UP Board Class 10 Maths Chapter 10 वृत्त
UP Board Class 10 Maths Chapter 10 वृत्त
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 10 वृत्त
फास्ट ट्रैक रिवीज़न
वृत्त एक समतल में स्थित उन बिंदुओं का समूह होता है, जो स्थिर बिंदु से नियत दूरी पर होते हैं। इस स्थिर बिंदु को वृत्त का केंद्र (centre) तथा केंद्र से वृत्त के प्रत्येक बिंदु की नियत दूरी को वृत्त की त्रिज्या (radius) कहते हैं।
वृत्त के केंद्र को मुख्यतः O से तथा त्रिज्या को r से दर्शाते हैं तथा प्रतीकात्मक रूप में C(O, r) से प्रदर्शित करते हैं।
नोट (i) दो या दो से अधिक वृत्त, जिनके केंद्र समान होते हैं, संकेंद्रीय वृत्त कहलाते हैं।
(ii) किसी भी वृत्त में अनंत व्यास होते हैं। जिनकी लम्बाई परस्पर समान होती हैं।
छेदक रेखा
वह रेखा, जो किसी वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है, उस वृत्त की छेदक रेखा कहलाती है अर्थात् यदि किसी रेखा के दो बिंदु एक वृत्त की परिधि पर स्थित हैं तथा रेखा दोनों बिन्दुओं को काटती है तो वह रेखा उस वृत्त की छेदक रेखा (Secant Line) कहलाती है।
चित्र में, O वृत्त का केंद्र तथा PQ वृत्त की छेदक रेखा है, जो वृत्त की परिधि पर स्थित दोनों बिन्दुओं M व N को काटती है।
स्पर्श रेखा
किसी वृत्त को केवल एक बिंदु पर (स्पर्श) करने वाली रेखा, वृत्त की स्पर्श रेखा (Tangent) कहलाती है।
चित्र में, केंद्र O वाले वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ AB तथा CD हैं, जिनके बिंदु Q तथा P वृत्त की परिधि पर स्थित हैं। कोई रेखा किसी वृत्त को जिस बिंदु पर स्पर्श करती है, वह बिंदु उस स्पर्श रेखा का स्पर्श बिंदु (Point of contact) कहलाता है।
नोट (i) वृत्त के एक बिंदु पर एक ओर केवल एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
(ii) एक वृत्त की अधिकतम दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं, जो वृत्त के केंद्र के विपरीत ओर खींची जा सकती हैं।
स्पर्श रेखा की लंबाई
वृत्त के किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई उस बाह्य बिंदु तथा स्पर्श रेखा के स्पर्श बिंदु के बीच की दूरी के बराबर होती है।
यहाँ, ∠OQP = 90°
अतः समकोण ΔOQP में पाइथागोरस प्रमेय से,
(कर्ण)2 = (लंब)2 + (आधार)2 ⇒ (OP)2 = (OQ)2 + (PQ)2
अर्थात् (वृत्त के केंद्र से बाह्य बिंदु की दूरी )2 = ( वृत्त की त्रिज्या )2
+ (बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई)2
एक बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की संख्या
1. यदि बिंदु P वृत्त के बाहर स्थित है, तब बिंदु P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं अर्थात् PT, तथा PT2।
2. यदि बिंदु P वृत्त पर स्थित है, तब इस बिंदु से होकर एक ओर केवल एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है
3. यदि बिंदु P वृत्त के अंदर स्थित है, तब वृत्त के अंदर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर कोई भी स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती है।
वृत्त की स्पर्श रेखाओं से संबंधित प्रमेय
प्रमेय 1. वृत्त पर स्थित किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा तथा स्पर्श बिंदु से खींची गई भुजा (त्रिज्या ) एक-दूसरे पर लंब होती हैं।
