UP Board Class 10 Maths Chapter 4 द्विघात समीकरण
UP Board Class 10 Maths Chapter 4 द्विघात समीकरण
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 द्विघात समीकरण
फास्ट ट्रैक रिवीज़न
द्विघात समीकरण
यदि P(x) एक द्विघात बहुपद है, तो P (x) = 0 को द्विघात समीकरण (Quadratic equation) कहते हैं। द्विघात समीकरण का मानक रूप निम्न है
P(x) = ax2 + bx + c = 0
जहाँ, a ≠ 0 तथा a, b तथा c वास्तविक संख्याएँ हैं।
द्विघात समीकरण के मूल
चर के वे सभी मान, जो किसी द्विघात समीकरण को संतुष्ट करते हैं, द्विघात समीकरण के मूल/हल (Roots/Solutions of a quadratic equation) कहलाते हैं।
यदि द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल α और β हो, तब
नोट
(i) प्रत्येक द्विघात समीकरण के अधिक-से-अधिक दो वास्तविक मूल हो सकते हैं।
(ii) x = a द्विघात समीकरण P (x) = 0 का एक मूल होगा यदि और केवल यदि P(a) = 0
गुणनखंड विधि द्वारा द्विघात समीकरण का हल
गुणनखंड विधि द्वारा हल ज्ञात करने के लिए निम्न चरणों का प्रयोग करते हैं
चरण I सर्वप्रथम, दी गई द्विघात समीकरण को मानक रूप अर्थात् ax2 + bx + c = 0 के रूप में लिखते हैं।
चरण II a तथा c को गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल ac के गुणनखंडों का ऐसा युग्म p, q (माना) ज्ञात करते हैं जिनका योग b के बराबर हो अर्थात् p + q = b और pq = ac
चरण III मध्य पद bx के स्थान पर px + qx रखकर गुणनखंड ज्ञात करते हैं।
चरण IV अब, प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखते हैं तथा x का मान ज्ञात करते हैं। x के ये मान ही दी गई द्विघात समीकरण के अभीष्ट मूल हल हैं।
श्रीधराचार्य सूत्र (द्विघातीय सूत्र ) द्वारा द्विघात समीकरण का हल
मानक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0, जहाँ a ≠ 0 के मूल अर्थात् चर x के मान निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किए जा सकते हैं
उपरोक्त सूत्र को द्विघाती सूत्र (Quadratic formula) के नाम से भी जाना जाता है।
द्विघात समीकरण का विविक्तकर
व्यंजक b2 – 4ac को द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 का विविक्तकर (Discriminant) कहते हैं, जिसे D से प्रदर्शित करते हैं।
द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति
द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूलों की प्रकृति (Nature of the roots) उसके विविक्तकर b2 – 4ac के मान पर निर्भर करती है।
नोट यदि द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल बराबर हों, तो प्रत्येक मान
द्विघात समीकरण बनाना यदि मूल दिए हों
द्विघात समीकरण पर आधारित इबारती प्रश्नों को हल करने के लिए कुछ उपयोगी बिंदु
खण्ड अ वस्तुनिष्ठ प्रश्न
बहुविकल्पीय प्रश्न
प्रश्न 1. निम्न में से कौन द्विघात समीकरण है?
