UP Board Class 10 Maths Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति
UP Board Class 10 Maths Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति
फास्ट ट्रैक रिवीज़न
कार्तीय पद्धति
तल में किसी बिंदु की स्थिति की दर्शाने के लिए जिस पद्धति का प्रयोग किया जाता है, उसे कार्तीय निर्देशांक पद्धति (cartesian coordinate system) कहते हैं। इस पद्धति में दो परस्पर लंबवत् रेखाएँ XX’ एवं YY’ होती हैं, जो परस्पर एक-दूसरे को मूलबिंदु O(0, 0) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
यहाँ, क्षैतिज रेखा XOX’ को X- अक्ष तथा ऊर्ध्वाधर रेखा YOY’ को Y-अक्ष कहते हैं।
नोट (i) X- अक्ष के किसी बिंदु पर ( मूलबिन्दु को छोड़कर) लंबवत् कोई भी रेखा, Y- अक्ष के समांतर होती है।
(ii) Y-अक्ष के किसी बिंदु पर ( मूलबिन्दु को छोड़कर) लंबवत् कोई भी रेखा, X- अक्ष के समांतर होती है।
चतुर्थांश
X-अक्ष और Y-अक्ष का प्रतिच्छेद बिन्दु किसी समतल को चार भागों में विभाजित करता है। इन चारों भागों को चतुर्थांश (Quadrant) कहते हैं, जिन्हें OX से वामावर्त (Anti-clockwise) दिशा में क्रमशः प्रथम, द्वितीय, तृतीय और चतुर्थ चतुर्थांश कहते हैं।
कार्तीय तल में किसी बिंदु के निर्देशांक
(i) किसी बिंदु का x – निर्देशांक, Y-अक्ष से X- अक्ष की दिशा में मापी गई लंबवत् दूरी होती है। x-निर्देशांक को बिंदु का भुज भी कहते हैं।
(ii) किसी बिंदु का y-निर्देशांक, X- अक्ष से Y-अक्ष की दिशा में मापी गई लंबवत् दू होती है। y-निर्देशांक को बिंदु की कोटि भी कहते हैं।
कार्तीय तल में दो बिंदुओं के बीच की दूरी
संरेखीय बिंदु
यदि तीन बिंदु एक ही रेखा पर स्थित हों, तो वे बिन्दु संरेखीय बिंदु कहलाते हैं। यदि तीन बिंदु A, B तथा C संरेखीय हैं, तब तीनों बिंदुओं के संरेखीय होने का प्रतिबंध AB + BC = AC या AC + CB = AB या BA + AC = BC होता है अर्थात मध्य बिंदु द्वारा दो भागों में विभाजित दूरियों का योग दोनों बाह्य बिंदुओं के मध्य का दूरी के बराबर होना चाहिए।
विभाजन सूत्र
विभाजन सूत्र (Section formula) द्वारा उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात किये जाते है जोकि दिए गए रेखाखंड को दिए गए अनुपात (m1 : m1) में अंतः या बाह्य विभाजित करता है।
रेखाखंड का अंतः विभाजन
बिंदुओं P(x1, y1) और Q(x2, y2) को मिलाने वाले रेखाखंड को m1:m1 के अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु R के निर्देशांक निम्न हैं
नोट अंतः विभाजन में रेखाखंड को विभाजित करने वाला बिंदु रेखाखंड पर ही है, जबकि बाह्य विभाजन में वह बिंदु रेखाखंड के बाहर स्थित होता है।
रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक
यदि कोई बिंदु P, बिंदुओं A(x1, y1) और B(x2, y2) को मिलाने वाले रेखाखंड को 1 : 1 के अनुपात में अंत: विभाजित करता है, तब रेखाखंड के मध्य-बिंदु प्राप्त करते P के निर्देशांक निम्न हैं
खण्ड अ वस्तुनिष्ठ प्रश्न
प्रश्न 1. बिंदु (7, 3) की Y- अक्ष से दूरी होगी
(a) 3 इकाई
(b) 7/2 इकाई
(c) 7 इकाई
(d) 8 इकाई
हल (c) बिंदु (7, 3) की Y – अक्ष से दूरी = Y- अक्ष से X- अक्ष की दिशा में मापी गई. लंबवत दूरी = 7 इकाई
प्रश्न 2. बिंदु (5, 9) की Y-अक्ष से दूरी है
(a) 14 इकाई
(b) 9 इकाई
(c) 5 इकाई
(d) √106 इकाई
हल (c) बिंदु (5, 9) की Y – अक्ष से दूरी = x-निर्देशांक = 5 इकाई
प्रश्न 3. बिंदु (-3, 5) की Y-अक्ष से दूरी होगी
(a) – 3
(b) 2
(c) 5
(d) इनमें से कोई नहीं
हल (a) बिंदु (-3, 5) की Y-अक्ष से दूरी = x-निर्देशांक = – 3
प्रश्न 4. चित्र में बिंदु P निर्देशांक ….. होंगे
प्रश्न 5. दिए गए चित्र में बिंदु P के निर्देशांक होंगे
(a) (3, 2 )
(b) (- 3, 2)
(c) (- 3, – 2)
(d) (3, – 2)
हल (a) चित्र से, बिंदु P की Y- अक्ष से दूरी या x – निर्देशांक = – 3