यहाँ, केंद्र O वाले वृत्त की AB स्पर्श रेखा तथा स्पर्श बिंदु P से खींची गई त्रिज्या OP है।
अत: OP ⊥ AB
उपप्रमेय किसी वृत्त की स्पर्श रेखा पर स्पर्श बिंदु से खींचा गया लंब उस वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
प्रमेय 2. किसी वृत्त की त्रिज्या के सिरे पर खींचा गया लंब उस वृत्त की स्पर्श रेखा होती है।
यदि OP ⊥ AB, तो AB वृत्त की स्पर्श रेखा है।
प्रमेय 3. किसी बाह्य बिंदु से एक वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ आपस में बराबर होती हैं।
यहाँ, बाह्य बिंदु P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PA तथा PB खींची गई हैं। अतः PA = PB
वृत्त की स्पर्श रेखा से संबंधित महत्त्वपूर्ण परिणाम
(i) यदि दो वृत्त एक-दूसरे को अंतः या बाह्य स्पर्श करते हैं, तो उनका स्पर्श बिंदु दोनों वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखा पर स्थित होता है।
(ii) वृत्त के दो बिंदुओं पर खींची गई स्पर्श रेखाओं का युग्म आपस में या तो समांतर होता है या वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु पर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करता है।
(iii) यदि वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ परस्पर समांतर हैं, तब उनके स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त का व्यास होता है।
(iv) यदि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाएँ, तब
(a) वे केंद्र पर बराबर कोण बनाती हैं अर्थात् ∠POA = ∠POB
(b) उनका बाह्य बिंदु तथा केंद्र को मिलाने वाले रेखाखंड के साथ बराबर झुकाव होता है अर्थात् ∠APO = ∠BPO
खण्ड अ वस्तुनिष्ठ प्रश्न
प्रश्न 1. किसी वृत्त पर एक बाह्य बिंदु से खींची जाने वाली स्पर्श रेखाओं की अधिकतम संख्या होगी
(a) एक
(b) दो
(c) तीन
(d) चार
हल (b) किसी वृत्त पर एक बाह्य बिंदु से खींची जाने वाली स्पर्श रेखाओं की अधिकतम संख्या दो होती है।
प्रश्न 2. एक वृत्त की समानांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
(a) एक
(b) दो
(c) तीन
(d) अनंत
हल (b) एक वृत्त की समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
प्रश्न 3. किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे कितने बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
हल (b) किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे केवल एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है या स्पर्श करती है।
प्रश्न 4. वृत्त पर स्पर्श रेखा के स्पर्श बिंदु तथा उस बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या के बीच का कोण होता है।
(a) 90°
(b) 180°
(c) 135°
(d) 270°
हल (a) वृत्त पर स्पर्श रेखा के स्पर्श बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या के बीच का कोण 90° होता है अर्थात् स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या लंब होती है।
प्रश्न 5. चित्र में, यदि TP और TQ, O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠POQ = 110°, तो ∠PTQ का मान होगा
(a) 60°
(b) 70°
(c) 80°
(d) 90°
हल (b) चित्र में, ∠TPO = ∠TQO = 90°
प्रश्न 6. चित्र में, यदि O केंद्र के वृत्त की PQ और PR दो स्पर्श रेखाएँ हैं और ∠QPR = 46°, तो ∠QOR का मान होगा
(a) 44°
(b) 46°
(c) 134°
(d) 314°