(a) (x + 1)2 = 2 (x – 3)
(b) (x – 2 ) (x + 1) = (x – 1) (x + 3 )
(c) x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
(d) (x + 2)3 = 2x(x2 – 1)
हल (a) (x + 1)2 = 2 (x – 3)
⇒ x2 + 1 + 2x – 2x + 6 = 0
⇒ x² + 7 = 0 ⇒ x² + 0x + 7 = 0
यह ax2 + bx + c = 0 के रूप में
अतः यह द्विघात समीकरण है।
प्रश्न 2. द्विघात समीकरण x2 – 4 = 0 के मूल हैं
(a) ± 0.2
(b) ± 1
(c) ± 2
(d) ± 4
हल (c) दी गई द्विघात समीकरण x2 – 4 = 0
⇒ x2 = 4
∴ x = ± 2
प्रश्न 3. समीकरण x2 – 2x + 1 = 0 के मूल होंगे
(a) 1, 1
(b) 1, – 1
(c) 2, – 2
(d) 2, 2
हल (a) दी गई समीकरण, x2 – 2x + 1 = 0
⇒ x2 – 2x + (1)2 = 0 ⇒ (x – 1)2 = 0
(x – 1)(x – 1) = 0
∴ x = 1, 1
प्रश्न 4. द्विघात समीकरण x2 – 3x – 10 = 0 के मूल हैं
(a) 5, 2
(b) 5, – 2
(c) – 5, 2
(d) – 5, – 2
हल (b) दी गई समीकरण x2 – 3x – 10 = 0
⇒ x2 – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x (x – 5) + 2 (x – 5) = 0
⇒ (x – 5 ) (x + 2) = 0
∴ x = 5, – 2
अतः समीकरण के मूल, 5 और – 2 हैं।
प्रश्न 6. यदि समीकरण x2 – kx – 8 = 0 का एक मूल 2 है, तो k का मान होगा ।
(a) 8
(b) -2
(c) 2
(d) 4
हल (b) दिया है, x2 – kx – 8 = 0 का एक मूल 2 है।
x = 2 समीकरण में रखने पर,
(2)2 – k (2) – 8 = 0
4 – 2k – 8 = 0
2k = – 4
k = – 2
प्रश्न 7. यदि द्विघात समीकरण x2 + 2x – p = 0 का एक हल – 2 हो, . तो p का मान क्या होगा?
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
हल (a) दिया है, द्विघात समीकरण x2 + 2x – p = 0 का एक हल -2 है, इसलिए x = -2 द्विघात समीकरण को संतुष्ट करेगा।
दी गई समीकरण में x = -2 रखने पर,
(-2)² + 2(-2) – p = 0
⇒ 4 – 4 – p = 0
⇒ -p = 0
⇒ p = 0
अतः p का अभीष्ट मान 0 है।
प्रश्न 8. यदि समीकरण 2x2 + ax + 6 = 0 का एक मूल 2 है, तो a का मान होगा
प्रश्न 9. यदि समीकरण x2 + kx – 6 = 0 का एक मूल – 2 है, तो k का मान होगा
(a) 4
(b) 1
(c) – 1
(d) 3
प्रश्न 10. समीकरण 5x2 – 3x + 2 = 0 के मूलों का योग होगा
प्रश्न 11. द्विघात समीकरण 1 4x + 4x 2 = 0 के मूलों का योगफल होगा
(a) -2
(b) -1
(c) 1
(d) 2
हल (c) दी गई समीकरण 4x2 – 4x + 1 = 0
प्रश्न 15. समीकरण 5 (x – 5) (x + 5) = 55 का हल होगा
(a) ± 3
(b) ± 5
(c) ± 6
(d) ± 7
प्रश्न 16. x = 1 समीकरण 2x2 – 5x + 3 = 0 का एक हल है।
(a) सत्य
(b) असत्य
(c) दोनों
(d) इनमें से कोई नहीं
हल (a) सत्य, x = 1 दी गई समीकरण में रखने पर,
बायाँ पक्ष = 2(1)2 – 5(1) + 3
= 2 – 5 + 3 = 5 – 5 = 0 = दायाँ पक्ष
‘·’ x = 1 दी गई समीकरण को संतुष्ट करता है।
∴ x = 1 समीकरण का हल है, सत्य है ।
प्रश्न 18. द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 का विविक्तकर होगा
(a) b2 – 2ac
(b) b2 + 4ac
(c) b2 – 4ac
(d) b2 + 2ac
हल (c) द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 का विविक्तकर = b2 – 4ac
प्रश्न 20. द्विघात समीकरण 3x2 – 6x + 4 = 0 का विविक्तकर होगा
(a) 13
(b) 12
(c) 3√6
(d) – 12
हल (d) द्विघात समीकरण 3x2 – 6x + 4 = 0 की तुलना मानक द्विघात
समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर, a = 3, b = 6 तथा c = 4
∴ विविक्तकर, = b2 – 4ac
= (- 6)2 – 4 (3) (4)
