UP Board Class 10 Maths Chapter 13 सांख्यिकी

August 3, 2025

UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 सांख्यिकी

फास्ट ट्रैक रिवीज़न

सांख्यिकी में आँकड़ों के संग्रह करने, व्यवस्थित करने, विश्लेषण करने और निर्वचन के बारे में अध्ययन किया जाता है।

समांतर माध्य (माध्य या औसत )

समस्त प्रेक्षणों के मानों के योगफल को प्रेक्षणों की कुल संख्या से भाग करने पर प्राप्त भागफल समांतर माध्य (Arithmetic mean) कहलाता है। समांतर माध्य को प्रायः x से प्रदर्शित करते हैं।

समांतर माध्य ज्ञात करने की विधि

1. जब आँकड़े अवर्गीकृत हों

2. जब आँकड़े अवर्गीकृत परंतु सारणीबद्ध हों

नोट दिए गए आँकड़ों में किसी प्रेक्षण की जितनी बार पुनरावृत्ति होती है, वह संख्या उस प्रेक्षण की बारम्बारता (Frequency) कहलाती है।

वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य ज्ञात करने की विधि

1. प्रत्यक्ष विधि (Direct Method)

वर्गीकृत आँकड़ों का समांतर माध्य ज्ञात करने के लिए यह मान लिया जाता है कि वर्ग की बारम्बारता उस वर्ग के मध्यमान पर केंद्रित है। प्रत्येक वर्ग का मध्यमान, वर्ग की उच्च सीमा तथा निम्न सीमा के योग को 2 से विभाजित करके ज्ञात करते हैं।

2. कल्पित माध्य (या लघु) विधि (Short cut Method)

वर्गीकृत आँकड़ों में वर्ग की बारम्बारता वर्ग के मध्यमान (x_i) पर निर्भर करती है।

कभी-कभी जब x_i तथा f_i के मान बड़े होते हैं, तो f_i तथा x_i का गुणनफल ज्ञात करना जटिल हो जाता है। ऐसी स्थितियों में मध्यमानों के मध्य एक मान को कल्पित माध्य (a) मानकर कल्पित माध्य से विचलन (d) ज्ञात करते हैं अर्थात्

कल्पित माध्य से विचलन (d) = वर्ग का मध्यमान – कल्पित माध्य

इसके बाद प्रत्येक विचलन को उसके संगत पद की बारम्बारता (f) से गुणा करके f · d ज्ञात करते हैं।

जहाँ, कल्पित माध्य = a_i वर्ग की बारम्बारता = f_i तथा वर्ग मध्यमान का कल्पित माध्य से विचलन = d_i

3. पग (पद) – विचलन विधि

समांतर माध्य की लघुत्तर विधि (पग-विचलन विधि) का प्रयोग मुख्य रूप से वर्गीकृत आँकड़ों के लिए किया जाता है। लघुत्तर विधि से समांतर माध्य ज्ञात करने के लिए वर्गों के मध्यमानों के मध्य में आने वाली किसी संख्या को कल्पित माध्य a मान लेते हैं तथा कल्पित माध्य से विचलन ज्ञात करते हैं।

प्रत्येक वर्ग के अंतराल h से प्रत्येक विचलन को भाग देकर u के मान ज्ञात

बहुलक

दिए हुए सांख्यिकीय प्रेक्षणों में से वह पद जो सबसे अधिक बार आता है, अर्थात् उस प्रेक्षण का मान जिसकी बारम्बारता अधिकतम होती है बहुलक कहलाता है। जैसे – संख्याओं 3, 8, 7, 9, 5, 5, 6, 1, 5 और 2 का बहुलक 5 है क्योंकि यहाँ 5 सबसे अधिक बार अर्थात् तीन बार आया है।

बहुलकवर्ग

एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन में, बारम्बारताओं को देखकर बहुलक ज्ञात करना संभव नहीं है इसलिए यहाँ, हम केवल वह वर्ग (Class) ज्ञात कर सकते हैं जिसकी बारम्बारता अधिकतम हो। इस वर्ग को बहुलक वर्ग कहते हैं। जैसे-

वर्ग अन्तराल	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
विद्यार्थियों की संख्या	2	9	14	20	22	8

