ar (ABE) = ar (ACE) है।
प्रश्न 3. दर्शाइए कि समान्तर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
हल: दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। जिसके विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को बिन्दु O पर काटते हैं।
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। जिसके विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को बिन्दु O पर काटते हैं।सिद्ध करना है : Δ ADO का क्षेत्रफल = Δ ABO का क्षेत्रफल = Δ BCO का क्षेत्रफल = Δ CDO का क्षेत्रफल = Δ ADO का क्षेत्रफल
रचना : शीर्ष A से BD पर लम्ब AN खींचा।
उपपत्ति: ·.· ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है और AC व BD उसके विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर काटते हैं।
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है और AC व BD उसके विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर काटते हैं।
अत: स्पष्ट है कि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण उसे समान क्षेत्रफल वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
प्रश्न 4. दी गई आकृति में, ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं। यदि रेखाखण्ड CD रेखाखण्ड AB से बिन्दु O पर समद्विभाजित होता है तो दर्शाइए कि ar (ABC) = ar (ABD) है।
हल: दिया है : दो Δ ABC व Δ ABD एक ही आधार AB पर स्थित हैं। AB रेखाखण्ड CD को O पर समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है :
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल
अथवा
ar (Δ ABC) = ar (Δ ABD)
रचना : शीर्षो C तथा D से AB पर क्रमश: CE तथा DF लम्ब खींचे।
प्रश्न 5. D, E और F क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिन्दु हैं । दर्शाइए कि
प्रश्न 6. दी गई आकृति में, चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है। यदि AB = CD है तो दर्शाइए कि
(i) ar (DOC) = ar (AOB)
(ii) ar (DCB) = ar (ACB)
(iii) DA||CB या ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
हल : दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण AC, दूसरे विकर्ण BD को बिन्दु O पर इस प्रकार काटता है कि OB = OD | भुजा AB, भुजा CD के बराबर है।
प्रश्न 7. बिन्दु D और E क्रमश: ΔABC की भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि ar (DBC) = ar (EBC) है | दर्शाइए कि DE ||BC है |
हल: दिया है : ΔABC की दो भुजाओं AB तथा AC पर दो बिन्दु D और E इस प्रकार हैं कि ΔDBC का क्षेत्रफल = ΔEBC का क्षेत्रफल |
सिद्ध करना है : DE || BC
उपपत्ति : ·.· ar (Δ DBC) = ar (Δ EBC)
या Δ DBC का क्षेत्रफल = Δ EBC का क्षेत्रफल और दोनों उभयनिष्ठ आधार BC पर एक ही ओर स्थित हैं।
∴ दोनों त्रिभुजों के शीर्ष BC के समान्तर एक ही रेखा पर स्थित होंगे।
अत: DE || BC
प्रश्न 8. XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समान्तर एक रेखा है । यदि BE||AC और CF||AB रेखा XY से क्रमश: E और F पर मिलती हैं तो दर्शाइए कि :
ar (ABE) = ar (ACF)
हल : दिया है : Δ ABC भुजा BC के समान्तर एक रेखा XY खींची गई है। बिन्दु B से AC के समान्तर रेखा BE खींची गई है जो XY से E पर मिलती है और इसी प्रकार बिन्दु C से AB के समान्तर एक रेखा CF खींची गई है जो XY से बिन्दु F’ पर मिलती है।
सिद्ध करना है : ar (Δ ABE) = ar (Δ ACF)
उपपत्ति : ·.· XY || BC और BE || AC
यहाँ समान्तर रेखा युग्म (XY, BC) को अन्य समान्तर रेखा युग्म (EB, AC) द्वारा काटने पर समान्तर चतुर्भुज AEBC प्राप्त होता है।
·.· AB, समान्तर चतुर्भुज AEBC का विकर्ण है।
∴ ΔABE का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल …(1)
पुनः ·.· XY || BC और CF || AB
अर्थात् एक समान्तर रेखा युग्म (XY, BC) को दूसरे समान्तर रेखा युग्म (CF, AB) द्वारा काटने पर समान्तर चतुर्भुज ABCF प्राप्त होता है।
·.· AC, समान्तर चतुर्भुज ABCF का विकर्ण है।
∴ Δ ABC का क्षेत्रफल = Δ ACF का क्षेत्रफल … (2)
समीकरण (1) व (2) से,
Δ ABE का क्षेत्रफल = Δ ACF का क्षेत्रफल
या ar (ABE) = ar (ACF)
प्रश्न 9. समान्तर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को एक बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। A से होकर CP के समान्तर खींची गई रेखा बढ़ाई गई CB को Q पर मिलती है और फिर समान्तर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है। दर्शाइए कि :