= 36 – 48 = – 12
प्रश्न 21. द्विघात समीकरण x2 + x – 1 = 0 का विविक्तकर होगा।
(a) 5
(b) -5
(c) 4
(d) 2
हल (a) द्विघात समीकरण x2 + x – 1 = 0 की तुलना मानक द्विघात
समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = 1 और c = -1
∴ विविक्तकर = b2 – 4ac
= (1)² – 4(1)(−1)
= 1 + 4 = 5
प्रश्न 22. समीकरण 2x2 + 5x + 4 = 0 के मूल होंगे
(a) परिमेय और बराबर
(b) परिमेय और असमान
(c) अपरिमेय
(d) काल्पनिक
हल (d) दी गई समीकरण 2x2 + 5x + 4 = 0 की तुलना मानक द्विघात
समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = 5 तथा c = 4
∴ विविक्तकर, D = b2 – 4ac = (5)2 – 4 × 2 × 4
= 25 – 32 = – 7 < 0
यहाँ, D < 0, अत: मूल काल्पनिक होंगे।
प्रश्न 23. समीकरण 4x2 – 12x + 9 = 0 के मूल होंगे
(a) वास्तविक और असमान
(b) वास्तविक नहीं
(c) वास्तविक और बराबर
(d) शून्य
हल (c) दी गई समीकरण, 4x2 – 12x + 9 = 0
इस समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
प्रश्न 24. द्विघात समीकरण 2x2 – 4x + 1 = 0 के मूल हैं
(a) वास्तविक और बराबर
(b) वास्तविक और भिन्न
(c) वास्तविक नहीं
(d) वास्तविक
हल (b) द्विघात समीकरण 2x2 – 4x + 1 = 0 की तुलना मानक द्विषात
समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = – 4 तथा c = 1
विविक्तकर, D = b2 – 4ac = ( – 4 )2 – 4 × 2 × 1 = 16 – 8 = 8> 0
अतः मूल वास्तविक और असमान होंगे।
प्रश्न 25. समीकरण 2x2 – 5x + 4 = 0 के मूलों की प्रकृति होगी
(a) वास्तविक और समान
(b) काल्पनिक (वास्तविक नहीं)
(c) वास्तविक और असमान
(d) इनमें से कोई नहीं
हल (b) द्विघात समीकरण 2x2 – 5x + 4 = 0 की तुलना मानक द्विघात
समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = -5 तथा c = 4
प्रश्न 26. यदि द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल समान हैं, तो का मान है
प्रश्न 27.यदि द्विघात समीकरण 3x2 – 12x + m = 0 के मूल बराबर है, तो m का मान होगा
(a) 4
(b) 7
(c) 9
(d) 12
हल (d) दी गई समीकरण 3x2 – 12x + m = 0
प्रश्न 28. यदि समीकरण 3x2 + 5x – q = 0 के मूल बराबर हैं, तो q का मान होगा
29. यदि समीकरण x2 – 4x + a = 0 के कोई वास्तविक मूल नहीं तो
(a) a ≤ 4
(b) a > 4
(c) a < 2
(d) a < 4
हल (b) दी गई समीकरण x2 – 4x + a = 0 के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
दी गई समीकरण x2 – 4x + a की तुलना ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
प्रश्न 30. किसी आयताकार खेत का क्षेत्रफल 30 मी’ है। यदि उसकी लम्बाई उसकी चौड़ाई से 1 मी अधिक हो, तो उन्हें ज्ञात करने के लिए द्विघात समीकरण होगा
(a) x2 + x + 30 = 0
(b) x2 – x + 30 = 0
(c) x2 + x – 30 = 0
(d) x2 – x – 30 = 0
हल (c) माना आयताकार खेत की चौड़ाई x मी है।
∴ आयताकार खेत की लम्बाई = (x + 1) मी
प्रश्नानुसार, आयताकार खेत का क्षेत्रफल = 30
खण्ड ब वर्णनात्मक प्रश्न
लघु उत्तरीय प्रश्न-I
प्रश्न 1. यदि α और β समीकरण 2x2 – 3x + 5 = 0 के मूल हों, तो α2β + β2α का मान ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 3. यदि द्विघात समीकरण x2 + 3x – P = 0 एक मूल 2 हो, तो P का मान ज्ञात कीजिए |
