UP Board Class 10 Maths Chapter 2 बहुपद
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UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 बहुपद
फास्ट ट्रैक रिवीज़न
ऐसे बीजीय व्यंजक, जिनमें चर राशियाँ केवल ऋणेत्तर पूर्णांक (धनात्मक तथा शून्य) घात के रूप में हों, बहुपद कहलाते हैं।
अर्थात् फलन p(x) = a0 + a1x + a2x2 + ….. + anxn एक बहुपद है, जहाँ a0, a1, + a2 ……. an
वास्तविक संख्याएँ (Real numbers) हैं, जिन्हें गुणांक ( Coefficients) कहते हैं, an ≠ 0 तथा n एक ऋणेत्तर पूर्णांक है।
बहुपद की घात
किसी दिए गए बहुपद में सबसे बड़ी घात वाले पद के घातांक को, उस बहुपद की घात (Degree) कहते हैं। जैसे- बहुपद 5y3 + 2y2 + y +3 में चर y की अधिकतम घात वाले पद 5y3 का घातांक 3 है। अतः बहुपद की घात 3 होगी।
बहुपद के प्रका
(i) रैखिक बहुपद ऐसा बहुपद, जिसमें चर राशि की अधिकतम घात 1 हो, रैखिक बहुपद (Linear Polynomial) कहलाता है।
जैसे – p(x) = 3x + 5
(ii) द्विघात बहुपद ऐसा बहुपद, जिसमें चर राशि की अधिकतम घात 2 हो, द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial) कहलाता है।
जैसे – p(x) = 5x2 + 3x – 7/5
(iii) त्रिघात बहुपद ऐसा बहुपद, जिसमें चर राशि की अधिकतम घात 3 हो, त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial) कहलाता है।
जैसे- (i) p(x) = 8x3 (ii) p (x) = 9x3 + 5x2
(iv) चतुर्घात बहुपद ऐसा बहुपद, जिसमें चर राशि की अधिकतम घात 4 हो, चतुर्घात बहुपद (Biquadratic Polynomial) कहलाता है।
जैसे – p(x) = x4 + 2x3 −7x2 + 5x + 3
दिए गए बिंदु पर बहुपद का मान
यदि p(x), चर x में कोई बहुपद हो तथा एक वास्तविक संख्या α हो, तो p(x) में x को α से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त परिणाम p(x) का x = α पर मान कहलाती है।
बहुपद के शून्यक
यदि व्यंजक f(x), x में बहुपद हो, तब एक वास्तविक संख्या k, बहुपद f (x) का शून्यक (Zeroes) कहलाती है, यदि और केवल यदि f (k) = 0 हो ।
बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ
हम जानते हैं कि एक वास्तविक संख्या k बहुपद p(x) का एक शून्यक है। p(k) = 0 बहुपद के शून्यकों के विषय में समझने के लिए रैखिक और द्विघात बहुपद के आलेखीय निरुपण से ज्ञात होता है कि रैखिक बहुपद ax + b, a ≠ 0 का आलेख एक सरल रेखा तथा द्विघात बहुपद ax2 + bx + c, a ≠ 0 का आलेख परवलय (U-आकार) के रूप का होता है।
आलेख से हमें ज्ञात होता है कि रैखिक बहुपद के अधिकतम एक शून्यक तथा द्विघा बहुपद के अधिकतम शून्यक होते हैं।
- यदि रैखिक बहुपद का आलेख X- अक्ष को एक स्थान पर प्रतिच्छेद करता है तो इसका एक शून्यक होगा यदि X- अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता तो कोई शून्यक विद्यमान नहीं होगा।
- यदि द्विघात बहुपद का आलेख X- अक्ष को दो स्थान पर प्रतिच्छेद करता है तो दो शून्यक, एक स्थान पर प्रतिच्छेद करते हैं तो एक शून्यक, यदि X- अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता है तो इसका कोई शून्यक नहीं होता है।
बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में संबंध