ar (ABCD) = ar (PBQR) है।
हल : दिया है : समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजा AB को किसी बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। बिन्दु A से CP के समान्तर रेखा AQ है जो बढ़ी हुई CB से Q पर मिलती है। समान्तर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है।
सिद्ध करना है : क्षेत्रफल ( समान्तर चतुर्भुज ABCD)
= क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज PBQR)
रचना : चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC तथा चतुर्भुज PBQR का विकर्ण PQ खींचिए ।
उपपत्ति: ·.· AQ || CP और Δ ACQ तथा Δ APQ का आधार AQ है और ये इन्हीं समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं
∴ क्षेत्रफल (Δ ACQ) = क्षेत्रफल (Δ APQ)
∴ क्षेत्रफल (Δ ACB) + क्षेत्रफल (Δ ABQ)
= क्षेत्रफल (Δ ABQ) + क्षेत्रफल (Δ BPQ)
∴ क्षेत्रफल (Δ ACB) = क्षेत्रफल (Δ BPQ) …(1)
·.· Δ ACB की भुजा AC, समान्तर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण है और Δ BPQ की भुजा PQ, समान्तर चतुर्भुज PBQR का विकर्ण है
∴ क्षेत्रफल (Δ ACB) = 1/2 क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज ABCD) …(2)
और क्षेत्रफल (Δ BPQ) = 1/2 क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज PBQR) …(3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
1/2 क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज ABCD)
= 1/2 क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज PBQR)
∴ क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज ABCD)
= क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज PBQR)
प्रश्न 10. एक समलम्ब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं । दर्शाइए कि
ar (AOD)=ar (BOC) है।
हल: दिया है : ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || DC है और समलम्ब के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || DC है और समलम्ब के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं।सिद्ध करना है : Δ AOD का क्षेत्रफल = Δ BOC का क्षेत्रफल
या ar (Δ AOD) = ar (Δ BOC)
उपपत्ति : ·.· समलम्ब ABCD में AB || DC है और Δ ADC तथा Δ BDC दोनों का उभयनिष्ठ आधार DC है और दोनों के शीर्ष A तथा B, DC के समान्तर भुजा AB पर स्थित हैं।
∴ Δ ADC और Δ BDC एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
∴ Δ ADC का क्षेत्रफल = Δ BDC का क्षेत्रफल
दोनों पक्षों Δ DOC का क्षेत्रफल कम करने पर,
Δ ADC का क्षेत्रफल – Δ DOC का क्षेत्रफल
= Δ BDC का क्षेत्रफल – Δ DOC का क्षेत्रफल
∴ Δ AOD का क्षेत्रफल = Δ BOC का क्षेत्रफल
अथवा
ar (AOD) = ar (BOC)
प्रश्न 11. दी गई आकृति में, ABCDE एक पंचभुज है। B से होकर AC के समान्तर खींची गई रेखा बढ़ाई गई DC को F पर मिलती है। दर्शाइए कि
(i) ar (ACB) = ar (ACF)
(ii) ar(AEDF) = ar (ABCDE)
हल : दिया है : दी गई आकृति में ABCDE एक पंचभुज है। रेखाखण्ड AC खींचा गया है और बिन्दु B से इसके समान्तर एक रेखा खींची गई है जो DC को बढ़ाने पर उससे बिन्दु F पर मिलती है।
प्रश्न 12. गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखण्ड था। उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखण्ड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केन्द्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबन्ध के साथ स्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के बदले उसी भूखण्ड के संलग्न एक भाग ऐसा दे दिया जाए कि उसका भूखण्ड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।
हल : माना ABCD एक चतुर्भुजाकार भूखण्ड है जिसके एक कोने से कुछ भाग लेकर समान क्षेत्रफल का दूसरा भाग देना है जो खेत से संलग्न भी हो और बचे खेत के साथ मिलकर पूर्ण भूखण्ड त्रिभुजाकार बना सके।
चतुर्भुजाकार खेत का विकर्ण AC खींचिए।
बिन्दु D से DE ||AC खींचिए जो बढ़ी हुई BC को E पर काटे। रेखाखण्ड AE खींचिए जो CD रेखा O पर काटे ।
देखिए Δ ACD और Δ ACE एक ही आधार AC पर एक ही समान्तर रेखाओं AC व DE के बीच स्थित हैं।
∴ ar (Δ ACD) = ar (Δ ACE)
या ar (Δ AOD) + ar (Δ AOC) = ar (Δ AOC) + ar (Δ COE)
