UP Board Class 10 Maths Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
UP Board Class 10 Maths Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
फास्ट ट्रैक रिवीज़न
दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म
दो समान चरों (माना x तथा y) में दो रैखिक समीकरणों को दो चरों के रैखिक समीकरणों का युग्म कहते हैं।
दो चरों x तथा y में दो चरों के रैखिक समीकरणों का सामान्य रूप निम्न है
a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0
जहाँ, a1, b1, c1, a2, b2, c2 सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।
दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का हल
x और y के मानों से सम्बद्ध कोई भी युग्म जो दोनों समीकरणों a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 को संतुष्ट करता हो, दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल (मूल) कहलाता है।
रैखिक समीकरण युग्म का आलेखीय विधि से हल
माना दो चरों में रैखिक समीकरण निम्न हैं
a1x + b1y + c1 = 0
तथा a2x + b2y + c2 = 0
दोनों समीकरणों को एकसाथ लेने पर ये दो सरल रेखाओं को निरूपित करती हैं, तब तीन स्थितियाँ संभव हैं
स्थिति I यदि रैखिक समीकरण निकाय का ग्राफ दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ निरूपित करता है, तब इनके प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक [माना (a, b)] रैखिक समीकरण निकाय का हल होता है। अतः निकाय का हल अद्वितीय होगा और इस तरह के रैखिक समीकरण युग्म को रैखिक समीकरणों का संगत (Consistent) युग्म कहते हैं।
स्थिति II यदि रैखिक समीकरण निकाय का ग्राफ दो समांतर रेखाओं को निरूपित करे, तो उनका कोई प्रतिच्छेद बिंदु नहीं होता अर्थात् x और y के युग्म का कोई मान नहीं होता, जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता हो। अतः निकाय का कोई हल नहीं होगा और इस तरह के रैखिक समीकरण युग्म को रैखिक समीकरणों का असंगत (Inconsistent) युग्म कहते हैं।
स्थिति III यदि रैखिक समीकरण निकाय का ग्राफ संपाती रेखाओं को निरूपित करे, तो इस रैखिक समीकरण निकाय के अपरिमित रूप से अनेक उभयनिष्ठ बिंदु होंगे। अतः निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे और इस तरह के रैखिक समीकरण युग्म को रैखिक समीकरणों का आश्रित (Dependent) युग्म कहते हैं।
नोट रैखिक समीकरणों का आश्रित युग्म सदैव संगत होता है।
रैखिक समीकरण युग्म के संगत रेखाओं का निरूपण तथा संगतता
रैखिक समीकरण युग्म a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 के संगत रेखाओं का आलेखीय निरूपण, बीजगणितीय व्याख्या (अर्थात् हलों की संख्या) तथा संगतता निम्नलिखित सारणी में प्रदर्शित है
रैखिक समीकरण युग्म हल करने की विधियाँ
1. प्रतिस्थापन विधि
इस विधि में, दिए गए समीकरणों में से किसी एक समीकरण के एक चर का मान दूसरे चर के पद में ज्ञात कर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। तब, हमें एक चर में समीकरण प्राप्त होता है, जिसे आसानी से हल किया जा सकता है।
2. विलोपन विधि
इस विधि में, दोनों समीकरणों के दोनों चरों में से एक चर को उस चर के गुणांक को समान कर विलुप्त करते हैं। एक चर को विलुप्त करने के पश्चात् शेष समीकरण एक चर वाला समीकरण होगा, जिसे आसानी से हल किया जा सकता है।
इस प्रक्रिया से प्राप्त एक चर के मान को दूसरी समीकरण में प्रतिस्थापित कर दूसरे चर का मान ज्ञात करते हैं।
विभिन्न प्रकार के शाब्दिक प्रश्न
दिए गए कथन को रैखिक समीकरण युग्म में परिवर्तित करने के लिए कुछ महत्त्वपूर्ण बिंदुओं का स्मरण होना आवश्यक है, जोकि निम्नवत् है
1. आयु संबंधी प्रश्न