बिंदु P की X- अक्ष से दूरी या y-निर्देशांक = – 2
अत: बिंदु P के निर्देशांक = (- 3, – 2)
प्रश्न 6. बिंदु (-3, – 4) की मूलबिंदु से दूरी होगी
(a) – 3 इकाई
(b) – 4 इकाई
(c) 5 इकाई
(d) 6 इकाई
हल (c) मूलबिंदु के निर्देशांक (0, 0) होतें हैं।
प्रश्न 7. बिंदुओं (a, b) और (b, – a) के बीच की दूरी होगी
प्रश्न 8. बिंदुओं (-1, -3) और (5, 2) के बीच की दूरी है
प्रश्न 9. दो बिंदुओं ( 2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी होगी
प्रश्न 10. बिंदु A ( – 4, 0), B (4, 0) और C (0, 3) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं। वह त्रिभुज होगा
(a) समकोण त्रिभुज
(b) समद्विबाहु त्रिभुज
(c) समबाहु त्रिभुज
(d) विषमबाहु त्रिभुज
हल (b) दिया है, A ( – 4,0), B (4, 0) और C (0, 3) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं।
प्रश्न 11. बिंदुओं (5, 0) और (- 12, 0) के बीच की दूरी 17 है।
(a) सत्य
(b) असत्य
(c) कह नही सकते
(d) इनमें से कोई नहीं
हल (a) सत्य, बिंदुओं ( 5, 0) और (- 12, 0) के बीच दूरी
प्रश्न 12.X-अक्ष पर एक बिंदु, जो बिंदु A (2, – 5) और B (- 2, 9) से समदूरस्थ है, का निर्देशांक होगा
(a) ( – 7., 0)
(b) (0, 7)
(c) (0, – 7 )
(d) (7, 0)
अथवा बिंदुओं A (2, – 5) और B ( – 2, 9) से समदूरस्थ X- अक्ष पर बिंदु होगा
(a) ( – 7, 0)
(b) (- 6,0)
(c) (- 2,0)
(d) (2, 0)
प्रश्न 13. Y- अक्ष पर एक बिंदु, जो बिंदुओं A (6, 5) और B ( – 4, 3) से समदूरस्थ है, का निर्देशांक होगा
(a) (0, 9)
(b) (0, – 9)
(c) (0, 5)
(d) (0, 3)
हल (a) माना Y – अक्ष पर बिंदु P (0, y) है।
प्रश्न 14. y का मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिंदु P (2, – 3) और Q (10, y) के बीच की दूरी 10 इकाई है।
अथवा बिंदु P (2,- 3) और Q (10, y) के बीच की दूरी 10 इकाई है। y का मान होगा
(a) – 3, 9
(b) – 9, 3
(c) 9, 3
(d) – 9, 2
प्रश्न 15.शीर्ष (0, 4), (0, 0) और (3, 0) वाले त्रिभुज का परिमाप होगा
(a) 5
(b) 11
(c) 12
(d) 7 + √5
हल (c) माना ABC एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष A (0, 4), B (0, 0) और C (3, 0) है।
प्रश्न 16. ΔABC के शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (7, 5), (5, 7) और (- 3, 3) है। यदि BC का मध्य-बिंदु D है, तो AD की माप होगी
(a) 4 इकाई
(b) 5 इकाई
(c) 6 इकाई
(d) 7 इकाई
हल (c)
प्रश्न 17. बिंदुओं (- 2,6) और ( – 2, 10) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक होंगे
(a) (-2,3)
(b) (-2,5)
(c) (-2,8)
(d) (0,2)
प्रश्न 19. यदि बिंदुओं (- 2, 2b) तथा (3a, 4) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक (2, 2a + 2) है, तब a व b के मान क्रमशः ……. हैं।
(a) 4, 2
(b) 2, 4
(c) 5, 3
(d) 3, 5
हल (b) दिया है, बिंदुओं ( – 2, 2b) तथा (3a, 4) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक (2, 2a + 2) है।
खण्ड ब वर्णनात्मक प्रश्न
लघु उत्तरीय प्रश्न-I
प्रश्न 1. कार्तीय तल में निम्नलिखित प्रत्येक बिंदु की स्थिति निर्धारित कीजिए
(i) (- 4, 0)
(ii) (0, 6)
(iii) (4, 0)
(iv) (0, – 8)
हल (i) (- 4, 0) यह ऋणात्मक X- अक्ष पर स्थित है।
(ii) (0, 6) यह Y – अक्ष पर स्थित है।
(iii) (4, 0) यह X- अक्ष पर स्थित है।
(iv) (0, – 8) यह ऋणात्मक Y-अक्ष पर स्थित है।
प्रश्न 2. बिन्दुओं A (2, 2) और B (3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखंड की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 3. क्या बिंदु A (3, 2), B ( – 2,- 3) और C(2, 3) एक त्रिभुज बनाते हैं? यदि हाँ, तो इस प्रकार बने त्रिभुज का प्रकार ज्ञात कीजिए।
हल माना दिए गए बिंदु, A (3, 2), B (- 2, – 3) और C (2, 3) हैं।