यहाँ, वर्ग अन्तराल 40-50 की बारम्बारता अधिकतम है, जोकि 22 है।

अत: बहुलक वर्ग 40-50 है।

वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक

वर्गीकृत आँकड़ों में बहुलक (Mode), बहुलक वर्ग के बीच कोई मान है, जिसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।

जहाँ, l = बहुलक वर्ग की निम्नतम् (निचली) सीमा

h = वर्ग अन्तराल की माप (यह मानते हुए कि सभी अन्तराल बराबर मापों के हैं)

f₁ = बहुलक वर्ग की बारम्बारता

f₀ = बहुलक वर्ग से ठीक पहले वर्ग की बारम्बारता

तथा f₂ = बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारम्बारता

नोट (i) असमान वर्ग मापों वाले वर्गीकृत आँकड़ों का भी बहुलक परिकलित किया जा सकता है।

(ii) बहुलक माध्य से छोटा, बराबर या बड़ा हो सकता है।

माध्यिका अवर्गीकृत तथा वर्गीकृत आँकड़ों के लिए तथा संचयी बारम्बारता बंटन

यदि आँकड़ों को उनके परिमाण के अनुसार आरोही क्रम (Ascending order) या अवरोही क्रम (Descending order) में व्यवस्थित किया जाए, तो इस श्रेणी के ठीक मध्य में आने वाले पद का मान माध्यिका (Median) कहलाती है।

अवर्गीकृत आँकड़ों के लिए माध्यिका

संचयी बारम्बारता

किसी वर्ग अन्तराल की संचयी बारम्बारता ( Cumulative frequency) उस वर्ग तक के सभी वर्गों की बारम्बारता का योगफल होती है (उस निश्चित वर्ग की बारम्बारता सहित)।

संचयी बारम्बारता बंटन

संचयी बारम्बारता बंटन के निम्न प्रकार होते हैं

(i) ‘से कम’ प्रकार

(ii) ‘ से अधिक’ प्रकार

अवर्गीकृत परंतु सारणीबद्ध आँकड़ों के लिए माध्यिका

जब आँकड़े अवर्गीकृत परंतु सारणीबद्ध होते हैं, तब आँकड़ों से संचयी बारम्बारता सारणी बनाते हैं।

नोट अवर्गीकृत परंतु सारणीबद्ध सारणियों में मध्य पद का मान संचयी बारम्बारता सारणी में देखते हैं। मध्य पद, संचयी बारम्बारता सारणी वाले जिस समूह में या जिस समूह के निकट आता है, वही उस मध्य पद का मान होता है।

वर्गीकृत आँकड़ों के लिए माध्यिका (माध्यक)

माध्यिका ज्ञात करने के लिए सर्वप्रथम संचयी बारम्बारता सारणी बनाते हैं। इसके बाद उस वर्ग को, जिसमें संपूर्ण बारम्बारताओं के योग का आधा स्थित है, ज्ञात करते हैं, जिसे माध्यिका वर्ग कहते हैं।

जहाँ, l = माध्यक (माध्यिका ) वर्ग की निम्न सीमा

n = प्रेक्षणों की कुल संख्या

cf = माध्यक (माध्यिका) वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता

f = माध्यक (माध्यिका ) वर्ग की बारम्बारता

तथा h = वर्ग माप (यह मानते हुए कि वर्ग माप बराबर है)

माध्य, माध्यक और बहुलक में संबध

खण्ड अ वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1. 1 से 10 तक की धनात्मक सम संख्याओं का समांतर माध्य होगा

(a) 2

(b) 4

(d) 5

हल (c) 1 से 10 तक धनात्मक सम संख्याएँ 2, 4, 6, 8, 10 हैं।

1 से 10 तक धनात्मक सम संख्याओं का समांतर माध्य

प्रश्न 2. यदि 5, 10, 15, R, 20, 35 और 40 का समांतर माध्य 21 हो, तो R का मान 22 होगा।

(a) सत्य

(b) असत्य

(d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 3. 1 से 9 तक की प्राकृतिक संख्याओं का समांतर माध्य 8 होगा।