इस प्रकार के प्रश्नों में पहले व्यक्ति की वर्तमान आयु x वर्ष तथा दूसरे की y वर्ष मानते हैं, तब a वर्ष पहले, पहले व्यक्ति की आयु (x – a) वर्ष तथा दूसरे व्यक्ति की आयु (y – a) वर्ष मानी जाती है और b वर्ष पश्चात् पहले व्यक्ति की आयु (x + b) वर्ष और दूसरे व्यक्ति की आयु ( y + b) वर्ष मानते है ।
2. वाणिज्य गणित पर आधारित प्रश्न
(i) किसी यात्रा के टिकट पर आधारित प्रश्नों के लिए 1 पूरे टिकट का मूल्य ₹ x तथा आरक्षण का चार्ज ₹ y मानते हैं।
(ii) लाभ और हानि के प्रश्नों को हल करने के लिए, एक वस्तु का क्रय मूल्य ₹ x और दूसरी वस्तु का क्रय मूल्य ₹ y मानते हैं।
(iii) साधारण ब्याज के प्रश्नों को हल करने के लिए, एक ब्याज की दर से जमा राशि ₹ x तथा दूसरी ब्याज दर से जमा राशि ₹ y लें।
3. अंकों और संख्याओं पर आधारित प्रश्न
इस प्रकार के प्रश्नों में सर्वप्रथम इकाई का अंक x तथा दहाई का अंक y लेते हैं, तब द्वि-अंकीय संख्या 10y + x है। इनके स्थानों को परस्पर बदलने पर इकाई का अंक y तथा दहाई का अंक x होगा, तब नई द्वि-अंकीय संख्या 10x + y होगी। तत्पश्चात् समीकरण बनाकर मान ज्ञात करते हैं।
4. भिन्नों पर आधारित प्रश्न
इस प्रकार के प्रश्नों में सर्वप्रथम भिन्न का अंश x और हर y मान लेते हैं, तब भिन्न = x/y होगी । दिए गए प्रतिबंध के अनुसार, समीकरण बनाइए और भिन्न प्राप्त करने के लिए x और y का मान समीकरणों को हल करके ज्ञात करें।
5. दूरी, चाल और समय पर आधारित प्रश्न
(i) हम जानते हैं कि चाल को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है
अतः दूरी = चाल X समय
(ii) धारा की दिशा और विपरीत दिशा में जाती नाव की चाल से संबंधित प्रश्नों को हल करने के लिए, माना स्थिर जल में नाव की चाल x किमी/घंटा तथा धारा की चाल y किमी/घंटा है।
तब, धारा की दिशा में नाव की चाल = (x + y) किमी/घंटा
तथा धारा की विपरीत दिशा में नाव की चाल = (x – y) किमी/घंटा।
6. समय और कार्य पर आधारित प्रश्न
यदि एक आदमी एक काम को n दिन में करता है,
तब वह एक दिन में 1/n भाग काम करेगा तथा इसका विलोमत: भी सत्य है। ऊपर दिए गए कथन के आधार पर समीकरण बनाकर उन्हें हल कर सकते है।
7. ज्यामिति और क्षेत्रमिति पर आधारित प्रश्न
ज्यामिति और क्षेत्रमिति से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए इनके चित्रों से संबंधित गुणों और सूत्रों का प्रयोग करते हैं, जिनमें से कुछ निम्न प्रकार हैं
(i) किसी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
(ii) समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण समान होते हैं।
(iii) चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोणों का योग 180° होता है।
(iv) आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
(v) आयत का परिमाप = 2 (लंबाई + चौड़ाई)
खण्ड अ वस्तुनिष्ठ प्रश्न
बहुविकल्पीय प्रश्न
प्रश्न 1. समीकरणों 2x + ay = 1 तथा 3x – 5y = 7 का कोई भी हल नहीं होगा, यदि a का मान है
प्रश्न 2. रैखिक समीकरणों के एक युग्म x – y = & 3x – 3y = 16 के हलों की संख्या होगी
(a) अनंत
(b) कोई नहीं
(c) केवल एक
(d) दो
हल (b) दिया है, x – y = 8 …(i)
तथा 3x – 3y = 16 …(ii)
समी (i) व (ii) की तुलना a1x + b1y + c1 = 0
तथा a2x + b2y + c2 = 0 से करने पर,
यहाँ, a1 = 1, b1 = – 1, c1 = – 8
a2 = 3, b2 = – 3, c2 = – 16
प्रश्न 3. यदि 3x + 2py = 2 और 2x + 5y + 1 = 0 द्वारा निरूपित रेखाएँ परस्पर समांतर हैं, तो p का मान होगा
प्रश्न 4. रैखिक समीकरण x + 2y + 5 = 0 तथा -3x – 6y + 1 = 0 के युग्म का हल होगा
(a) अद्वितीय
(b) दो
(c) अपरिमित रूप से अनेक
(d) इनमें से कोई नहीं
हल (d) दिया है, x + 2y + 5 = 0 …(i)
तथा -3x – 6y + 1 = 0 …(ii)
समी (i) व (ii) की तुलना a1x + b1y + c1 = 0
तथा a2x + b2y + c2 = 0 से करने पर,
प्रश्न 5. p के किस मान के लिए समीकरण 3x – y + 8 = 0 और 6x – py + 16 = 0 संपाती रेखाएँ निरूपित करती हैं?