प्रश्न 4. यदि द्विघात समीकरण x2 – 2kx – 6 = 0 का एक मूल 3 है, तो k का मान ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 5. द्विघात समीकरण 6 + x – 2x2 = 0 को हल कीजिए ।
हल दी गई द्विघात समीकरण, 6 + x – 2x2 = 0 को मानक समीकरण के रूप में लिखने पर,
प्रश्न 8. द्विघात समीकरण x2 + 2bx – (a2 – b2 ) = 0 को हल कीजिए ।
हल दी गई समीकरण x2 + 2bx – (a2 – b2) = 0 की तुलना मानक द्विघात
समीकरण Ax2 + Bx + C = 0 से करने पर,
अत: x = (- b + a) तथा x = ( – b – a) दी गई द्विघात समीकरण के हल हैं।
प्रश्न 9. सूत्र की सहायता से समीकरण 3x2 – 2x – 21 = 0 को हल कीजिए ।
हल दी गई समीकरण 3x2 – 2x – 21 = 0 की तुलना मानक द्विघात समीकरण
प्रश्न 10. समीकरण 3x2 – 6x + 2 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए ।
हल दी गई द्विघात समीकरण 3x2 – 6x + 2 = 0 की तुलना मानक द्विघात
प्रश्न 11. द्विघात समीकरण 4x2 + 9x + 5 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।
हल दी गई समीकरण 4x2 + 9x + 5 = 0 की तुलना ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
प्रश्न 12. द्विघात समीकरण 4x2 – 6x + 5 = 0 का विविक्तकर ज्ञात कीजिए और फिर इसके मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए ।
हल द्विघात समीकरण 4x2 – 6x + 5 = 0 की तुलना ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
प्रश्न 14. यदि द्विघात समीकरण 3x2 – 12x + 2m = 0 के मूल बराबर हैं, तो m का मान ज्ञात कीजिए ।
हल द्विघात समीकरण 3x2 – 12x + 2m = 0 की तुलना मानक द्विघात समीकरण
प्रश्न 17. समीकरण x2 – 7x + 12 = 0 के मूलों के व्युत्क्रमों का योगफल ज्ञात कीजिए ।
हल दी गई समीकरण, x2 – 7x + 12 = 0
प्रश्न 18. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 है।
हल माना क्रमागत धन पूर्णांक संख्याएँ x तथा (x + 1) हैं।
प्रश्न 20. यदि एक बगीचे की परिमाप 120 मी और क्षेत्रफल 800 मी? है, तो उसकी लंबाई, चौड़ाई ज्ञात कीजिए। दिया है कि लंबाई, चौड़ाई से 2 गुनी है।
हल माना कि बगीचे की चौड़ाई = x मी
प्रश्न 21. एक व्यापारी किसी वस्तु को ₹ 24 में बेचता है। उसे उतने ही प्रतिशत लाभ होता है, जितना वस्तु का क्रय मूल्य था । वस्तु का क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल माना वस्तु का क्रय मूल्य ₹ x है।
लघु उत्तरीय प्रश्न-II
प्रश्न 1. यदि द्विघात समीकरण 3x2 – 2kx + 2m = 0 के मूल x = 2 तथा x = 3 हैं, तो k और m के मान ज्ञात कीजिए ।
हल दी गई समीकरण 3x2 – 2kx + 2m = 0
प्रश्न 2. द्विघात समीकरण x2 – (2a + 3b)x + a2 + 3ab+ 2b2 = 0 को द्विघातीय सूत्र द्वारा हल कीजिए ।
हल दी गई समीकरण x2 – (2a + 3b)x + a2 + 3ab+ 2b2 = 0 की तुलना मानक द्विघात समीकरण Ax2 + Bx + C = 0 से करने पर,
प्रश्न 3. द्विघाती सूत्र का प्रयोग करके निम्न द्विघात समीकरण को हल कीजिए |
प्रश्न 4. निम्नलिखित समीकरण को हल कीजिए
प्रश्न 7. द्विघात समीकरण 2x2 – 4x + 3 = 0 का विविक्तकर ज्ञात कीजिए और फिर मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए ।
हल द्विघात समीकरण 2x2 – 4x + 3 = 0 की तुलना ax2 + bx + c = 0 से करने पर, a = 2, b = – 4 तथा c = 3
प्रश्न 8. m के किन मानों के लिए समीकरण
(m + 1)x2 + 2(m + 3)x + (2m + 3) = 0 के मूल समान हैं ?