बहुपद के शून्यक अपने गुणांकों से संबंधित होते हैं । यहाँ, हम बहुपद के शून्यकों तथा गुणांकों में संबंध ज्ञात करेंगे।
दिए गए शून्यकों से द्विघात तथा त्रिघात बहुपद बनाना
(i) यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यक α तथा β हैं, तब द्विघात बहुपद निम्न है
k[x2 – (शून्यकों का योग ) x + (शून्यकों का गुणनफल )]
अर्थात् k[x2 – (α + β)x + αβ], जहाँ k एक शून्येत्तर वास्तविक संख्या, शून्यकों का योग = α + β तथा शून्यकों का गुणनफल = αβ है।
(ii) यदि किसी त्रिघात बहुपद के शून्यक α, β तथा γ हैं, तब त्रिघात बहुपद निम्न है
k[x3 – (α + β + γ)x2 + (αβ + βγ + γα ) x – αβγ]
जहाँ, k एक शून्येत्तर वास्तविक संख्या है।
खण्ड अ वस्तुनिष्ठ प्रश्न
बहुविकल्पीय प्रश्न
प्रश्न 1. द्विघात बहुपद x2 + 18x + 81 के दोनों शून्यक होंगे
(a) ऋणात्मक
(b) धनात्मक
(c) (a) तथा (b) दोनों
(d) दोनों समान
हल (d) दिया गया बहुपद = x2 + 18x + 81= (x + 9)2
यह द्विघात बहुपद पूर्ण वर्ग है।
अतः दोनों शून्यक संपाती या समान होंगे।
प्रश्न 2. निम्नलिखित में से कौन-सा ग्राफ द्विघात बहुपद का नहीं है ?
हल (d) विकल्प (d) में ग्राफ X- अक्ष को तीन स्थानों पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः यह द्विघात बहुपद का ग्राफ नहीं है।
प्रश्न 3. चित्र में प्रदर्शित बहुपद के ग्राफ के आधार पर बहुपद के शून्यक होंगे
(a) एक
(b) दो
(c) तीन
(d) चार
हल (d) दिए गए बहुपद के ग्राफ में ग्राफ X- अक्ष को चार बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः शून्यकों की संख्या चार है।
प्रश्न 4. किसी बहुपद f (x) के लिए y = f (x) का ग्राफ दिया है। ग्राफ में f (x) के शून्यकों की संख्या होगी
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
हल (a) दिए गए बहुपद के ग्राफ में ग्राफ X- अक्ष को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।
अत: y = f (x) के शून्यकों की संख्या 1 होगी।
प्रश्न 5. किसी द्विघात बहुपद ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 के लिए संगत समीकरण y = ax2 + bx + c के ग्राफ का आकार होगा
(a) वृत्ताकार
(b) सीधी रेखा
(c) परवलयाकार
(d) आयताकार
हल (c) किसी द्विघात बहुपद ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 के लिए संगत समीकरण y = ax2 + bx + c के ग्राफ का आकार परवलयाकार होता है।
प्रश्न 6. द्विघात बहुपद 4x2 – 4x + 1 के शून्यांकों का योगफल होगा।
(a) 1
(b) 4
(c) -4
(d) 1/4
प्रश्न 7. यदि बहुपद p(x) = x2 – x – 3a का एक शून्यक 3 है, तब a का मान 1 होगा।
(a) सत्य
(b) असत्य
(c) कह नहीं सकते
(d) इनमें से कोई नहीं
हल (b) असत्य
प्रश्न 8. बहुपद (x2 – 2x – 3) के शून्यक होंगे
(a) – 3, 1
(b) – 3, – 1
(c) 3, – 1
(d) 3,1
प्रश्न 9. बहुपद (x2 + 7x + 10) के शून्यक …….. – 5 होंगे
(a) – 2
(b) 2
(c) 0
(d) 1
प्रश्न 10. बहुपद 3x2 + 5x – 2 के शून्यकों का योगफल है
प्रश्न 11. बहुपद 6x2 + 3 – 7x के शून्यकों के योग तथा गुणनफल का अनुपात …….. : ……. है।
(a) 7 : 3
(b) 3 : 7
(c) 2 : 5
(d) 5 : 3
प्रश्न 12. एक द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 1 तथा 1 हैं, बहुपद होगा
प्रश्न 13. शून्यकों 6 तथा – 1 वाले कितने बहुपद होंगे?