प्रश्न 6. समीकरणों a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0 का कोई हल नहीं होने का प्रतिबंध है
प्रश्न 7. यदि समीकरण x + y = 10 का एक हल x = 3m + 2 तथा y = 4 है, तो m का मान है
प्रश्न 8. यदि p = 10, तब रैखिक समीकरण युग्म 6x + 5y = 4 तथा 12x + py = – 8 का कोई हल नहीं होगा
(a) सत्य
(b) असत्य
(c) दोनों
(d) इनमें से कोई नहीं
हल (a) सत्य, दिया गया समीकरण युग्म निम्न है
6x + 5y = 4 तथा 12x + py = – 8
प्रश्न 9. समीकरण निकाय 
में y का मान होगा
में y का मान होगा
प्रश्न 10. समीकरण x – 2y = 2 का कौन-सा एक हल हो सकता है?
(a) x = 6, y = 2
(b) x = 4, y = 4
(c) x = 3, y = 1
(d) x = 2, y = 6
हल (a) विकल्प (a) से x = 6, y = 2 समीकरण में रखने पर,
बायाँ पक्ष = 6 – 2 (2) = 6 – 4 = 2 = दायाँ पक्ष
अतः x = 6, y = 2 समीकरण x – 2y = 2 का एक हल है।
अन्य किसी विकल्प के मान समीकरण को संतुष्ट नहीं करते हैं।
प्रश्न 11. रैखिक समीकरण युग्म x + y = 10, x – y = 4 का हल है
(a ) x = 5, y = 2
(b) x = 7, y = 3
(c) x = 7, y = – 3
(d) x = – 7, y = – 3
प्रश्न 12. समीकरण x – y = 2 एवं x + y = 2 का हल होगा
(a) x = 0, y = 2
(b) x = 2, y = 0
(c) x = 4, y = 2
(d) x = – 2, y = 0
हल (b) दी गई समीकरण
x – y = 2 …(i)
तथा x + y = 2 …(ii)
समी (i) से x = 2 + y समी (ii) में रखने पर,
2 + y + y = 2 ⇒ 2 + 2y = 2
प्रश्न 13. 2x + 3y = 18; x – 2y = 2 का हल होगा
(a) x = 6, y = 2
(b) x = 3 y = 4
(c) x = 3, y = 8
(d) x = 0, y = 6
हल (a) दी गई समीकरण,
प्रश्न 14. समीकरण 3x + 2y = 6 तथा y = 0 का हल होगा
(a) 2, 0
(b) 0, 2
(c) 3, 0
(d) 0, 3
प्रश्न 15. दो संख्याओं के योगफल और अन्तर क्रमशः 8 और 2 हैं, तो संख्याएँ होगी
(a) 6, 2
(b) 5, 3
(c) 7, 1
(d) 1, 2
हल (b) माना संख्याएँ x और y हैं।
प्रश्न 16. दो संख्याओं का योगफल 24 है और उनमें से एक संख्या दूसरी की दोगुनी है। संख्याएँ क्रमशः होगी
(a) 16, 8
(b) 12, 6
(c) 18, 9
(d) 14, 7
लघु उत्तरीय प्रश्न-I
प्रश्न 1. दिखाइए कि रैखिक समीकरण 3x – y = 2 तथा 9x – 3y = 6 के अनेक हल होंगे।
हल दी गई समीकरण निम्न है
प्रश्न 2. k का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरणों 2x + ky = 1 और 3x – 5y = 7 का एक अद्वितीय हल है।
हल दिए गए समीकरण निम्न है।
प्रश्न 3. k के किस मान के लिए युगपत समीकरणों 3x + y = 1 तथा (2k – 1)x + (k – 1) y = (2k + 1) का कोई हल नहीं है?
