UP Board Class 10 Maths Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
UP Board Class 10 Maths Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
फास्ट ट्रैक रिवीज़न
समांतर श्रेढ़ी
संख्याओं a1, a2, a3 …… an को समांतर श्रेढ़ी कहते हैं, यदि एक चर संख्या d (सार्वान्तर) इस प्रकार अस्तित्व में हो कि
a2 = a1 + d, a3 = a2 + d, a4 = a3 + d, ….., an = an-1 + d इत्यादि ।
ऐसी श्रेणी, जिसमें प्रत्येक पद, अपने से पहले पद में एक नियत संख्या जोड़ने से प्राप्त होता है। समांतर श्रेढ़ी कहलाती है।
सामान्यतः a, a + d, a + 2d, a + 3d,… एक समांतर श्रेढ़ी को निरूपित करती है, जहाँ प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है। इसे समांतर श्रेढ़ी का व्यापक रूप (General form) कहते हैं।
नोट यदि किसी समांतर श्रेढ़ी में पदों की संख्या परिमित (सीमित) है, तो इसे परिमित समांतर श्रेढ़ी अन्यथा इसे अपरिमित समांतर श्रेढ़ी कहते हैं।
समांतर श्रेढ़ी का nवाँ पद
यदि समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है, तब इसका nवाँ पद (व्यापक पद) निम्न होगा
an = a + (n – 1) d
(i) यदि किसी समांतर श्रेढ़ी में कुल पद हों तथा वाँ पद अर्थात् अंतिम पद I हो, तब
I = a + (n – 1) d
(ii) यदि किसी समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद a, सार्वान्तर d तथा अंतिम पद I है, तब समांतर श्रेढ़ी का अंत से वाँ पद = I – (n – 1) d
समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग
यदि किसी समांतर श्रेढी का प्रथम पद a, सार्वान्तर d तथा प्रथम n पदों का योगफल Sn है, तब
जहाँ, an समांतर श्रेढ़ी का n वाँ पद है।
(i) यदि समांतर श्रेढ़ी का n वाँ पद (अन्तिम पद ) I है, तब श्रेणी के सभी पदों का योगफल,
(ii) यदि समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n तथा (n – 1) पदों के योग क्रमशः Sn तथा Sn-1 हों, तब इसका nवाँ पद,
नोट यदि a, b तथा C समांतर श्रेढ़ी में हैं, तो b को a तथा c का समांतर माध्य कहते हैं
खण्ड अ वस्तुनिष्ठ प्रश्न
प्रश्न 1. समांतर श्रेढ़ी – 5, – 1, 3, 7 …… का सार्वान्तर होगा –
(a) 4
(b) 3
(c) 2
(d) 1
हल (a) दी गई श्रेणी के लिए,
प्रश्न 2. समांतर श्रेढ़ी 3,1,-1-3… के लिए सार्वान्तर होगा
(a) 1
(b) 2
(c) -2
(d) 3
प्रश्न 3. अनुक्रम 13, 10, 7, 4, ….. समांतर श्रेढ़ी है?
(a) सत्य
(b) असत्य
(c) कह नही सकते
(d) इनमें से कोई नहीं
हल (a) सत्य, दिया गया अनुक्रम 13, 10, 7, 4, … है।
प्रश्न 4. समांतर श्रेढ़ी 4, 9, 14, ….. , 254 का अन्त से 10वाँ पद होगा
(a) 208
(b) 204
(c) 209
(d) 214
हल (c) दी गई श्रेढ़ी 4, 9, 14, …., 254 है
प्रश्न 5. समांतर श्रेढ़ी -62 -59, ……. , 7, 10 का ग्यारहवाँ पद होगा
(a) – 34
(b) – 32
(c) – 30
(d) – 28
हल (b) दी गई श्रेढ़ी -62, -59, …. , 7, 10 है।
प्रश्न 6. समांतर श्रेढ़ी (AP) 10, 7, 4, ….. का 20वाँ पद होगा
(a) – 47
(b) 47
(c) – 57
(d) 67
हल (a) दी गई श्रेढ़ी 10, 7, 4, …
प्रश्न 7. यदि समांतर श्रेढ़ी का 8वाँ पद 17 है तथा 14वाँ पद 29 है, तब समांतर श्रेढ़ी का सार्वान्तर ज्ञात कीजिए । (2023)
(a) 0
(b) 5
(c) 6
(d) 2
हल (d) माना श्रेढ़ी का प्रथम पद a और सार्वान्तर d है।
प्रश्न 8. यदि एक समांतर श्रेढ़ी का सार्वान्तर -4 तथा 10 वाँ पद -8, तो श्रेणी का प्रथम पद होगा
(a) – 40
(b) 20
(c) 28
(d) 36
प्रश्न 9. यदि किसी समांतर श्रेढ़ी का n वाँ पद 3n – 4 है, तब उसका 10 वाँ पद है
(a) 30
(b) 26
(c) 10
(d) 34
प्रश्न 11. अनुक्रम 3, 6, 9, 12, …… , 111 में पदों की संख्या ……. है।
(a) 30
(b) 35
(c) 37
(d) 40
हल (c) दिया गया अनुक्रम 3, 6, 9, 12, …, 111 है।
यहाँ, 6 – 3 = 9 – 6 = 12 – 9 = 3, अत: यह एक समांतर श्रेढ़ी है जिसका पहला पद, a = 3 तथा सार्वान्तर, d = 3
माना अनुक्रम में पदों की संख्या n है।
प्रश्न 12. किसी समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद 8 है, वाँ पद 33 है तथा प्रथम पदों का योगफल 123 है, तब d का मान है
(a) 5
(b) 8
(c) 9
(d) 6
प्रश्न 13. किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योगफल Sn = 6n + 7n2 है, तो समांतर श्रेढ़ी का वाँ पद ……. है।
(a) 14n – 1
(b) 14n + 1
(c) 10n + 2
(d) 10n – 2
प्रश्न 14. 0 और 500 के बीच 7 के सभी गुणांकों का योगफल है
(a) 16801
(b) 17892
(c) 18000
(d) इनमें से कोई नहीं
हल (b) अभीष्ट समांतर श्रेढ़ी 7, 14, 21, …, 497
खण्ड ब वर्णनात्मक प्रश्न
लघु उत्तरीय प्रश्न-I
प्रश्न 1. x के किस मान के लिए 2x, x + 8 तथा 3x + 1 समांतर श्रेढ़ी में होंगे?