हल (c) चित्र में, ∠PQO = ∠PRO = 90°
प्रश्न 7. 5 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त के बिंदु पर खींची गयी स्पर्श रेखा PQ, केन्द्र O से जाने वाली एक रेखा से बिंदु Q पर मिलती है। यदि OQ = 12 सेमी, तो PQ की माप होगी
(a) 12 सेमी
(b) 13 सेमी
(c) 8.5 सेमी
(d) √119 सेमी
हल (d) यहाँ, PQ स्पर्शी है जो कि वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करती है, और OP = 5 सेमी वृत्त की त्रिज्या है OQ = 12 सेमी । क्योंकि OP त्रिज्या है अतः यह स्पर्शी PQ पर लंब होगी ।
समकोण ΔOPQ में,
प्रश्न 8. 10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिंदु P पर स्पर्श रेखा PQ, केन्द्र O से जाने वाली एक रेखा से एक बिंदु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी। PQ की लंबाई होगी
(a) 12 सेमी
(b) 13 सेमी
(c) 2√11 सेमी
(d) 3√5 सेमी
हल (c) यहाँ, PQ स्पर्शी है जोकि वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करती है, और OP = 10 सेमी वृत्त की त्रिज्या है OQ = 12 सेमी । क्योंकि OP त्रिज्या है अत: यह स्पर्शी PQ पर लंब होगी ।
समकोण ΔOPQ में,
प्रश्न 9. एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 सेमी और Q की केंद्र से दूरी 25 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या है
(a) 7 सेमी
(b) 12 सेमी
(c) 15 सेमी
(d) 24.5 सेमी
हल (a) दिया है, स्पर्श रेखा की लंबाई QP = 24 सेमी और QO = 25 सेमी। अब, OP को मिलाइए ।
हम जानते हैं कि OP त्रिज्या स्पर्श रेखा PQ पर लंब होती है।
प्रश्न 10. चित्र में, 3 सेमी और 5 सेमी त्रिज्या के दो संकेंद्रित वृत्त हैं। बाह्य वृत्त की एक जीवा AB, जो अंतः वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करती है, की लंबाई होगी
(a) 4 सेमी
(b) 6 सेमी
(c) 8 सेमी
(d) 10 सेमी
हल (c) दिया है, OP = 3 सेमी, OA = 5 सेमी
प्रश्न 11. दो वृत्त एक-दूसरे को अंतः स्पर्श करते हैं। वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी 3 सेमी है। यदि एक वृत्त की त्रिज्या 2 सेमी है, तब दूसरे वृत्त की त्रिज्या …… है।
(a) 4 सेमी
(b) 5 सेमी
(c) 6 सेमी
(d) 7 सेमी
प्रश्न 12. यदि एक बिंदु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA और PB दो स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA ……. है।
(a) 50°
(b) 60°
(c) 70°
(d) 80°
हल (a) बिंदु P से दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB इस प्रकार खींची गई हैं कि
प्रश्न 13. चित्र में वृत्त का केंद्र O है, PBA छेदक रेखा है तथा PT स्पर्श रेखा है। यदि PB = 4 सेमी एवं PA = 9 सेमी हो, तो स्पर्श रेखा PT की माप 5 सेमी है।
(a) सत्य
(b) असत्य
(c) कह नही सकते
(d) इनमें से कोई नहीं
प्रश्न 14. संलग्न चित्र में, वृत्त TQT’ का केंद्र O है, बाह्य बिंदु P से PT और PT’ स्पर्शियाँ खींची गई हैं । यदि ∠TQT’ की माप 42° हो, तो ∠TPT’ की माप 96° है।
(a) सत्य
(b) असत्य
(c) दोनों
(d) ऊपरोक्त में से कोई नहीं
हल (a) सत्य, चित्र में,
खण्ड ब वर्णनात्मक प्रश्न
लघु उत्तरीय प्रश्न-I
प्रश्न 1. चित्र में, AB और CD दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ परस्पर बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि
AE + ED = BE + EC