हल दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है,
3x + y – 1 = 0
तथा (2k – 1)x + (k – 1)y – ( 2k + 1) = 0
रैखिक समीकरण के मानक रुप से तुलना करने पर,
प्रश्न 4. a का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए निकाय ax + 2y = 2 तथा 8x + ay = 4 के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।
हल दिया गया रैखिक समीकरण युग्म निम्न है,
प्रश्न 5. अनुपातों 
की तुलना करके ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरण का युग्म 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7 संगत है या असंगत। (NCERT Exercise)
की तुलना करके ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरण का युग्म 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7 संगत है या असंगत। (NCERT Exercise)हल दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है,
3x + 2y = 5 तथा 2x – 3y = 7
दिए गए रैखिक समीकरण युग्म को निम्न प्रकार लिख सकते हैं।
प्रश्न 6. की तुलना करके ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ 4x + 3y – 7 = 0, 12x + 9y = 21 एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं।
की तुलना करके ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ 4x + 3y – 7 = 0, 12x + 9y = 21 एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं।हल दिया गया रैखिक युग्म निम्न है
4x + 3y – 7 = 0 तथा 12x + 9y – 21 = 0
दी गई समीकरणों की तुलना a1x + a1y + c1 = 0 तथा
प्रश्न 7. निम्नलिखित समीकरणों के युग्म को हल कीजिए
3x – 5y – 4 = 0 तथा 9x = 2y + 7
हल दिए गए समीकरण निम्न है
प्रश्न 8. निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए
प्रश्न 9. निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्म को हल कीजिए
0.2x + 0.3y = 1.3 और 0.4x – 0.5y = 0.7
हल दी गई समीकरण निम्न है
प्रश्न 10. 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = – 24 को हल कीजिए और इससे m का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो ।
प्रश्न 11. यदि 4 कुर्सियों तथा 7 मेजों का मूल्य ₹360 है और 6 कुर्सियों तथा 10 मेजों का मूल्य ₹520 है, तो एक कुर्सी तथा एक मेज का मूल्य अलग-अलग ज्ञात कीजिए ।
हल माना कुर्सी का मूल्य ₹ x तथा मेज का मूल्य ₹ y हैं।
प्रश्नानुसार,
4x + 7y = 360 …..(i)
तथा 6x + 10y = 520 …..(ii)
समी (i) को 10 से तथा समी (ii) को 7 से गुणा करके घटाने पर,
प्रश्न 12. दो संख्याओं का योग 8 है तथा उनके व्युत्क्रमों का योग 
है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए ।
है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए ।हल माना वह संख्याएँ x तथा y हैं।
प्रश्न 13. दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए |
हल माना दो संख्याएँ x तथा y हैं, जहाँ x > y है।
प्रश्नानुसार, x – y = 26 …(i)
तथा x = 3y …(ii)
समी (ii) से x = 3y समी (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
3y – y = 26 ⇒ 2y = 26
⇒ y = 13
y = 13 समी (ii) में रखने पर, x = 3 × 13 = 39
अतः संख्याएँ क्रमशः 39 व 13 हैं।
प्रश्न 14. दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए ।
हल माना इकाई का अंक = x तथा दहाई का अंक = y
∴ संख्या = 10y + x
प्रश्नानुसार, अंकों का योग = 9
x + y = 9 …(i)
अंकों को पलटने पर, इकाई का अंक = y
तथा दहाई का अंक = x
∴ नई संख्या = 10x + y
प्रश्नानुसार, 9 (x + 10y) = 2 ( 10x + y)
⇒ 9x + 90y = 20x + 2y
⇒ 9x + 90y – 20x – 2y = 0
⇒ – 11x + 88y = 0 ⇒ x – 8y = 0
∴ x = 8y …(ii)
समी (ii) से x = 8y समी (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
8y + y = 9 ⇒ 9y = 9
∴ y = 1
y का मान समी (i) में रखने पर, x + 1 = 9
∴ x = 8
अतः संख्या = 10y + x = 10 × 1 + 8 = 18
लघु उत्तरीय प्रश्न-II
प्रश्न 1. रैखिक समीकरण युग्म x + y = 2 और 2x – y = 1 के हल को निरूपित करने वाले बिंदु से होकर जाने वाली एक रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए। इस प्रकार की कितनी रेखाएँ ज्ञात कर सकते हैं?