हल दिया है, 2x, x + 8, 3x + 1 समांतर श्रेढ़ी में है ।
प्रश्न 2. एक समांतर श्रेढ़ी के प्रथम पद और सार्वान्तर क्रमशः 4 और -3 हैं। श्रेणी के प्रथम चार पद ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 3. समांतर श्रेढ़ी 6, 13, 20, …,., 216 का मध्य पद ज्ञात कीजिए।
हल दी गई समांतर श्रेढ़ी
प्रश्न 4. समांतर श्रेढ़ी 3, 8, 13, 18, …. का कौन-सा पद 78 है?
हल माना समांतर श्रेढ़ी का n वाँ पद = 78
प्रश्न 5. समांतर श्रेढ़ी 21, 18, 15, …. में कौन-सा पद – 81 है? क्या इस समांतर श्रेढ़ी का कोई पद शून्य है?
हल दी गई समांतर श्रेढ़ी 21, 18, 15, …. है ।
प्रश्न 6. किसी समांतर श्रेढ़ी का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
हल माना प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है।
प्रश्न 7. उस समांतर श्रेढ़ी का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
हल माना समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद a और सार्वान्तर d है।
प्रश्न 8. दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं?
हल दो अंकों वाली 3 से विभाज्य संख्याओं की श्रेणी
12, 15, 18, ……, 99
प्रश्न 9. समांतर श्रेढ़ी का चौथा पद शून्य है। सिद्ध कीजिए कि समांतर श्रेढ़ी का 25वाँ पद 11वें पद का तीन गुना होगा ।
हल माना समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है।
प्रश्न 10.2 और 100 के बीच सभी विषम पूर्णांकों, जो 3 से विभाज्य हैं, का योग ज्ञात कीजिए ।
हल 2 से 100 के बीच में 3 से विभाजित होने वाली विषम संख्याएँ
प्रश्न 11. 636 योगफल प्राप्त करने के लिए श्रेणी 9, 17, 25, … के कितने पद लेने चाहिए?
हल दिया है, a = 9 तथा d = 17 – 9 = 8,
प्रश्न 12. किसी समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्वान्तर ज्ञात कीजिए । (2020)
हल माना समांतर श्रेढ़ी का सार्वान्तर d और पदों की संख्या n है।
प्रश्न 13. 1 से 100 तक की सभी प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए
लघु उत्तरीय प्रश्न-II
प्रश्न 1. 207 को ऐसे तीन भागों में विभाजित कीजिए कि वे समांतर श्रेढ़ी हों और दो छोटे भागों का गुणनफल 4623 हो ।
प्रश्न 2. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?
हल हम जानते हैं कि 3 – अंकीय प्रथम संख्या 105 और अंतिम 994 है, जो 7 से विभाजित हैं। इस प्रकार, श्रेणी 105, 112, 119, …, 994 है।
प्रश्न 3. n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढ़ियों 63, 65, 67,… और 3, 10, 17, ….. के n वें पद बराबर होंगे?
हल प्रथम श्रेणी का प्रथम पद = 63, सार्वान्तर = 65 – 63 = 2
और द्वितीय श्रेणी का प्रथम पद = 3, सार्वान्तर = 10 – 3 = 7
प्रश्नानुसार, दोनों समांतर श्रेढ़ियों के n वें पद समान हैं।
प्रश्न 4. यदि किसी AP के पहले m पदों का योग n है तथा n पदों का योग m है तो (m + n) पदों का योगफल ज्ञात कीजिए ।
हल माना किसी AP का पहला पद a तथा सार्वान्तर d है, तब
प्रथम m पदो का योग
प्रश्न 5. उस समांतर श्रेढ़ी के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
हल दिया है समांतर श्रेढ़ी के दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 है।
प्रश्न 7. एक समांतर श्रेढ़ी में, a = 8, an = 62 और Sn = 210 दिया है, तब n और d के मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 8. किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्वान्तर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?
प्रश्न 9. एक आदमी ने ₹3250 का ऋण लिया। उसने पहले महीने ₹20 दिए, फिर वह प्रति माह ₹15 बढ़ाता गया, तो वह कितने माह में ऋण चुकता कर देगा?
प्रश्न 10. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए ।
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 1. यदि किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम 8 पदों का योगफल 64 और इसके प्रथम 17 पदों का योगफल 289 है, तो श्रेढ़ी का प्रथम पद एवं सार्वान्तर ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 2. संख्याओं की उस सूची के प्रथम 25 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए जिसका nवाँ पद an = 3 + 2n से दिया जाता है।
प्रश्न 3. 200 लट्ठों को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है कि सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लठ्ठे, इत्यादि ( आकृति देखिए) । ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?
हल लट्ठों को प्रत्येक पंक्ति में एक श्रेणी 20, 19, 18, 17, … के रूप में रखा गया है। स्पष्ट है कि यह समांतर श्रेढ़ी है।
अतः पंक्तियों की संख्या 16 और अंतिम पंक्ति में लट्ठों की संख्या 5 है।