UP Board Class 10 Maths Chapter 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
UP Board Class 10 Maths Chapter 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
फास्ट ट्रैक रिवीज़न
वृत्त एक ऐसे बिंदु का बिंदुपथ है, जो एक समतल में इस प्रकार गति करता है कि इसकी एक नियत बिंदु से दूरी सदैव समान ( अचर) रहती है। नियत बिंदु (Fixed point) को वृत्त का केंद्र (Centre) तथा अचर दूरी वृत्त की त्रिज्या (Radius) कहलाती है।
वृत्त का चतुर्थांश
यदि एक वृत्त बराबर चार भागों में विभाजित होता है, तब वृत्त के प्रत्येक भाग को वृत्त का चतुर्थांश कहते हैं।
वृत्त का त्रिज्यखंड
वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग जो दो त्रिज्याओं और संगत चाप से घिरा (परिबद्ध) हो, वृत्त का त्रिज्यखंड कहलाता है।
यहाँ, आकृति में अछायांकित भाग OACBO को दीर्घ त्रिज्यखंड तथा छायांकित भाग OAPBO को वृत्त का लघु त्रिज्यखंड कहते हैं।
त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई
किसी त्रिज्यखंड के संगत चाप को उस त्रिज्यखंड का चाप कहते हैं।
वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
वृत्त का वृत्तखंड
वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग, जो एक जीवा और संगत चाप के बीच में परिबद्ध हो वृत्त का वृत्तखंड कहलाता है।
लघु चाप वाले वृत्तखंड को लघु वृत्तखंड और दीर्घचाप वाले वृत्तखंड को दीर्घ वृत्तखंड कहते हैं।
(i) लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – वृत्त की जीवा और त्रिज्याओं से परिबद्ध (ΔOAB का क्षेत्रफल) त्रिभुज का क्षेत्रफल
(ii) दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = πr2 – लघु वृत्तखंड (APB) का क्षेत्रफल
नोट जब तक अन्यथा न कहा जाए, ‘वृत्तखंड और त्रिज्यखंड’ ‘लघु वृत्तखंड और लघु त्रिज्यखंड’ होता है।
खण्ड अ वस्तुनिष्ठ प्रश्न
प्रश्न 1. 22 सेमी परिधि वाले एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल होगा
प्रश्न 2. 12 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल होगा, यदि त्रिज्यखंड का कोण 60° है
(a) 20π सेमी2
(b) 24π सेमी2
(c) 30π सेमी2
(d) 18π सेमी2
हल (b) दिया है, r = 12 सेमी तथा θ = 60°
प्रश्न 3. एक घड़ी की मिनट की सुई r सेमी लंबी है। एक मिनट में मिनट की सुईद्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल होगा
प्रश्न 4. एक घड़ी की मिनट की सूई, सेमी लंबी है। 5 मिनट में मिनट की सूई द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल होगा
प्रश्न 5. r त्रिज्या वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, जिसका कोण θ° है, होगा
प्रश्न 6. 4 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के त्रिज्यखंड का कोण 60° है। उसका क्षेत्रफल होगा
प्रश्न 7. यदि 14 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 154 सेमी2 है, तो त्रिज्यखंड का कोण होगा
(a) 120°
(b) 90°
(c) 60°
(d) 80°
हल (b) दिया है, वृत्त की त्रिज्या = 14 सेमी
तथा त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 154 सेमी2
प्रश्न 8. 6 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल होगा।
(a) 2π सेमी2
(b) 4π सेमी2
(c) 6π सेमी2
(d) 8π सेमी2
हल (c) दिया है, वृत्त की त्रिज्या = 6 सेमी, θ = 60°
हम जानते हैं कि,
प्रश्न 9. चित्र में, त्रिज्यखंड OAB का क्षेत्रफल होगा
प्रश्न 10. 6 सेमी त्रिज्या के वृत्त का एक चाप केंद्र पर 30° का कोण अंतरित करता है। संगत चाप की माप होगी
प्रश्न 11. चित्र में, त्रिज्यखंड OAB की परिमाप होगी
प्रश्न 12. एक कार के दो वाइपर हैं जो एक-दूसरे को आच्छादित नहीं करते हैं। प्रत्येक वाइपर के पत्ती की लंबाई r सेमी है, जो 120° के कोण तक घूमकर सफाई कर सकती है। पत्तियों के प्रत्येक बुहार पर साफ हुए भाग का क्षेत्रफल है
खण्ड ब वर्णनात्मक प्रश्न
लघु उत्तरीय प्रश्न-I
प्रश्न 1. दी गई आकृति में, एक चतुर्थांश OPBQ के अंतर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20 सेमी है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए । )
प्रश्न 2. जहाजों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस ( light house) 80° कोण वाले एक त्रिज्यखंड में 16.5 किमी की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)
हल दिया है, त्रिज्यखंड का कोण 6 = 80°
और दूरी या त्रिज्या = 165 किमी
जोकि अभीष्ट क्षेत्रफल है, जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके।
प्रश्न 4. दी गई आकृति में 15 मी भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूँटे से एक घोड़े को 5 मी लंबी रस्सी से बाँध दिया गया है।
मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।
हल दिया है, वर्ग की भुजा = 15 मी
∴ वर्ग का क्षेत्रफल = (15)2 = 225 मी2
रस्सी की लंबाई = 5 मी
∴ चाप की त्रिज्या r = 5 मी
वर्ग की दो संलग्न भुजाओं के बीच का कोण = 90°
प्रश्न 5. 21 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर एक समकोण अंतरित करती है। संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
लघु उत्तरीय प्रश्न-II