हल दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म निम्न हैं
ग्राफ पेपर पर बिंदु A (0, 2) तथा B (2, 0) को आलेखित कर रेखा AB प्राप्त करते है। इसी प्रकार, बिंदु C(0, – 1) और D (2, 3) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर रेखा CD प्राप्त करते है।
ग्राफ से यह स्पष्ट है कि रैखिक समीकरण x + y = 2 तथा 2x – y = 1 के प्रतिच्छेद बिंदु से अनंत रेखाएँ गुजर सकती हैं अर्थात् बिंदु E (1, 1) अनंत रेखाओं; जैसे— y = x, 2x + y = 3, x + 2y = 3 इत्यादि को संतुष्ट करेगा।
प्रश्न 2. ग्राफीय विधि द्वारा दिखाइए कि रैखिक समीकरण निकाय 2x+ 4y = 10 और 3x + 6y = 12 कोई हल नहीं रखता है।
हल दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है
ग्राफ पेपर पर बिंदुओं A (1, 2) तथा B ( – 1, 3) को आलेखित करने पर रेखा AB प्राप्त हुई। उसी प्रकार ग्राफ पेपर पर C (0, 2) तथा D (2, 1) को तथा आलेखित करने रेखा CD प्राप्त करते हैं।
प्राप्त हुए ग्राफ से यह स्पष्ट है, कि 2x + 4y = 10 तथा 3x + 6y = 12 से निरूपित रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर हैं। इसलिए, दोनों रेखाओं का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होगा ।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण निकाय कोई हल नहीं रखता है।
इति सिद्धम्
प्रश्न 3. k के किस मान के लिए निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
kx + 3y = k – 3, 12x + ky = k
हल दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है।
kx + 3y – (k – 3) = 0 तथा 12x + ky – k = 0
दिए गए समीकरणों की मानक समीकरणों a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से तुलना करने पर,
प्रश्न 4. दो मित्र अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अंतर है । अनी के पिता धर्म की आयु अनी की आयु की दोगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दोगुनी है। कैथी और धर्म की आयु का अंतर 30 वर्ष है। अनी और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए ।
हल माना अनी और बीजू की आयु क्रमशः x वर्ष और y वर्ष हैं। प्रश्नानुसार, अनी और बीजू की आयु में अंतर = 3
प्रश्न 5. दो व्यक्तियों की आय का अनुपात 9 : 7 है तथा उनके खर्चों का अनुपात 4 : 3 है। यदि इनमें से प्रत्येक व्यक्ति प्रति माह ₹2000 बचा लेता है, तो उनकी मासिक आय ज्ञात कीजिए ।
हल माना व्यक्तियों की आय क्रमश: 9x और 7x तथा उनके खर्चे क्रमश: 4y और 3y हैं।
प्रश्नानुसार, 9x – 4y = 2000 …(i)
7x – 3y = 2000 …(ii)
समी (i) को 3 से तथा समी (ii) को 4 से गुणा करके घटाने पर,
अतः व्यक्तियों की मासिक आय क्रमश: 18000 और 14000 हैं।
प्रश्न 6. दो अंकों से बनी एक संख्या एवं उसके अंकों को पलटने पर बनी संख्या का योग 66 है। यदि संख्या के अंकों का अन्तर 2 हो, तो संख्या ज्ञात कीजिए ।
हल माना संख्या के दहाई तथा इकाई के अंक क्रमशः x और y हैं।
तब, मूल संख्या = 10x + y
अंक पलटने पर बनी संख्या = 10y + x
प्रथम शर्त से, 10x + y + 10y + x = 66
⇒ 11x + 11y = 66
⇒ x + y = 6 …(i)
द्वितीय शर्त से, x – y = 2 …(ii)
समी (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,
x का मान समी (i) में रखने पर,
4 + y = 6 ⇒ y = 2
∴ मूल संख्या = 10 × 4 + 2 = 42
प्रश्न 7. दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग 9 है। यदि संख्या के अंकों को परस्पर बदलने से प्राप्त दी गई संख्या से 27 अधिक हो जाती है। संख्या ज्ञात कीजिए ।
हल माना दहाई तथा इकाई के अंक क्रमश: x तथा y हैं।
∴ मूल संख्या = 10x + y
दिया है, x + y = 9 …(i)
प्रश्नानुसार, 10y + x = 10x + y + 27
⇒ 9y – 9x = 27
⇒ -x + y = 3 …(ii)
समी (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,
y का मान समी (i) में रखने पर,
x + 6 = 9 ⇒ x = 9 – 6 = 3
∴ मूल संख्या = 10 × 3 + 6 = 36