प्रश्न 12. दो सख्यांओं के वर्गों का अन्तर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का 8 गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए ।
हल मान लीजिए बड़ी संख्या x है, तब
प्रश्न 13. एक भिन्न का हर उसके अंश से 1 अधिक है। इस भिन्न का तीन गुना इसके व्युत्क्रम के दोगुने से 1 कम है। भिन्न ज्ञात कीजिए ।
हल माना भिन्न का अंश = x
तब, भिन्न का हर = x + 1
प्रश्न 15. दो धन पूर्णांकों के वर्गों का अंतर 45 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या के चार गुने के बराबर है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए |
हल माना दो धन पूर्णांक x व y हैं जिनमें x बड़ी संख्या तथा y छोटी संख्या है।
प्रश्न 16. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योगफल 27 हो और गुणनफल 182 हो।
हल माना संख्याएँ क्रमश: x और y हैं।
प्रश्न 17. दो क्रमागत विषम पूर्णांकों के वर्गों का योगफल 394 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल माना दो क्रमागत विषम पूर्णांक क्रमश: (2x + 1) व (2x + 3) हैं।
तथा दूसरी संख्या | = 2x + 3 = 2 × 6 + 3 = 15
जब x = – 8, तब पहली संख्या = 2x + 1 = 2 (-8) + 1 = – 15
तथा दूसरी संख्या = 2x + 3 = 2 (-8) + 3 = – 13
प्रश्न 18. दो क्रमागत धन पूर्णांक सम संख्याओं के वर्गों का योग 340 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए ।
अथवा दो क्रमागत धन सम संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनके वर्गों का योगफल 340 है।
हल माना क्रमागत धन पूर्णांक सम संख्याएँ 2x, 2x + 2 हैं।
अतः क्रमागत धन पूर्णांक सम संख्याएँ क्रमशः 12, 14 हैं।
प्रश्न 19. कुछ निश्चित संख्या के छात्रों में 300 सेब समान रूप से वितरित किये जाते हैं। यदि 10 छात्र और आ जाएँ, तो प्रत्येक छात्र को मिलने वाले सेबों की संख्या में 1 की कमी हो जाती है। छात्रों की संख्या ज्ञात कीजिए ।
हल माना छात्रों की संख्या n है।
प्रश्नानुसार,
प्रश्न 20. क्या परिमाप 80 मी तथा क्षेत्रफल 400 मी’ के एक आयताकार पार्क को बनाना संभव है? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए |
हल माना पार्क की चौड़ाई = x मी
तब प्रश्नानुसार, आयताकार पार्क का परिमाप = 80 मी
⇒ 2(लंबाई + चौड़ाई) = 80 मी
⇒ लंबाई + चौड़ाई = 40 मी
⇒ लंबाई = ( 40 – x) मी
∴ आयताकार पार्क का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = ( 40 – x)x मी2
परंतु प्रश्नानुसार,
आयताकार पार्क का क्षेत्रफल = 400 मी2
अतः पार्क की चौड़ाई = 20 मी
और पार्क की लंबाई = ( 40 – 20 ) मी = 20 मी
अत: यह संभव है कि एक ऐसा आयताकार पार्क बनाया जाए, जिसकी लंबाई और चौड़ाई समान हों।
प्रश्न 21. एक आयताकार मैदान का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लंबा है। यदि उसकी बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो, तो मैदान का परिमाप ज्ञात कीजिए।
अथवा एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा, छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए ।