प्रश्न 1. दी गई आकृति में, त्रिज्यखंड OACB, 3.5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त जिसका केन्द्र O है, का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 सेमी है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 2. एक वृत्तखंड ब्रूच (Brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35 मिमी है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है, जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है, तो ज्ञात कीजिए
(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लंबाई ।
(ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल।
हल दिया है, वृत्ताकार ब्रूच का व्यास, d = 35 मिमी
प्रश्न 3. किसी समकोण त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या 3 सेमी तथा इसके विकर्ण पर खींचे गए शीर्षलंब की लंबाई 2 सेमी है, इस त्रिभुज की भुजाओं से बने परिवृत्त के तीन विभिन्न वृत्तखंडों के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात कीजिए ।
हल दिया है, वृत्त की त्रिज्या, r = 3 सेमी
तथा ΔABC का शीर्षलंब, CE = 2 सेमी
∴ तीनों भुजाओं से बने परिवृत्त के तीन विभिन्न वृत्तखंडों के क्षेत्रफलों का योगफल = वृत्त का क्षेत्रफल – ΔABC का क्षेत्रफल
प्रश्न 4. एक घड़ी की छोटी तथा बड़ी सूइयाँ क्रमशः 6 सेमी तथा 8 सेमी लंबी हैं। सूइयों की नोक द्वारा 1 दिन में चली गई दूरियों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल एक दिन अर्थात् 24 घंटे में छोटी (घंटे वाली) सूई 2 चक्कर और बड़ी (मिनट वाली) सूई 24 चक्कर पूरा करती है।
प्रश्न 5. दी गई आकृति में P, Q तथा R को केंद्र मानकर तथा त्रिज्या 14 सेमी लेकर चाप खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल दिया है, त्रिज्या = 14 सेमी
प्रश्न 6. आकृति में, BA और BC एक इकाई त्रिज्या और केंद्र O वाले वृत्त पर एक बाहरी बिंदु B से खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि ये दोनों परस्पर 60° के कोण पर अंतरित हैं, तो छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल सर्वप्रथम OA, OC और OB को मिलाइए।
यहाँ, OA = OC = 1 इकाई
तथा ∠ABC = 60°
∴ ∠AOC = 180° – 60° = 120°
प्रश्न 7. एक 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका कोण 30° है। साथ ही संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का भी क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल दिया है, r = 4 सेमी
θ = 30°
प्रश्न 8. एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं (देखिए आकृति)। छतरी को 45 सेमी त्रिज्या वाला एक सपाट वृत् मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 9. किसी कार के दो वाइपर (wipers) हैं, परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लंबाई 25 सेमी है और 115° के कोण तक घूमकर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।
हल वाइपर की पत्ती ( blade) की लंबाई = 25 सेमी = r
तथा पत्ती द्वारा बना कोण θ = 115°
प्रश्न 10. निम्न चित्र में, वृत्तखंड AYB का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि वृत्त की त्रिज्या 21 सेमी और ∠AOB = 120° है।
हल दिया है, r = 21 सेमी तथा ∠AOB = 120°
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 1. 15 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए)
हल चूँकि जीवा AB वृत्त के केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है।
∴ ∠AOB = 60°
OD ⊥ AB खींचिए और लंब OD, AB को समद्विभाजित करता है।
प्रश्न 2. 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की जीवा AC वृत्त के केंद्र पर समकोण बनाती है। दीर्घ वृत्तखंड और लघु वृत्तखंड के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)
अथवा
10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा AC वृत्त के केंद्र पर 90° का बनाती है। लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |
हल दिया है, वृत की त्रिज्या OA = OC = 10 सेमी
प्रश्न 3. 21 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त का चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है । चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 4. दी गई आकृति में, त्रिज्या 40 मी वाले वृत्त का एक त्रिज्यखंड AOB फूलों की क्यारी के रूप में है तथा ∠AOB = 60° साथ ही 15 मी चौड़ाई वाला संकेंद्रीय पथ आकृति में दर्शाया गया है। फूलों की क्यारी को ₹ 2.40 प्रति मी’ की दर से तथा संकेंद्रीय पथ को ₹ 20 प्रति मी2 की दर से बनाया गया है। इस कार्य पर कुल कितना खर्चा आएगा ? (π = 3.14 लीजिए)
हल दिया है, वृत्त की त्रिज्या = 40 मी तथा त्रिज्यखंड का कोण = 60°
प्रश्न 5. निम्न आकृति में, एक समबाहु ΔABC का क्षेत्रफल 17320.5 सेमी2 है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केंद्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
( π = 3.14 और √3 = 1.73205 लीजिए)
प्रश्न 6. दी गई आकृति में, ABC त्रिज्या 14 सेमी वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्द्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 7. दी गई आकृति में, छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो 8 सेमी त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।
प्रश्न 8. एक गोल मेजपोश पर छः समान डिजाइन बने हुए हैं जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि मेजपोश की त्रिज्या 28 सेमी है, तो ₹0.35 प्रति सेमी की दर से इन डिजाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.7 का प्रयोग कीजिए । )