हल हम जानते हैं कि बाह्य बिंदु से एक वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ आपस में बराबर होती हैं।
प्रश्न 2. चित्र में, O वृत्त का केंद्र है। यदि ∠BOC = 110° और AB तथा AC वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं, तो ∠OAB की माप ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
हल माना AB, O केंद्र वाले वृत्त के बिंदु C पर खींची गई स्पर्शी है ।
सिद्ध करना है बिंदु C पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र O से होकर जाता है। यदि संभव है तो माना लंब अन्य बिंदु (माना) O’ से होकर जाता है।
अब, OC और O’C को मिलाइए ।
चूँकि वृत्त के किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
∴ OC ⊥ AB ⇒ ∠OCB = 90°
साथ ही ∠O’CB = 90° [माना CO’ ⊥ AB]
∴ ∠OCB = ∠O’CB
जोकि केवल तभी संभव है जब O और O’ समान है। इसलिए हमारी कल्पना गलत है।
अतः स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
प्रश्न 4. चित्र में, वृत्त का केंद्र O है, जिसकी AB और CD दो जीवाएँ बिंदु E पर काटती हैं। यदि CE = 4 सेमी तथा ED = 2 सेमी है, तो AE × EB का मान ज्ञात कीजिए ।
हल यदि वृत्त की जीवाएँ अंत: प्रतिच्छेद करती हैं तो प्रतिच्छेद बिंदु से उनके खंडों के गुणनफल बराबर होते हैं।
⇒ AE × EB = CE × ED = 4 × 2 = 8 सेमी
प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
हल माना AB दिए गए वृत्त का व्यास है। माना LM और PQ वृत्त के बिंदु B और A पर खींची गई स्पर्शियाँ हैं। क्योंकि वृत्त की स्पर्शी के स्पर्श बिंदु से खींची गई त्रिज्या उस पर लंब होती है।
अतः वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
प्रश्न 6. संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 15 सेमी तथा 17 सेमी हैं। यदि वृहद् वृत्त की जीवा AB, छोटे वृत्त को बिंदु C पर स्पर्श करती है, तब जीवा AB की माप ज्ञात कीजिए ।
हल चूँकि वृहद् वृत्त की जीवा छोटे वृत्त की स्पर्शी है।
प्रश्न 7. बिंदु X से वृत्त C(O, r) पर दो स्पर्श रेखाएँ XA और XB खींची हुई हैं। यदि इस वृत्त पर स्थित किसी बिंदु M पर खींची गई स्पर्श रेखा XA और XB क्रमशः बिंदुओं K और N पर काटती हों, तो सिद्ध कीजिए कि KM + MN = AK + BN
हल हम जानते हैं कि किसी वृत्त पर, किसी बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान लंबाई की होती हैं।
समी (ii) व (iii) को जोड़ने पर,
KA + NB = KM + NM
⇒ AK + BN = KM + MN
प्रश्न 8. ΔABC के अंतर्गत एक वृत्त खींचा गया है तथा P, Q, R स्पर्श बिंदु हैं। यदि PA = 4 सेमी, PB = 6 सेमी तथा AC = 12 सेमी, तो BC की माप ज्ञात कीजिए ।
हल दिया है, PA = 4 सेमी, PB = 6 सेमी तथा AC = 12 सेमी हम जानते हैं कि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ समान होती हैं।
प्रश्न 9. सिद्ध कीजिए कि दो संकेंद्रीय वृत्तों में बड़े वृत्त की जीवा जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होती है।
हल दिया है, केंद्र O वाले दो संकेंद्रीय वृत्त C1 और C2 तथा बड़े वृत्त की जीवा AB, जो छोटे वृत्त. C2 को बिंदु P पर स्पर्श करती है।
सिद्ध करना है कि AP = BP
अब, OP को मिलाइए।
प्रश्न 10. निम्न चित्र में, बाह्य स्पर्श करने वाले दो वृत्तों की उभयनिष्ठ अनुस्पर्शी रेखाएँ PDC तथा PEF खींची गई हैं जो वृत्तों को क्रमशः D व C तथा E व F पर स्पर्श करती हैं।