हल माना आयताकार मैदान ABCD की छोटी भुजा, BC = x मी
प्रश्नानुसार, विकर्ण AC = (x + 60) मी
तथा बड़ी भुजा, AB = (x + 30 ) मी
प्रश्न 22. एक रेलगाड़ी एकसमान चाल से 180 किमी की दूरी तय करती है और यदि, 5 किमी/घंटा अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में ½ घंटा कम लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए ।
हल माना रेलगाड़ी की चाल x किमी/घण्टा है।
प्रश्न 23. एक नाव की शांत जल में चाल 15 किमी/घंटा है। नाव को धारा की दिशा में 30 किमी जाने और फिर धारा की विपरीत दिशा में उसी स्थान पर लौटने में कुल समय 4 घंटे 30 मिनट लगता है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए |
हल दिया है, शांत जल में नाव की चाल = 15 किमी/घंटा
माना धारा की चाल = x किमी / घंटा
तब, धारा के अनुकूल नाव की चाल = (15 + x ) किमी/घंटा
तथा धारा के विपरीत नाव की चाल = (15 – x) किमी/घंटा
नोट धारा के अनुकूल नाव की चाल के लिए शांत (स्थिर) जल में नाव की चाल में धारा की चाल को जोड़ते हैं तथा धारा के प्रतिकूल अर्थात् विपरीत नाव की चाल के लिए शांत (स्थिर) जल में नाव की चाल से धारा की चाल को घटाते हैं।
प्रश्न 24. एक नाव की स्थिर जल में चाल 8 किमी/घंटा है। यह धारा की दिशा में 22 किमी और धारा की विपरीत दिशा में 15 किमी 5 घंटे में जा सकती है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए ।
हल दिया है, नाव की स्थिर जल में चाल = 8 किमी/घंटा
माना धारा की चाल = x किमी/घंटा
तब, धारा की दिशा में चाल = (8 + x) किमी/घंटा
तथा धारा की विपरीत दिशा में चाल = (8 – x) किमी/घंटा
अतः धारा की चाल 3 किमी/घंटा है।
प्रश्न 25. एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दोगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए ।
हल माना निर्मित बर्तनों की संख्या = x
लेकिन ऋणात्मक नहीं हो सकता अर्थात् निर्मित बर्तनों की संख्या धनात्मक होगी।
∴ x = 6
अतः निर्मित बर्तनों की संख्या = 6
तथा प्रत्येक बर्तन की लागत = (2 x 6 + 3 = ₹ 15
प्रश्न 26. एक समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ (सेमी में ) 5x और (3x – 1) हैं। यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 60 सेमी2 हो, तो त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए |
हल दिया है, त्रिभुज का क्षेत्रफल = 60 सेमी2
तथा भुजाएँ AB = 5x सेमी, BC = (3x – 1) सेमी
प्रश्न 27. 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षो में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग 13 है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए |
हल माना रहमान की वर्तमान आयु x वर्ष है।
∴ 3 वर्ष पहले रहमान की आयु = (x – 3) वर्ष
तथा 5 वर्ष बाद रहमान की आयु = (x + 5) वर्ष
जोकि असंभव है क्योंकि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती ।
अतः रहमान की वर्तमान आयु 7 वर्ष है।
प्रश्न 28. पुनीता की 2 वर्ष पूर्व की आयु और अब से 4 वर्ष बाद की आयु का गुणनफल उसकी वर्तमान आयु के दोगुने से 1 वर्ष अधिक है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए ।