(a) सत्य

(b) असत्य

(d) इनमें से कोई नहीं

हल (b) असत्य, 1 से 9 तक की प्राकृतिक संख्याएँ निम्नवत् हैं

प्रश्न 4. आठ संख्याओं का समांतर माध्य 12 है। नवीं संख्या अपठनीय है। यदि सभी नौ संख्याओं का समांतर माध्य 13 है, तो अपठनीय संख्या होगी

(a) 20

(b) 21

(d) 23

प्रश्न 5. आँकड़ों 3, 4, 6 तथा x का माध्य 5 है, तब x का मान होगा।

(a) 5

(b) 2

(d) 3

हल (c) दिया है, समांतर माध्य = 5

प्रश्न 6. यदि 7, 13, 20, 17 तथा 3x का समांतर माध्य 18 है, तो x का मान होगा

(a) 20

(b) 15

(d) 9

प्रश्न 7. यदि संख्याओं 7, 8, x, 11, 14 का माध्य x है, तो x का मान है

(a) 9

(b) 10

(d) 11

प्रश्न 8. निम्नलिखित सारणी का माध्य होगा

प्रश्न 9. निम्नलिखित सारणी का माध्य होगा

प्रश्न 10. निम्नलिखित सारणी का माध्य होगा

प्रश्न 11. निम्नलिखित सारणी का माध्य होगा

प्रश्न 12. निम्नलिखित सारणी का माध्य होगा

प्रश्न 13. संख्याओं 12, 20, 21, 29, 21, 29, 12, 23, 24 तथा 29 का बहुलक है

(a) 29

(b) 24

(d) 12

हल (a) सर्वप्रथम, दिए गए आँकड़ों को आरोपी क्रम में व्यवस्थित करते हैं।

12, 12, 20, 21, 21, 24, 29. 29, 29, 29

स्पष्ट है कि 29 की बारम्बारता सर्वाधिक 4 है।

∴ बहुलक = 29

प्रश्न 14. यदि आँकड़ों 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, x तथा 2 का बहुलक 7 हो, तो x का मान होगा

(a) 2

(b) 5

(d) इनमें से कोई नहीं

हल (c) दिए गए आँकड़ों का आरोही क्रम निम्न है,

2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, x

यहाँ, पद 5 और 7 दोनों की बारम्बारता समान अर्थात् 3 है परंतु बहुलक 7 है। अतः 7 की बारम्बारता अधिकतम होनी चाहिए।

∴ x = 7

प्रश्न 15. दी गई सारणी में 100 परिवारों के बच्चों की संख्या दी गई है, तब दिए गए आँकड़ों का बहुलक है

(a) 6

(b) 30

(d) 25

हल (c) दी गई सारणी से स्पष्ट है कि सर्वाधिक बारम्बारता ( परिवारों की संख्या ) 30 है, जोकि बच्चे की संगत संख्या 1 की है। अतः आँकड़ों का बहुलक 1 है।

प्रश्न 16.

उपर्युक्त बारम्बारता बंटन का बहुलक वर्ग होगा

(a) 0-5 हल

(b) 5-10

(d) 15-20

(d) यहाँ, अधिकतम बारम्बारता 18 है।

अत: बहुलक वर्ग (15-20) है।

प्रश्न 17.

उपर्युक्त बारम्बारता बंटन में बहुलक वर्ग होगा

(a) 10-20

(b) 20-30

(d) 40-50

हल (b) बहुलक वर्ग (20-30) होगा, क्योंकि इस वर्ग की बारम्बारता 23 सर्वाधिक है।

प्रश्न 18. निम्नलिखित में से कौन केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप नहीं है?

(a) माध्य

(b) माध्यिका

(d) मानक विचलन

हल (d) मानक विचलन केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप नहीं है क्योंकि मानक विचलन विक्षेपण की माप है।