सिद्ध कीजिए कि DC = EF
हल दिया है दो वृत्त, जो एक-दूसरे को बाह्यतः स्पर्श करते हैं तथा बिंदु P से दोनों वृत्तों पर उभयनिष्ठ अनुस्पर्शी रेखाएँ PDC व PEF खींची गई हैं।
हम जानते हैं कि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ आपस में बराबर होती हैं।
प्रश्न 11. चित्र में, TA और TB एक बाह्य बिंदु T से वृत्त C(O, r) पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं और रेखाखंड OT, वृत्त को P पर प्रतिच्छेद करता है।
सिद्ध कीजिए कि ∠TAP = ∠TBP
हल दिया है, TA और TB एक बाह्य बिंदु T से वृत्त C(O, r) पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं और वृत्त के केंद्र O तथा बाह्य बिंदु T को मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त को बिंदु P पर काटता है।
ΔAPT तथा ΔBPT में, AT = BT
लघु उत्तरीय प्रश्न-II
प्रश्न 1. दिये गये चित्र में, यदि AB = AC हो, तो सिद्ध कीजिए कि BE = EC है ।
हल चूँकि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होती है ।
∴ AD = AF …(i)
BD = BE …(ii)
प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
हल दिया है O केंद्र वाला एक वृत्त जिसके बिंदु P पर AB एक स्पर्श रेखा है।
सिद्ध करना है OP ⊥ AB
रचना AB पर P के अतिरिक्त एक बिंदु Q लेते है तथा बिन्दु O को बिन्दु P से मिलते हैं। उपपत्ति बिंदु Q वृत्त के बाहर होगा क्योंकि यदि बिंदु Q वृत्त के अंदर या वृत्त पर स्थित है, तब AB वृत्त की स्पर्श रेखा नहीं होगी।
अतः OQ > OP
अब, यह AB पर P के अतिरिक्त किसी भी बिंदु के लिए सत्य होगा ।
अर्थात् OP, AB पर सभी बिंदुओं की न्यूनतम दूरी है।
इसलिए, OP, AB पर लंब होगी।
[‘·’ लंबवत् दूरी न्यूनतम होती है।
अतः OP ⊥ AB है।
प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए कि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।
अथवा
सिद्ध कीजिए कि वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है।
हल दिया है केंद्र O वाला एक वृत्त जिस पर किसी बाह्य बिंदु A से दो स्पर्श रेखाएँ AP तथा AQ खींची गई हैं।
सिद्ध करना है ∠POA = ∠QOA तथा AP = AQ
रचना OA, OP तथा OQ को मिलाइए ।
उपपत्ति वृत्त की स्पर्श रेखा AP के स्पर्श बिंदु P से होकर जाने वाली त्रिज्या OP, स्पर्श रेखा AP पर लंब होगी ।
∴ ∠OPA = 90°
इसी प्रकार, वृत्त की स्पर्श रेखा AQ के स्पर्श बिंदु Q से होकर जाने वाली त्रिज्या OQ, स्पर्श रेखा AQ पर लंब होगी।
∴ ∠OQA = 90°
अब, ΔOPA तथा ΔOQA में,
प्रश्न 4. एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है (चित्र देखिए)।
सिद्ध कीजिए AB + CD = AD + BC
हल दिया है, चतुर्भुज ABCD जो वृत्त के परिगत बना है।
हम जानते हैं कि वृत्त के बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्शियाँ लंबाई में समान होती हैं।
जब बाह्य बिंदु A है, तब AP = AS …(i)
जब बाह्य बिंदु B है, तब BP = BQ …(ii)
जब बाह्य बिंदु C है, तब RC = CQ …(iii)
जब बाह्य बिंदु D है, तब RD = SD …(iv)
समी (i), (ii), (ii) और (iv) को जोड़ने पर,
(AP + BP) + (RC + RD) = AS + BQ + CQ + SD
⇒ AB + CD = (AS + SD) + (BQ + cQ)
⇒ AB + CD = AD + BC
प्रश्न 5. संलग्न चित्र में, वृत्त ABC के किसी बाह्य बिंदु P से खींची गई PA और PB दो स्पर्श रेखाएँ वृत्त को बिंदु A तथा बिंदु B पर स्पर्श करती हैं। यदि ∠APB = 60° हो, तो निम्न की माप ज्ञात कीजिए