हल माना पुनीता की वर्तमान आयु x वर्ष है।
∴ 2 वर्ष पूर्व पुनीता की आयु = (x – 2) वर्ष
4 वर्ष बाद पुनीता की आयु = (x + 4) वर्ष
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 2. निम्नलिखित समीकरण को हल कीजिए
प्रश्न 3. निम्नलिखित समीकरण को हल कीजिए
प्रश्न 4. निर्धारित कीजिए कि द्विघात समीकरण 9x2 + 7x – 2 = 0 के मूल वास्तविक हैं। यदि ऐसा है, तो मूलों को द्विघात सूत्र द्वारा ज्ञात कीजिए।
हल दी गई समीकरण, 9x2 + 7x – 2 = 0 की ax2 + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
प्रश्न 5. यदि समीकरण x2 + kx + 64 = 0 और x2 – 8x + k = 0 वास्तविक मूल रखते हैं, तो k का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए ।
अथवा k का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण x2 + kx + 64 = 0 और x2 – 8x + k = 0 के दोनों मूल वास्तविक होंगे।
हल दी गई समीकरण निम्न हैं।
अतः दोनों समीकरणों के मूल वास्तविक होंगे, यदि k = 16 है।
प्रश्न 6. (i) यदि द्विघात समीकरण 2x2 + kx + 3 = 0 के दोनों मूल वास्तविक और बराबर हैं, तो k का मान ज्ञात कीजिए ।
(ii) द्विघात समीकरण 2x2 – 5x + 3 = 0 को हल कीजिए ।
हल
प्रश्न 7. निम्नलिखित समीकरण को हल कीजिए
प्रश्न 8. निम्नलिखित समीकरण को हल कीजिए
प्रश्न 9. दो संख्याओं का अंतर 2 है तथा उनके वर्गों का योग 34 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल माना संख्याएँ क्रमश: x और y हैं, जहाँ x > y है।
दिया है, दोनों संख्याओं का अंतर = 2
अतः संख्याएँ क्रमशः 5 तथा 3 हैं।
प्रश्न 10. तीन क्रमागत धन पूर्णांक इस प्रकार हैं कि प्रथम पूर्णांक के वर्ग तथा दूसरे और तीसरे के गुणनफल का योगफल 191 है। इन पूर्णांकों को ज्ञात कीजिए।
हल माना तीन क्रमागत धन पूर्णांक क्रमश: x, (x + 1) व (x + 2) हैं।
प्रश्न 11. एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए।
हल माना शेफाली के गणित में अंक x हैं। तब, उसके अंग्रेजी में अंक (30 – x) होंगे, क्योंकि दिया है कि शेफाली के गणित और अंग्रेजी में अंकों का योग 30 है।
प्रश्नानुसार,
जब x = 12, तब गणित में अंक x = 12 और अंग्रेजी में अंक = 30 – 12 – 18
जब x = 13, तब गणित में अंक x = 13 और अंग्रेजी में अंक = 30 – 13 = 17
प्रश्न 12. दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योगफल 157 मी2 है। यदि इनके परिमापों का योगफल 68 मी हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए ।
हल माना दोनों वर्गों की भुजाएँ क्रमशः x मी और y मी हैं।
तब, पहले वर्ग का क्षेत्रफल = x2 वर्ग मी
अतः दोनों वर्गों की भुजाएँ क्रमशः 6 मी व 11 मी तथा 11 मी व 6 मी हैं।
प्रश्न 13. एक आयताकार पार्क की लंबाई उसकी चौड़ाई से 8 मी अधिक है। यदि पार्क का क्षेत्रफल 240 मी2 है, तो पार्क की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल दिया गया है, पार्क की लंबाई उसकी चौड़ाई से 8 मी अधिक है तथा क्षेत्रफल = 240 मी2