प्रश्न 19. केन्द्रीय प्रवृति की माप है

(a) बारम्बारता

(b) संचयी बारम्बारता

(d) बहुलक

हल (d) केन्द्रीय प्रवृति की माप बहुलक है।

प्रश्न 20. निम्नलिखित बारम्बारता सारणी का बहुलक वर्ग होगा

(a) 20-25

(b) 15-20

(d) 5-10

हल (b) यहाँ, अधिकतम बारम्बारता 19 है। अत: बहुलक वर्ग (15-20) है।

प्रश्न 21. आँकड़ों 2, 12, 0, 9, 5, 15, 7, 4 की माध्यिका ……. होगी

(a) 7

(b) 6

(d) 4

हल (b) दी गई संख्याओं का आरोही क्रम निम्न है,

0, 2, 4, 5, 7, 9, 12, 15

यहाँ, पदों की संख्या (n) = 8, जोकि सम है।

प्रश्न 22. संख्याओं 2, 3, 4, 6, 7, 11, 9, 15, 16 और 20 की माध्यिका होगी

(a) 7

(b) 8

(d) 10

हल (b) प्रश्न 21 की भाँति स्वयं हल करें।

प्रश्न 23. संख्याओं 42, 33, 31, 26, 20, 18, 14, 10, 8 और 6 की माध्यिका होगी

(a) 18

(b) 19

(d) 38

हल (b) प्रश्न 21 की भाँति स्वयं हल करें।

प्रश्न 24. प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं की माध्यिका होगी

(a) 5

(b) 5.2

(d) 5.5

हल (d) प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 यहाँ, n = 10 (सम)

प्रश्न 25. संख्याओं 3, 5, 7, x, x + 2 15, 17 तथा 21 को बढ़ते हुए क्रम में लिखा गया है। यदि माध्यक 12 है, तब x का मान 11 है।

(a) सत्य

(b) असत्य

(d) इनमें से कोई नहीं

हल (a) सत्य, दी गई संख्याएँ निम्न प्रकार हैं

प्रश्न 26. क्रिकेट में, टीम का एक खिलाड़ी निम्नलिखित रन बनाता है, तब उसके द्वारा बनाए गए रनों का माध्यक 41 होगा।

57, 17, 26, 91, 0, 26, 83, 41, 57, 115, 26

(a) सत्य

(b) असत्य

(d) इनमें से कोई नहीं

हल (a) दिए गए रनों को आरोही क्रम में लिखने पर,

0, 17, 26, 26, 26, 41, 57, 57, 83, 91, 115

यहाँ, पदों की संख्या (n) = 11, जोकि विषम है।

प्रश्न 27. निम्नलिखित बारम्बारता सारणी का माध्यिका वर्ग होगा

प्रश्न 28. निम्नलिखित सारणी का माध्यक वर्ग होगा

प्रश्न 29. आँकड़ों 10, 13, 17, 19, 12, 15, 9, 20, 18 और 16 की माध्यिका ……… है।

(a) 14.5

(b) 15.5

(d) 17.5

हल (b) दिए गए आँकड़ों का आरोही क्रम निम्न है

9, 10, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20

यहाँ, पदों की संख्या (n) = 10, जोकि सम है।

प्रश्न 30. दी गई संख्याएँ घटते क्रम में हैं

48, 44, 41, 36, (2x + 8), (2x – 6), 14, 11, 8, 6

यदि संख्याओं का माध्यक 25 है, तब x का मान 10 होगा।

(a) सत्य

(b) असत्य

(d) इनमें से कोई नहीं

हल (b) असत्य, दी गई संख्याएँ निम्न हैं

48, 44, 41, 36, (2x+8), (2x-6), 14, 11, 8, 6

यहाँ, पदों की संख्या (n) = 10, जोकि सम है।

प्रश्न 31. माध्य, माध्यक एवं बहुलक के बीच सम्बन्ध होगा

(a) माध्यक = 2 बहुलक + 3 माध्य

(b) बहुलक = 3 माध्यक – 2 माध्य

(d) माध्य = 3 माध्यक – 2 बहुलक

हल (b) बहुलक = 3 (माध्यक) – 2 (माध्य), सही सम्बन्ध है।

प्रश्न 32. यदि किसी आवृत्ति वितरण का माध्य 20.5 तथा माध्यिका 21 हो, तो उसका बहुलक होगा

(a) 20.5

(b) 21

(d) 22

हल (d) दिया है, माध्य = 20.5, माध्यिका = 21

∴ बहुलक = 3 ( माध्यिका ) – 2 (माध्य) =3

= 3 (21) – 2 (20.5)

= 63 – 41 = 22

प्रश्न 33. किसी बारम्बारता सारणी के माध्य तथा माध्यिका क्रमशः 27 और 29 हैं, तो इसका बहुलक होगा