(a) एक
(b) दो
(c) तीन
(d) तीन से अधिक
हल (d) दिए गए शून्यक = 6 तथा – 1
बहुपद = b[x2 – (शून्यकों का योग ) x + ( शून्यकों का गुणनफल ) ]
= k[x2 – (6 – 1)x + 6x (– 1)] = k (x2 – 5x – 6)
जहाँ, k शून्येत्तर वास्तविक संख्या है जिसके अनेक मान हो सकते हैं।
अतः 6 तथा – 1 शून्यक वाले अपरिमित बहुपद हो सकते है।
प्रश्न 14. एक द्विघात बहुपद जिसके शून्यक – 3 और 4 हैं, है
प्रश्न 15. एक त्रिघात बहुपद के अधिक-से-अधिक शून्यकों की संख्या होगी
(a) 4
(b) 3
(c) 2
(d) 1
हल (b) एक त्रिघात बहुपद के अधिकतम शून्यकों की संख्या 3 होती है।
प्रश्न 16. त्रिघात बहुपद x3 + ax2 + bx + c का एक शून्यक – 1 है, तब अन्य दो शून्यकों का गुणनफल होगा
(a) a + b – 1
(b) 1 + a – b
(c) 1 – a + b
(d) 1 + a – b
खण्ड ब वर्णनात्मक प्रश्न
लघु उत्तरीय प्रश्न-I
प्रश्न 1. यदि द्विघात बहुपद f (x) = x2 – 4x + k के शून्यकों के वर्गों का योग 20 है, तब का मान ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 2. यदि त्रिघातीय बहुपद ax2 + bx + cx + d का एक शून्यक 0 है, तो अन्य दो शून्यकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 3. द्विघात बहुपद x2 + 7x + 10 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांक के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए ।
हल दिया गया द्विघात बहुपद,
प्रश्न 4. द्विघात बहुपद f (x) = 3x2 – x – 4 के शून्यक ज्ञात कीजिए ।
शून्यकों तथा इसके गुणांकों के बीच संबंध को सत्यापन कीजिए।
प्रश्न 5. द्विघात बहुपद x2 + 7x + 12 के शून्यक ज्ञात कीजिए। इसके शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध का सत्यापन कीजिए।
हल दिया गया द्विघात बहुपद,
प्रश्न 6. वह द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यक 5 + √3 तथा 5 – √3 हैं।
लघु उत्तरीय प्रश्न-II
प्रश्न 1. यदि द्विघात बहुपद 2x2 – 5x – (2k + 1) का एक शून्यक, दूसरे शून्य का दोगुना है, तब द्विघात बहुपद के दोनों शून्यक तथा का मानज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 2. यदि द्विघात बहुपद (k – 1)x2 + kx + 1 के शून्यकों में से एक शून्यक – 3 है, तो दूसरे शून्यक का मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 3. द्विघात बहुपद (6x2 – 3 – 7x) के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा बहुपद के गुणांकों तथा शून्यकों में संबंधों की पुष्टि कीजिए ।
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 1. एक त्रिघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके तीन शून्यक 3, –1 तथा –1/3 हैं।
हल दिया है
प्रश्न 2. जाँच कीजिए कि त्रिघात बहुपद p(x) = 2x3 – x2 – 5x – 2 के शून्यक 2, – 1 और – 1/2 हैं। इसके पश्चात् शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
प्रश्न 3. राजेश ने गरीब बच्चों के स्कूल को कुछ धनराशि और पुस्तकें दान दी। धनराशि और पुस्तकों को बहुपद p(x) = 2x2 – 5x + 7 के शून्यक (अर्थात् α और β) के रूप में निरूपित किया जा सकता है। अक्षिता, जोकि राजेश की मित्र है, वह भी राजेश से प्रेरित हुई और उसने भी कुछ धनराशि और पुस्तकें एक बहुपद के रूप में, जिसके शून्यक 2α + 3β और 3α + 2β हैं, दान दी। वह बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यक 2α + 3β और 3α + 2β हैं।
