UP Board Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज
UP Board Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज
फास्ट ट्रैक रिवीज़न
एक त्रिभुज, तीन रेखाखण्ड़ों से घिरी हुई समतलीय बन्द आकृति है जिसमें तीन भुजाएँ तथा तीन कोण होते हैं।
समरूप त्रिभुज
दो त्रिभुज समरूप ( Similar triangle) कहलाते हैं, यदि
(i) उनके संगत कोण समान हों।
(ii) उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों (अर्थात् संगत भुजाओं की लम्बाइयों का अनुपात समान हो)।
नोट (i) यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों, तो उन्हें समान कोणीय त्रिभुज कहते हैं।
(ii) दो समबाहु त्रिभुजों में संगत भुजाओं का अनुपात सदैव समान होता है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय
प्रमेय 1 यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं। ( इस प्रमेय को थेल्स प्रमेय भी कहते हैं)
प्रमेय 2 (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम ) यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।
त्रिभुज की समरूपता के लिए कसौटियाँ
दो त्रिभुजों की सर्वांगसमता के प्रतिबंध के लिए दोनों त्रिभुजों के संगत भागों के केवल तीन युग्म ही निहित होते हैं। त्रिभुज की समरूपता कसौटियाँ इस प्रकार हैं
1. कोण-कोण-कोण (AAA) समरूपता कसौटी
यदि दो त्रिभुजों में, संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएं एक ही अनुपात में (समानुपाती) होती हैं और इसलिए ये त्रिभुज समरूप होते हैं।
नोट यदि एक त्रिभुज के दो कोण किसी अन्य त्रिभुज के दो कोणों के क्रमश: बराबर हो, तो त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से, इसका तीसरा कोन भी बराबर होगा इसलिए इसे AA समरूपता कसौटी भी कहा जा सकता है।
2. भुजा – भुजा – भुजा (SSS) समरूपता कसौटी
यदि दो त्रिभुजों में एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती (अर्थात् एक ही अनुपात में) हों, तो इनके संगत कोण बराबर होते हैं और इसलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
नोट दो त्रिभुजों की समरूपता की स्थिति में यह आवश्यक नहीं है कि दोनों कसौटियों ( या प्रतिबंधों AAA तथा SSS) की जांच कीजिए, क्योंकि एक प्रतिबंध दूसरे प्रतिबंध को इंगित करता है।
3. भुजा – कोण – भुजा (SAS) समरूपता कसौटी
यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हैं, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
खण्ड अ वस्तुनिष्ठ प्रश्न
प्रश्न 1. दो त्रिभुज एक-दूसरे के समरूप होंगे
(a) यदि इनके संगत कोण बराबर हों
(b) यदि इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों।
(c) (a) और (b) दोनों
(d) इनमें से कोई नहीं
हल (c) दो त्रिभुज समरूप कहे जाते हैं यदि उनके संगत कोण बराबर तथा संगत भुजाएँ समानुपाती होती है।
प्रश्न 2. दो आकृतियाँ जिनके आकार समान हो परन्तु माप आवश्यक रूप से समान न हों, कहलाती हैं
(a) समान आकृतियाँ
(b) समरूप आकृतियाँ
(c) सममित आकृतियाँ
(d) सर्वांगसम आकृतियाँ
हल (b) समरूप आकृतियाँ
प्रश्न 3. दिए गए चित्र में, यदि ST || QP, QS = 3 सेमी, SR = 15 सेमी और PT = 28 सेमी है, तो TR का मान होगा
प्रश्न 4. दी गई आकृति में, ΔADB ~ ΔADC है, तब P का मान ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 5. चित्र में DE || BC, तो CE की माप होगी
हम जानते है कि यदि दो त्रिभुजों में दो भुजाएँ समानुपातिक तथा उनके मध्य कोण (या उन भुजाओं से बनने वाला कोण) बराबर हो, तब वे त्रिभुज समरुप होंगे।
अर्थात् यदि ∠B = ∠D, तब ΔABC तथा ΔDEF समरूप होगें।
प्रश्न 7. चित्र में समरूप त्रिभुजों का एक युग्म है। इन्हें सांकेतिक रूप व्यक्त करने का सही रूप होगा।
प्रश्न 8. चित्र में ΔMNL तथा ΔPQR में ∠M = ∠Q = 70°, MN = 3 सेमी, ML = 45 सेमी PQ = 2 सेमी तथा QR = 3 सेमी, तो निम्नलिखित में सही होगा।
प्रश्न 9. किसी समबाहु ΔABC में यदि AD ⊥ BC हो, तो AD2 बराबर होगा
प्रश्न 10. यदि ABC तथा XYZ दो समरूप त्रिभुज हैं तथा ∠A = 75° और ∠Y = 57° हो, तो ∠C का मान होगा
(a) 58°
(b) 48°
(c) 45°
(d) 54°
हल (b) दिया है, ΔABC तथा ΔXYZ समरूप त्रिभुज है।
प्रश्न 12. यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी हो, तो वह त्रिभुज होगा
(a) समकोण त्रिभुज
(b) न्यूनकोण त्रिभुज
(c) अधिकोण त्रिभुज
(d) त्रिभुज सम्भव नहीं
हल (a) त्रिभुज की भुजाएँ 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी हैं।
(बड़ी भुजा)2 = (5)2 = 25
शेष दो भुजाओं के वर्गों का योग = (3)2 + (4)2 = 9 + 16 = 25
= (बड़ी भुजा)2
∴ त्रिभुज समकोणीय है।
प्रश्न 13. चित्र में, ΔABC के आधार BC के समांतर रेखाखंड PQ खींचा गया है। यदि PQ : BC = 1 : 3 हो, तो AP और PB का अनुपात होगा