(a) 28

(b) 31

(d) 35

हल (c) दिया है, माध्य = 27 तथा माध्यिका = 29

हम जानते हैं कि बहुलक = 3 ( माध्यिका ) – 2 (माध्य)

=3 (29) – 2 (27)

= 87 – 54 = 33

प्रश्न 34. यदि किसी बारम्बारता बंटन की माध्यिका 16 तथा माध्य 15 हो, तो उसका बहुलक होगा

(a) 16

(b) 18

(d) 17

हल (b) माध्यिका = 16, माध्य = 15

∴ बहुलक = 3 ( माध्यिका ) – 2 (माध्य)

= 3 × 16 – 2 × 15

= 48 – 30 = 18

प्रश्न 35. किसी बारम्बारता बंटन के लिए माध्य और माध्यक क्रमशः 26.1 और 25.8 हैं। बंटन के लिए बहुलक होगा-

(a) 24.2

(b) 25.1

(d) 26.4

हल (c) दिया है, माध्य = 26.1 इकाई

तथा माध्यक = 25.8 इकाई

हम जानते हैं, कि बहुलक = 3 (माध्यक) – 2 (माध्य)

= 3(25.8) – 2 (26.1)

= 77.4 – 52.2

= 25.2

अतः बंटन का मान 25.2 इकाई है।

प्रश्न 36. यदि कुछ आँकड़ों को माध्य तथा बहुलक क्रमशः 32 तथा 35 है, तो उनका माध्यक होगा

(a) 30

(b) 31

(d) 33

हल (d) दिया है, माध्य = 32, बहुलक = 35

प्रश्न 37. यदि एक वर्गीकृत आँकड़े का माध्य और बहुलक क्रमशः 24 और 12 हैं, तो इसका माध्यक है

(a) 18

(b) 20

(d) 25

हल (b) माध्य = 24, बहुलक = 12

प्रश्न 38. यदि दिये गये आँकड़ों का समांतर माध्य और बहुलक क्रमशः 28 और 16 है, तो माध्यिका होगी

(a) 22

(b) 23.5

(d) 24.5

हल (c) दिया है, माध्य = 28 तथा बहुलक = 16

खण्ड ब वर्णनात्मक प्रश्न

लघु उत्तरीय प्रश्न-I

प्रश्न 1. निम्नलिखित बारम्बारता सारणी का माध्य ज्ञात कीजिए

अत: दिए गए बारम्बारता बटन का माध्य 6 है।

प्रश्न 2. निम्नलिखित आवृत्ति वितरण से माध्य ज्ञात कीजिए

प्रश्न 3. निम्नलिखित सारणी से माध्य ज्ञात कीजिए

प्रश्न 5. 12 व्यक्तियों के भार का समांतर माध्य 456 किग्रा है। उनके भारों का योगफल ज्ञात कीजिए ।

प्रश्न 6. किसी कक्षा के पाँच बच्चों की ऊँचाइयाँ क्रमशः 150 सेमी, 151 सेमी, 152 सेमी, 153 सेमी और 154 सेमी हैं। छठवें बच्चे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, यदि उनकी ऊँचाइयों का माध्य 152.5 सेमी हो ।

हल माना छठवें बच्चे की ऊँचाई x सेमी है।

दिया है, बच्चों की ऊँचाइयों का माध्य = 152.5 सेमी

प्रश्न 7. 10 पदों का समांतर माध्य 24 तथा अंतिम 8 पदों का समांतर माध्य 20 है। प्रथम दो पदों का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए ।

हल दिया है, दस संख्याओं का समांतर माध्य = 24

प्रश्न 8. यदि n प्रेक्षणों x₁, x₂, x₃, …. x_n का समांतर माध्य m है, तो प्रेक्षणों kx₁, kx₂, …. kx_n के समांतर माध्य ज्ञात कीजिए, जहाँ k ≠ 0।

प्रश्न 9. वर्ग 35-55 का वर्ग चिन्ह ज्ञात कीजिए ।

प्रश्न 10. निम्नलिखित सारणी का माध्य ज्ञात कीजिए

प्रश्न 11. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन सारणी से आँकड़ों का समांतर माध्य 21.5 हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए

प्रश्न 12. एक कक्षा के 50 छात्रों के भार नीचे की सारणी में प्रदर्शित हैं

अतः छात्रों के भारों का समांतर माध्य 46.3 किग्रा है।

प्रश्न 13. निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक कीजिए

प्रश्न 14. आँकड़ों 10, 13, 17, 19, 12, 15, 19, 20, 19 और 17 का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल दिए गए आँकड़ों को निम्न प्रकार बारम्बारता सारणी में व्यवस्थित करते हैं

चूँकि 19 की बारम्बारता अधिकतम 3 है अर्थात् मान 19 सर्वाधिक बार दोहराया गया है, अतः बंटन का बहुलक 3 है।

प्रश्न 15. निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए ।

18, 38, 25, 36, 38, 25, 18, 38, 25, 19 और 25

हल दिए गए आँकड़ों का आरोही क्रम निम्न है

18, 18, 19, 25, 25, 25, 25, 36, 38, 38, 38

‘·’ दिए गए आँकड़ों में 25 की बारम्बारता सबसे अधिक 4 है।

अतः बहुलक = 25

प्रश्न 16. संख्याओं 6, 3, 2, 6, 5, 6 और 8 का बहुलक ज्ञात कीजिए ।

हल दी गई संख्याओं का आरोही क्रम 2, 3, 5, 6, 6, 6, 8 है।

‘·’ दी गई संख्याओं में 6 की बारम्बारता सबसे अधिक 3 है।

अतः बहुलक = 6

प्रश्न 17. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 18. निम्नलिखित सारणी का माध्यिका ज्ञात कीजिए

प्रश्न 19. यदि अवरोही क्रम में संख्याओं 22, 18, (x + 4), (x + 2), 10, 8 तथा 6 की माध्यिका 12 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए ।

हल दी गई संख्याएँ निम्न हैं

22, 18, (x + 4), (x + 2), 10, 8, 6

यहाँ, संख्याएँ स्वतः अवरोही क्रम में हैं।

प्रश्न 20. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन से माध्यिका ज्ञात कीजिए

हल आँकड़ों को आरोही क्रम में रखने पर प्राप्त संचयी बारम्बारता सारणी निम्न है

सारणी से स्पष्ट है कि 43वाँ पद व 44वाँ पद उस समूह के अंतर्गत आता है जिसकी संचयी बारम्बारता 52 है तथा 52 के लिए पद का मान 50 है।

प्रश्न 21. प्रथम 10 अभाज्य पूर्णांकों की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

हल प्रथम 10 अभाज्य संख्याएँ आरोही क्रम में निम्न प्रकार है

प्रश्न 22. निम्नांकित बारम्बारता सारणी से माध्यिका ज्ञात कीजिए

हल दिए गए बंटन की संचयी बारम्बारता सारणी निम्न है।

सारणी से स्पष्ट है कि 16वाँ पद उस पद समूह के अंतर्गत आता है जिसकी संचयी बारम्बारता 20 है। संचयी बारम्बारता 20 के लिए पद का मान 30 है। अत: अभीष्ट माध्यिका = 30

प्रश्न 23. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन से माध्यिका ज्ञात कीजिए

हल दिए गए बंटन के लिए संचयी बारम्बारता सारणी निम्न है

प्रश्न 24. निम्न आँकड़ों से माध्यिका की गणना कीजिए

प्रश्न 25. निम्नलिखित बंटन में दिए गए ‘से अधिक’ प्रकार की संचयी बारंबारता है

उपरोक्त आँकड़ों को सतत् वर्गीकृत बारम्बारता बंटन में बदलिए ।

हल ‘·’ दिया गया बंटन ‘से अधिक’ प्रकार का बंटन है।

यहाँ, हम देखते हैं कि सभी 30 विद्यार्थी जिन्होंने 5 से अधिक या बराबर अंक प्राप्त किए हैं, 23 विद्यार्थी जिन्होंने 10 से अधिक या बराबर अंक प्राप्त किए हैं, अत: 30 – 23 = 7 विद्यार्थी वर्ग 5-10 में स्थित है।

इसी प्रकार, हम अन्य वर्ग तथा उसके संगत बारम्बारता को ज्ञात कर सकते हैं।

अब, हम सतत् वर्गीकृत बारम्बारता बंटन का निर्माण करते हैं जो इस प्रकार

लघु उत्तरीय प्रश्न-II

प्रश्न 1. यदि निम्नलिखित सारणी में विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का समांतर माध्य 25 अंक है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 2. निम्नलिखित सारणी से माध्य ज्ञात कीजिए