या ar (Δ AOD) = ar (Δ COE)
अत: Δ AOD क्षेत्र लेकर उसके बचे भूखण्ड के क्षेत्र में क्षेत्र (Δ COE) जोड़कर दे देना चाहिए।
प्रश्न 13. ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AB || DC है | AC के समान्तर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है । सिद्ध कीजिए कि ar (ADX) = ar (ACY) है।
हल : दिया है : ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || DC है। विकर्ण AC खींचा गया है। AC के समान्तर एक रेखा l खींची गई जो AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है। रेखाखण्ड DX और AY खींचे गए हैं जिनसे Δ ADX और Δ ACY बने हैं।
सिद्ध करना है : ar (Δ ADX) = ar (Δ ACY)
रचना : रेखाखण्ड CX खींचा।
उपपत्ति : (i) ·.· AB पर एक बिन्दु X है और AB || DC है |
∴ AX || DC
तब Δ ADX और Δ ACX एक ही आधार AX पर एक ही समान्तर रेखाओं AX व DC के मध्य स्थित हैं।
∴ ar (Δ ADX) = ar (Δ ACX) … (1)
पुन: l || AC ⇒ XY || AC
तब Δ ACX और Δ ACY समान (उभयनिष्ठ) आधार AC पर समान्तर रेखाओं XY और AC के बीच स्थित है।
∴ ar (Δ ACX ) = ar (Δ ACY) …. (2)
तब समीकरण (1) व (2) से,
ar (Δ ADX) = ar (Δ ACY)
प्रश्न 14. दी गई आकृति में AP || BQ || CR है । सिद्ध कीजिए कि ar (AQC) = ar (PBR) है।
हल: दिया है : दी गई आकृति में AP || BQ है और BQ || CR है। रेखाखण्ड AQ, CQ, BP और BR खींचे गए हैं।
प्रश्न 15. चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar (AOD) = ar (BOC) है। सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलम्ब है।
हल : दिया है : ABCD में विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं और Δ AOD का क्षेत्रफल = Δ BOC का क्षेत्रफल ।
ABCD में विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं और Δ AOD का क्षेत्रफल = Δ BOC का क्षेत्रफल ।सिद्ध करना है : ABCD एक समलम्ब है।
ABCD एक समलम्ब है।उत्पत्ति : ΔAOD का क्षेत्रफल = ΔBOC का क्षेत्रफल
दोनों ओर समान क्षेत्रफल ΔDOC जोड़ने पर,
ΔAOD का क्षेत्रफल + ΔDOC का क्षेत्रफल = ΔDOC का क्षेत्रफल + ΔBOC का क्षेत्रफल
∴ (Δ AOD + Δ DOC) का क्षेत्रफल
= (Δ DOC + Δ BOC) का क्षेत्रफल
∴ Δ ADC का क्षेत्रफल = Δ BDC का क्षेत्रफल
·.· उक्त दोनों त्रिभुजों का उभयनिष्ठ आधार DC है और दोनों का क्षेत्रफल समान है।
तब, दोनों एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित होंगे।
∴ AB || DC
अत: ABCD एक समलम्ब है।
ABCD एक समलम्ब है। प्रश्न 16. दी गई आकृति में, ar (DRC) = ar (DPC) है और ar (BDP) = ar (ARC) है। दर्शाइए कि दोनों चतुर्भुज ABCD और DCPR समलम्ब हैं।
हल: दिया है : दी गई आकृति में Δ DRC, Δ DPC, Δ BPD और Δ ARC इस प्रकार हैं कि
ar (Δ DRC) = ar (Δ DPC) और
ar (Δ BDP) = ar (Δ ARC)
सिद्ध करना है : चतुर्भुज ABCD और चतुर्भुज DCPR समलम्ब हैं।
उपपत्ति: ·.· Δ DRC और Δ DPC में ज्ञात है कि
ar (Δ DRC) = ar (Δ DPC) और दोनों त्रिभुजों का उभयनिष्ठ आधार DC है।
∴ Δ DRC और Δ DPC एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
∴ DC || RP …(1)
अत: चतुर्भुज DCPR एक समलम्ब है।
·.· ar (Δ BDP ) = ar (Δ ARC)
∴ ar (Δ BDC) + ar (Δ DPC)
= ar (Δ DRC) + ar (Δ ADC )
परन्तु ar (Δ DPC) = ar (Δ DRC) दिया है
∴ घटाने पर, ar (Δ BDC) = ar (Δ ADC)
·.· Δ BDC और Δ ADC के क्षेत्रफल बराबर हैं और उनका उभयनिष्ठ आधार DC है।
तब Δ BDC और Δ ADC एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
∴ AB || DC ….(2)
अतः चतुर्भुज ABCD का एक समलम्ब है।
तब चतुर्भुज ABCD और चतुर्भुज DCPR दोनों ही समलम्ब हैं।
प्रश्नावली 9.4 (ऐच्छिक)
प्रश्न 1. समान्तर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं । दर्शाइए कि समान्तर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से अधिक है।
प्रश्न 2. दी गई आकृति में, भुजा BC पर दो बिन्दु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है। दर्शाइए कि ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है।
क्या आप अब उस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, जो आपने इस अध्याय की ‘भूमिका’ में छोड़ दिया था कि “क्या बुधिया का खेत वास्तव में बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन भागों में विभाजित हो गया है “?