प्रश्न 9. एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 किमी की दूरी पर हैं। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारंभ करती हैं। यदि ये कारें भिन्न-भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती हैं, तो वे 5 घंटे पश्चात् मिलती हैं। यदि वे एक-दूसरे की ओर चलती हैं, तो एक घंटे के बाद मिलती हैं दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए ।
हल माना स्थान A तथा B से चलने वाली कारों की चाल क्रमश: x किमी/घंटा तथा y किमी/घंटा हैं ।
प्रश्न 10. एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है, आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए ।
हल माना आयत की लंबाई = x तथा आयत की चौड़ाई = y
∴ क्षेत्रफल = ( लंबाई ) × (चौड़ाई) = xy वर्ग इकाई
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 1. रैखिक युगपत समीकरणों 2x – y = 1 तथा x + 2y = 13 को ग्राफ खींचकर हल कीजिए। इन रेखाओं तथा Y- अक्ष से बने त्रिभुज की शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
हल दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
2x – y = 1 ….(i)
x + 2y = 13 ….(ii)
समी (i) से, y = 2x – 1
यदि x = 0, तब y = – 1
यदि x = 1, तब y = 1
यदि x = 2, तब y = 3
समी (i) से निरूपित रेखा AGB तथा समी (ii) से निरूपित रेखा DEF दोनों बिंदु A पर प्रतिच्छेद करती हैं।
A के बिंदु (3, 5) हैं।
अतः x = 3, y = 5 समीकरण युग्म का हल हैं।
ये रेखाएँ Y- अक्ष को क्रमश: B और C बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः इन रेखाओं तथा Y – अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्ष
प्रश्न 2. एक आयताकार बाग, जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4 मी अधिक है, का अर्द्धपरिमाप 36 मी है। ग्राफीय विधि से बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए |
हल माना बाग की लंबाई = x मी तथा चौड़ाई = y मी
तब, आयताकार बाग का परिमाप = 2 ( लंबाई + चौड़ाई) = 2 (x + y)
∴ बाग का अर्द्धपरिमाप = (x + y)
बिंदु D (20, 16) व E ( 24, 12) को आलेखित करके मिलाते हैं। बिंद B ( 8, 4) व बिन्दु A(6, 2) को आलेखित करके मिलाते है।
‘·’ दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को बिंदु D ( 20, 16) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए x = 20, y = 16 दिए गए समीकरण निकाय के हल हैं।
अतः आयताकार बाग की लंबाई 20 मी तथा चौड़ाई 16 मी है।
प्रश्न 3. पिता की उम्र, पुत्र की उम्र की सात गुनी है। दो वर्ष पहले पिता की उम्र, पुत्र की उम्र की 13 गुनी थी। दोनों की वर्तमान उम्र क्या है?
हल माना पिता और पुत्र की वर्तमान आयु क्रमश: x और y हैं।
प्रश्नानुसार, x = 7y ….(i)
तथा x – 2 = 13 (y – 2)
⇒ x – 2 = 13y – 26
⇒ x – 13y = – 26 + 2
⇒ x – 13y = – 24 ….(ii)
समी (i) से x का मान समी (ii) में रखने पर,
y का मान समी (i) में रखने पर,
x = 7 × 4 = 28
अतः पिता की आयु 28 वर्ष और पुत्र की आयु 4 वर्ष है।
प्रश्न 4. एक भिन्न 1/3 हो जाती है, जब उसके अंश में 1 जोड़ दिया जाता है और वह 1/4 हो जाती है, जब इसके हर से 1 घटाया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
⇒ 3x + 3 = y
⇒ 3x – y = – 3 ….(i)
प्रश्न 5. रूही 300 किमी दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है। यदि वह 60 किमी रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है, तो उसे 4 घंटे लगते हैं। यदि वह 100 किमी रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए ।
हल माना रेलगाड़ी की चाल = x किमी/घंटा
तथा बस की चाल = y किमी/घंटा
पहली स्थिति में रूही 60 किमी की दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा 240 किमी की दूरी बस द्वारा 4 घंटे में तय करती है।
दूसरी स्थिति में रूही 100 किमी की दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा 200 किमी की दूरी बस द्वारा 4 घंटे 10 मिनट में तय करती है।
अतः रेलगाड़ी की चाल 60 किमी/घंटा तथा बस की चाल 80 किमी/घंटा है।