माना पार्क की चौड़ाई = x मी, तब लंबाई = (x + 8) मी
⇒ x(x + 20) – 12(x + 20) = 0
⇒ (x + 20) (x – 12) = 0 ⇒ x = – 20, 12
x = – 20 मान्य नहीं है क्योंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।
∴ x = 12
अतः पार्क की लंबाई ( 12 + 8 ) = 20 मी तथा चौड़ाई 12 मी है।
प्रश्न 14. दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 117 मी’ है। यदि उनके परिमापों का अंतर 12 मी हो, तो दोनों वर्गों की भुजाए ज्ञात कीजिए ।
हल माना प्रथम वर्ग की भुजा x मी तथा दूसरे वर्ग की भुजा y मी है।
यदि x + 6 = 0 ⇒ x = -6 अमान्य है, क्योंकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
∴ x = 9 तथा y = 9 – 3 = 6
अत: प्रथम वर्ग की भुजा 9 मी तथा दूसरे वर्ग की भुजा 6 मी होगी।
प्रश्न 15. कोई रेलगाड़ी समान चाल से 90 किमी की दूरी तय करती है। यात्रा के लिए 30 मिनट कम लगा होता, यदि चाल 15 किमी/घंटा अधिक होती। रेलगाड़ी की मूल चाल ज्ञात कीजिए।
हल माना रेलगाड़ी की मूल चाल x किमी/घंटा है।
यदि x + 60 = 0, तब x = – 60
जोकि मान्य नहीं है, क्योंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
यदि x – 45 = 0, तब x = 45, जोकि मान्य है।
अतः रेलगाड़ी की मूल चाल 45 किमी/घंटा है।
प्रश्न 16. मुम्बई से पुणे की 192 किमी यात्रा में तेज चाल से चलने वाली रेलगाड़ी धीमी चलने वाली रेलगाड़ी से 2 घंटे कम समय लेती है।
यदि धीमी रेलगाड़ी की औसत चाल तेज रेलगाड़ी की औसत चाल से 16 किमी / घंटा कम हो, तो प्रत्येक रेलगाड़ी की औसत चाल ज्ञात कीजिए ।
हल माना तेज रेलगाड़ी की औसत चाल x किमी/घंटा है।
तब, धीमी रेलगाड़ी की औसत चाल = (x – 16) किमी/घंटा
यदि (x – 48 ) = 0, तब x = 48
यदि (x + 32 ) = 0, तब x = – 32
x = – 32 मान्य नहीं है क्योंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती ।
अतः तेज चाल से चलने वाली रेलगाड़ी की औसत चाल = 48 किमी/घंटा
तथा धीमी चाल से चलने वाली रेलगाड़ी की औसत चाल = 48 – 16 = 32 किमी/घंटा
प्रश्न 17. एक मोटरबोट, जिसकी स्थिर जल में चाल 18 किमी/घंटा है, 24 किमी धारा के प्रतिकूल जाने में तथा वही दूरी धारा के अनुकूल वापस आने की अपेक्षा 1 घंटा अधिक लेती है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए ।
हल माना धारा की चाल x किमी/घण्टा है।
धारा के प्रतिकूल मोटरबोट की चाल = (18 – x) किमी/घण्टा
धारा के अनुकूल मोटरबोट की चाल = (18 + x) किमी/घण्टा
x = – 54 मान्य नही है, क्योकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः धारा की चाल 6 किमी/घंटा है।
प्रश्न 18. एक नाव की गति शांत जल में 18 किमी/घंटा है। वह 24 किमी धारा के विरुद्ध जाने में और 24 किमी धारा की दिशा में आने पर 1 घंटा अधिक समय लेती है। धारा की चाल कीजिए ।
हल दिया है, नाव की (गति) = 18 किमी/घण्टा; दूरी = 24 किमी
माना धारा की चाल x है।
माना धारा के विरुद्ध तथा धारा की दिशा में लगने वाला समय t1 तथा t2 हैं।
चूँकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
∴ x = 6
अतः धारा की चाल 6 किमी/घंटा है।