हल: दिया है : भुजा BC पर D और E दो बिन्दु इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है |
सिद्ध करना है : ar (Δ ABD) = ar (Δ ADE) = ar (Δ AEC)
रचना : शीर्ष से BC पर शीर्षलम्ब AP खींचा।
उपपत्ति: ·.· BD = DE = EC
∴ तीनों त्रिभुजों के आधार समान हैं। यह भी स्पष्ट है कि तीनों त्रिभुजों की एक ही ऊँचाई AP है। तब तीनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल भी समान होंगे।
अतः ar (Δ ABD) = ar (ADE) = ar (Δ AEC)
किसी त्रिभुज के आधार को n समान भागों में विभक्त कर सम्मुख शीर्ष से मिलाने पर त्रिभुज समान n भागों में विभक्त हो जाता है।
प्रश्न 3. दी गई आकृति में, ABCD, DCFE और ABFE समान्तर चतुर्भुज हैं । दर्शाइए कि ar (ADE) = ar (BCF) है।
हल: दिया है : दी गई आकृति में चतुर्भुज ABCD, चतुर्भुज DCFE और चतुर्भुज ABFE समान्तर चतुर्भुज हैं।
सिद्ध करना है : ar (Δ ADE) = ar (Δ BCF)
प्रश्न 4. दी गई आकृति में, ABCD, एक समान्तर चतुर्भुज है। BC को बिन्दु Q तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = CQ है। यदि AQ भुजा DC को P पर प्रतिच्छेद करती है तो दर्शाइए कि
तब समीकरण (1) व (2) से,
ar (Δ BPC) = ) = ar (Δ DPQ)
प्रश्न 5. दी गई आकृति में, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिन्दु है। यदि AE भुजा BC को F पर प्रतिच्छेद करती है तो दर्शाइए कि
प्रश्न 6. चतुर्भुज़ ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु कि P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ar (APB) × ar (CPD) = ar (APD) × ar (BPC) है।
प्रश्न 7. P और Q क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य-बिन्दु हैं तथा R रेखाखण्ड AP का मध्य-बिन्दु है। दर्शाइए कि :
प्रश्न 8. दी गई आकृति में, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमश: भुजाओं BC, CA और AB पर बने वर्ग हैं। रेखाखण्ड AX ⊥ DE भुजा BC को बिन्दु Y पर मिलता है। दर्शाइए कि :
(i) ΔMBC ≅ ΔABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar (MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar (ABMN)
(iv) ΔFCB = ΔACE
(v) ar (CYXE) = 2 ar (FCB)
(vi) ar (CYXE) = ar (ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG)
हल: दिया है : ΔABC में ∠A समकोण है। त्रिभुज की भुजाओं AB, AC तथा BC पर क्रमश: ABMN, ACFG और BCED वर्ग बने हैं। रेखाखण्ड AX वर्ग BCED की भुजा DE पर लम्ब है, जो BC से Y पर मिलता है।
सिद्ध करना है : (i) ΔMBC ≅ ΔABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar (MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar (ABMN)
(iv) ΔFCB = ΔACE
(v) ar (CYXE) = 2 ar (FCB)
(vi) ar (CYXE) = ar (ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG)