प्रश्न 14. दी गई आकृति में, ∠BAC = 90° तथा AD ⊥ BC है, तब
प्रश्न 15. चित्र में, AB = 3 सेमी, AC = 6 सेमी, BD = 2 सेमी और CD = 4 सेमी, तो ∠BAD और ∠CAD का अनुपात होगा
प्रश्न 16. ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC, तो
(a) ∠B > ∠C
(b) ∠B < ∠C
(c) ∠B = ∠C
(d) ∠B ≤ ∠C
हल (c) समद्विबाहु ΔABC में, AB = AC
प्रश्न 17. दिए गए चित्र में, यदि AD= (x + 3) सेमी, DB = (x + 19) सेमी, AE = x सेमी तथा EC = (3x + 4) सेमी और DE || BC, तो x का मान है
खण्ड ब वर्णनात्मक प्रश्न
लघु उत्तरीय प्रश्न-I
प्रश्न 2. चित्र में, यदि LM || CB और LN || CD हो, तो सिद्ध कीजिए कि
3. सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
हल माना ΔABC में, बिंदु D तथा E क्रमश: भुजा AB और AC के मध्य-बिंदु हैं।
अतः त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
इति सिद्धम्
प्रश्न 5. यदि कोई रेखा ABC त्रिभुज की भुजाओं AB तथा AC को क्रमशः D तथा E पर प्रतिच्छेद करें तथा भुजा BC के समांतर हो, तो सिद्ध कीजिए कि
प्रश्न 6. दी गई आकृति में, यदि ΔABE = ΔACD है, तो दर्शाइए कि ΔADE ~ ΔABC है।
प्रश्न 7. आकृति में, DE || OQ और DF || OR है । दर्शाइए कि EF || QR है।
प्रश्न 8. समांतर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि ΔABE ~ ΔCFB है।
हल समांतर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है।
लघु उत्तरीय प्रश्न-II
प्रश्न 1. समलंब चतुर्भज ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए दर्शाइए कि 
हल दिया है समलंब चतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
प्रश्न 2. निम्न चित्र में, ∠ACB = 90° तथा CD⊥ AB है। सिद्ध कीजिए कि
प्रश्न 3. यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए रेखा खींची जाए, तो सिद्ध कीजिए कि वह अन्य दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करता है।
अथवा
यदि कोई रेखा एक ΔABC की भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करें तथा भुजा BC के समान्तर हो तो सिद्ध कीजिए
हल दिया है ΔABC जिसमें एक रेखा DE, BC के समांतर AB को D पर तथा AC को E पर प्रतिच्छेद करती है अर्थात् DE || BC
रचना BE तथा CD को मिलाइए | EF ⊥ AB तथा DG ⊥ AC खींचिए
प्रश्न 5. ΔABC की भुजा AC पर बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ACB = ∠ABD, सिद्ध कीजिए ΔABC ~ ΔADB
हल दिया है ∠ABD = ∠ACB
सिद्ध करना है ΔABC ~ ΔADB
उपपत्ति ΔABD में,
प्रश्न 6. समकोण ΔABC में, कोण B समकोण है और BD, AC पर लंब है। सिद्ध कीजिए कि : AB2 = AC · AD
हल दिया है, ΔABC में,
प्रश्न 7. एक समबाहु ΔABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए |
हल दिया है, ΔABC एक समबाहु त्रिभुज है, जिसकी भुजा 2a है।
AD ⊥ BC खींचिए, जहाँ, AD शीर्षलंब है। [ रचना से]
ΔADB तथा ΔADC में,
प्रश्न 8. समरूप त्रिभुजों के गुणों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योगफल के बराबर होता है।
अथवा एक समकोण त्रिभुज में सिद्ध कीजिए कि कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योगफल के बराबर होता है।
हल दिया है, एक समकोण त्रिभुज, जिसमें कोण B समकोण (माना) है।
सिद्ध करना है AC2 = AB2 + BC2
प्रश्न 9. चित्र में, यदि AB ⊥ BC और DE ⊥ AC, तो सिद्ध कीजिए कि ΔABC ~ ΔAED
हल ΔABC तथा ΔAED में,
∠A = ∠A [उभयनिष्ठ]
∠AED = ∠ABC = 90°
∴ ΔABC ~ ΔAED [AA समरूपता कसौटी से] इति सिद्धम्
प्रश्न 10. दी गई आकृति में, PQ || BA तथा PR || CA है। यदि PD = 12 सेमी है, तब BD × CD ज्ञात कीजिए ।
हल दिया है, PD = 12 सेमी, PQ || BA तथा PR || CA है।
प्रश्न 11. चित्र में, यदि BD ⊥ AC तथा CE ⊥ AB है, तो सिद्ध कीजिए कि ΔAEC ~ ΔADB.
हल दिया है, BD ⊥ AC तथा CE ⊥ AB हैं।
ΔAEC तथा ΔADB में,
∠AEC = ∠ADB [प्रत्येक 90°]
∠CAE = ∠BAD [ उभयनिष्ठ ]
∴ ΔAEC ~ ΔADB [AA समरूपता प्रमेय से]
इति सिद्धम्
प्रश्न 12. चित्र में OA · OB = OC · OD है, तो सिद्ध कीजिए कि ∠A = ∠C तथा ∠B = ∠D हैं।
हल दिया है, OA · OB = OC · OD
13. चित्र में, ΔABC ~ ΔAPQ है। यदि BC = 8 सेमी, PQ = 4 सेमी, BA= 6.5 सेमी, AP= 2.8 सेमी हो, तो CA और AQ की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 1. एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अन्तर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो सिद्ध कीजिए कि दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
प्रश्न 2. एक ΔABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार है कि ∠ADC = ∠BAC है। सिद्ध कीजिए कि CA2 = CB × CD है।
हल