(i) ∠OAB
(ii) ∠ACB
हल दिया है, ∠APB = 60°
प्रश्न 6. एक वृत्त का केंद्र O है तथा दो स्पर्श रेखाएँ TP और TQ, जो वृत्त को क्रमशः P और Q बिंदुओं पर स्पर्श करती हैं, वृत्त के बाहर एक बिंदु T से खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠PTQ = 2∠OPQ
हल दिया है, दो स्पर्श रेखाएँ TP व TQ तथा T’ एक बाह्य बिंदु है ।
प्रश्न 7. चित्र में, O तथा O’ केंद्र वाले दो वृत्त एक-दूसरे को बिंदु P पर बाह्यतः स्पर्श करते हैं। इन वृत्तों की एक उभयनिष्ठ अनुस्पर्शी AB खींची गई है। सिद्ध कीजिए कि ∠APB की माप = 90°
हल दिया है दो वृत्त, जिनके केंद्र O और O’ हैं तथा जो एक-दूसरे को बिंदु P पर स्पर्श करते हैं। दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ अनुस्पर्शी AB है।
अब, CP ⊥ OP खींचिए, जो AB को बिंदु C पर काटती है।
ΔAPC में, CP = CA
प्रश्न 8. एक बिन्दु A से, जो एक वृत्त के केन्द्र से 7.5 सेमी दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 6 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल यहाँ, PA स्पर्शी है जोकि वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करती है, और OA = 7.5 सेमी तथा PA = 6 सेमी। यहाँ, OP त्रिज्या है अतः यह स्पर्शी PQ पर लंब होगी।
समकोण ΔOPA में,
प्रश्न 9. चित्र में, वृत्त का केंद्र O है। यदि ∠BAC = 30° है, तो ∠ADC का मन ज्ञात कीजिए।
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 1. 4 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक ΔABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड BD और DC (जहाँ स्पर्श बिंदु D द्वारा BC विभाजित है) की लंबाइयाँ क्रमशः 8 सेमी और 6 सेमी हैं (चित्र देखिए )। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।
हल दिया है, CD = 6 सेमी, BD = 8 सेमी और त्रिज्या = 4 सेमी
अब, OC, OA तथा OB को मिलाइए ।
हम जानते हैं कि बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्शियों की लंबाइयाँ समान होती हैं।
∴ CD = CF = 6 सेमी तथा BD = BE = 8 सेमी
माना AF = AE = x सेमी
प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
हल माना ABCD चतुर्भुज, O केंद्र वाले वृत्त के परिगत बना है। वृत्त चतुर्भुज को बिंदु E, F, G तथा H पर स्पर्श करता है।
सिद्ध करना है, ∠AOB + ∠COD = 180°
तथा ∠AOD + ∠BOC = 180°
रचना, OH, OE, OF तथा OG को मिलाइए।
हम जानते हैं कि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ वृत्त के केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं।
प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।
हल दिया है, O केंद्र वाले एक वृत्त पर बाह्य बिंदु P से दो स्पर्श रेखाएँ PQ और PR खींची गई हैं।
सिद्ध करना है, ∠QOR = 180° – ∠QPR
अर्थात् ∠QOR + ∠QPR = 180°
प्रश्न 4. यदि PBA एक वृत्त की छेदक रेखा है, जो वृत्त को A और B पर प्रतिच्छेदित करती है और रेखाखंड PT एक स्पर्श रेखा है, तो सिद्ध कीजिए कि PA · PB = PT2
हल दिया है, एक वृत्त, जिसका केंद्र O है और एक छेदक रेखा ABP वृत्त को बिंदुओं A तथा B पर काटती है। बिंदु P से वृत्त पर PT स्पर्श रेखा खींची गई है, जो इसे बिंदु T पर स्पर्श करती है।