अतः दिए गए बारम्बारता बंटन का माध्य 149.8 है।

प्रश्न 3. निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है

पद विचलन विधि द्वारा भोजन पर हुए दैनिक व्ययों का माध्य ज्ञात कीजिए ।

हल

प्रश्न 4. यदि एक विद्यार्थी के प्राप्तांकों का समांतर माध्य 25 है, तो f का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 5. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए

प्रश्न 6. दिए गए बारम्बारता बंटन का समांतर माध्य 50 है, तब वर्ग-अन्तराल 20-40 तथा 60-80 की अज्ञात बारम्बारताएँ f₁ तथा f₂ ज्ञात कीजिए ।

हल समांतर माध्य के लिए सारणी निम्नवत् है

प्रश्न 7. निम्नलिखित सारणी से समांतर माध्य ज्ञात कीजिए

हल माध्य के लिए सारणी निम्न है

प्रश्न 8. दी गई बारम्बारता सारणी में छात्रों के प्राप्तांकों का समांतर माध्य 30 है। अज्ञात बारम्बारताएँ तथा f₁ तथा f₂ ज्ञात कीजिए ।

हल प्रश्न 6 की भाँति स्वयं हल करें।

उत्तर f₁ = 14 तथा f₂ = 11

प्रश्न 9. निम्नलिखित वितरण (बंटन) एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेब भत्ता को दर्शाता है। माध्य जेब भत्ता ₹18 है। लुप्त बारम्बारता f का मान ज्ञात कीजिए ।

प्रश्न 10. किसी फुटकर बाजार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थें। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्न (परिवर्तनशील अर्थात् अलग-अलग) थीं। पेटियों की संख्या के अनुसार आमों का बंटन निम्नलिखित था

एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए ।

हल चूँकि दिए गए आँकड़े सतत् नहीं हैं। अतः हम प्रत्येक वर्ग की उच्च सीमा में 0.5 जोड़ते हैं तथा निम्न सीमा में से 0.5 घटाते हैं।

प्रश्न 11. निम्नलिखित सारणी से बहुलक ज्ञात कीजिए

प्रश्न 12. निम्नलिखित आँकड़ों का माध्य तथा बहुलक ज्ञात कीजिए

प्रश्न 13. निम्नलिखित आँकड़ों से बहुलक की गणना कीजिए

प्रश्न 14. निम्नलिखित आँकड़े 225 विद्युत उपकरणों की प्रेक्षित जीवन काल (घंटों में) की सूचना देते हैं

उपकरणों का बहुलक जीवन काल ज्ञात कीजिए ।

हल दिए गए आँकड़ों का बहुलक वर्ग 60-80 है, क्योंकि इस वर्ग की बारम्बारता दिए गए आँकड़ों के वर्ग में सबसे अधिक है।

∴ बहुलक वर्ग 60-80 है।

प्रश्न 15. निम्नलिखित आँकड़ों से बहुलक ज्ञात कीजिए

प्रश्न 16. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का माध्यका ज्ञात कीजिए

प्रश्न 17. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन की माध्यिका ज्ञात कीजिए

प्रश्न 18. निम्नलिखित वितरण में एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार दिए गए हैं

विद्यार्थियों का माध्यिका भार ज्ञात कीजिए ।

हल प्रश्न 17 की भाँति स्वयं हल करें। उत्तर माध्यिका भार = 5667 किग्रा

प्रश्न 19. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन से दैनिक आय की माध्यिका ज्ञात

प्रश्न 20. एक पौधे की 40 पत्तियों की लंबाइयाँ निकटतम मिलीमीटर में मापी जाती हैं और प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित तालिका के रूप में निरूपित किया जाता है। पत्तियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए

हल चूँकि आँकड़े सतत् नहीं हैं, अतः हमें माध्यिका ज्ञात करने के लिए इन्हें सतत् में बदलने की आवश्यकता है, तब वर्ग 117.5-126.5, 126.5-135.5, …, 171.5-180.5 में बदल जाएँगे।