प्रश्न 4 y के वे मान ज्ञात कीजिए, जिनके लिए बिन्दुओं ( 5, – 3) और (13, y) के बीच की दूरी 10 इकाई है।
हल माना P = (5, – 3 ) = (x1, y1 )
प्रश्न 5. यदि बिन्दुओं (-1, -3) तथा (x, 9) के बीच की दूरी 13 इकाई है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 6, यदि बिंदु (x, y) बिंदुओं (3, 6) और ( – 3, 4) से समदूरस्थ हो, तो x और y में संबंध ज्ञात कीजिए।
हल माना बिंदु A (x, y), बिंदुओं B (3, 6) और C (- 3, 4) से समदूरस्थ है।
प्रश्न 7. बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2, – 3 ) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।
प्रश्न 8. वृत्त के व्यास AB के सिरे A ( – 2 – 7) तथा B (1, 11) हैं। वृत्त की त्रिज्या तथा केंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
हल दिया है, वृत्त के व्यास AB के सिरों के निर्देशांक A ( – 2, – 7) तथा B (1, 11) हैं तथा माना केंद्र P है।
तब वृत्त के केंद्र के निर्देशांक = व्यास AB के मध्य-बिंदु के निर्देशांक
प्रश्न 9. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं ( 4, – 3) तथा (8, 5) को जोड़ने वाले रेखाखंड को 3 : 1 के अनुपात के अंतः विभाजित करता है।
प्रश्न 10. बिंदुओं (- 3, 10) और (5, 4) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल दिया है, (-3, 10) = (x1, y1) तथा (5, 4) = (x2, y2)
∴ (x1, y1) और (x2, y2) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के
प्रश्न 11. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (- 1, 7) और (4, – 3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
प्रश्न 12. बिंदुओं (2, – 3) और (-4, 6) को मिलाने वाले रेखाखंड को 1: 2 के अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |
प्रश्न 13. यदि A (5, – 1), B ( – 3, – 2) तथा C (- 1, 8), ΔABC के शीर्ष हैं, तो शीर्ष A से जाने वाली माध्यिका की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल माना त्रिभुज की भुजा AB का मध्य-बिंदु D है, तो D के निर्देशांक निम्न है
प्रश्न 14. बिन्दुओं (1, – 5) और ( – 4, 5) को मिलाने वाले रेखाखंड को X- अक्ष द्वारा विभाजित करने वाले बिन्दु का निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल माना अभीष्ट अनुपात k : 1 है। तब, विभाजन सूत्र द्वारा, बिंदु A (1, – 5) तथा B ( – 4, 5) को मिलाने वाले रेखाखंड को k : 1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु M के निर्देशांक हैं
प्रश्न 15. बिंदुओं A ( – 2, 2) और B (2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |
हल माना बिंदु P, Q और R, रेखाखंड AB पर इस प्रकार हैं कि
AP = PQ = QR = RB
माना AP = PQ = QR = RB = k
लघु उत्तरीय प्रश्न-II
प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए कि बिंदु (0, – 1), (2, 1), (0, 3) तथा (- 2, 1) एक वर्ग के शीर्ष हैं।
यहाँ, चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाएँ परस्पर समान हैं तथा विकर्ण भी परस्पर समान हैं। अत: ABCD एक वर्ग है।
प्रश्न 2. (- 4, 6) बिंदुओं A (- 6, 10) और B (3, – 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को अनुपात में विभाजित करता है?
हल माना बिंदु P (- 4, 6), बिन्दुओं A ( – 6, 10) और B (3, – 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को k : 1 अनुपात में विभाजित करता है। तब, P के
अत: बिंदु P रेखाखंड AB को 2 : 7 के अनुपात में अंत: विभाजित करेगा।
प्रश्न 3. बिंदुओं ( 4, – 1) और (- 2, – 3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को समविभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
हल माना बिंदुओं A ( 4, – 1) और B ( – 2, – 3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को समत्रिभाजित करने वाले बिंदु P और Q हैं।
