UP Board Class 10 Maths Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
UP Board Class 10 Maths Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
फास्ट ट्रैक रिवीज़न
दृष्टि रेखा
जब कोई दर्शक या प्रेक्षक किसी वस्तु को देखता है, तो दर्शक की आँख को उस वस्तु से मिलाने वाली सरल रेखा, दृष्टि रेखा (Line of sight) कहलाती है।
क्षैतिज रेखा
वह रेखा, जो प्रेक्षक की आँख से सीधी भूमि के समांतर जाती है, क्षैतिज रेखा (Horizontal line) कहलाती है।
उन्नयन कोण
यदि कोई वस्तु दर्शक की आँख की क्षैतिज रेखा के ऊपर स्थित है, तो दर्शक को उस वस्तु को देखने के लिए अपने सिर को ऊपर उठाना पड़ता है। इस प्रक्रम में दर्शक की दृष्टि रेखा, क्षैतिज रेखा के साथ एक निश्चित कोण बनाती है जिसे वस्तु का उन्नयन कोण (Angle of elevation) कहते हैं। उन्नयन कोण को उन्नतांश अथवा उन्नति कोण भी कहते हैं।
अवनमन कोण
यदि कोई वस्तु दर्शक की आँख की क्षैतिज रेखा के नीचे स्थित है, तो दर्शक को उस वस्तु को देखने के लिए अपने सिर को नीचे झुकाना पड़ता है। इस प्रक्रम में भी दर्शक की दृष्टि रेखा, क्षैतिज रेखा के साथ एक निश्चित कोण बनाती है, जिसे वस्तु का अवनमन कोण (Angle of depression) कहते हैं। अवनमन कोण को अवनत कोण अथवा अवनति कोण भी कहते हैं।
उन्नयन कोण व अवनमन कोण में संबंध
बिंदु O से देखने पर बिंदु P का उन्नयन कोण सदैव बिंदु P से देखने पर बिंदु O के अवनमन कोण के बराबर होता है।
कुछ महत्त्वपूर्ण बिंदु
- यदि दर्शक एक निश्चित स्थिति से लंबवत् वस्तु (मीनार / स्तम्भ) की ओर चलता है, तो वस्तु के शीर्ष बिंदु से बने उन्नयन कोण का मान बढ़ता है। इसके विपरीत, यदि दर्शक वस्तु के विपरीत ओर अर्थात् वस्तु से दूर जाता है, तो उन्नयन कोण का मान घटता है।
- उन्नयन कोण एवं अवनमन कोण सदैव न्यून कोण होते हैं।
- यदि किसी मीनार के सापेक्ष सूर्य के उन्नयन या अवनमन कोण का मान घटता अथवा बढ़ता है, तो मीनार की छाया की लंबाई भी उसके अनुसार क्रमशः बढ़ती अथवा घटती है।
खण्ड अ वस्तुनिष्ठ प्रश्न
बहुविकल्पीय प्रश्न
प्रश्न 1. यदि समतल मैदान पर एक मीनार की छाया की लंबाई उसकी ऊँचाई की √3 है, तो सूर्य का उन्नयन कोण है
(a) 60°
(b) 45°
(c) 30°
(d) 90°
हल (c) माना मीनार की ऊँचाई h मी है तथा सूर्य का उन्नयन कोण θ है।
प्रश्नानुसार, छाया की लंबाई = √3h इकाई
प्रश्न 2. एक मीनार की चोटी का उन्नयन कोण उस मीनार के आधार से क्षैतिज तल पर 40 मी दूरी पर स्थित बिंदु से देखने पर 45° है।
मीनार की ऊँचाई …….. होगी
(a) 45 मी
(b) 60 मी
(c) 40 मी
(d) 50 मी
हल (c) चित्र में, माना AB एक मीनार है जिसकी ऊँचाई h मी है। मीनार के आधार B से 40 मी की दूरी पर स्थित बिंदु C से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण,
∠ACB = 45° है
प्रश्न 3. 1.5 मी लंबा एक प्रेक्षक एक चिमनी से 28.5 मी की दूरी पर है। उसकी आँखों से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। चिमनी की ऊँचाई 30 मी होगी।
(a) सत्य
(b) असत्य
(c) कह नहीं सकते
(d) इनमें से कोई नहीं
हल (a) सत्य, माना AB एक चिमनी है जिसकी ऊँचाई h मी है। चिमनी के आधार B से कुछ दूरी पर CD एक प्रेक्षक है जिसकी ऊँचाई 1.5 मी है इसकी आँख से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण, ∠ADE = 45° है।
प्रश्न 4. चित्र में, बिन्दु O का बिन्दुओं A तथा P से देखने पर अवनमन कोणों की माप होगी
(a) 30°, 45°
(b) 45°, 30°
(c) 45°, 60°
(d) इनमें से कोई नहीं
हल (b) A पर अवनमन कोण = ∠AOB = 45°
तथा P पर अवनमन कोण = ∠POQ = ∠Q – ∠OPQ
= 90° – 60° = 30°
प्रश्न 5. यदि मीनार की ऊँचाई एवं उसकी छाया की लंबाई समान हो, तो सूर्य का उन्नयन कोण ……. होगा
(a) 30°
(b) 60°
(c) 90°
(d) 45°
हल (d) माना AB एक मीनार है तथा BC उसकी छाया है।
दिया है, मीनार की ऊँचाई तथा छाया की लंबाई बराबर है।
अर्थात् AB = BC = x (माना )
माना सूर्य का उन्नयन कोण ∠ACB = θ
तब, समकोण ΔABC में,
खण्ड ब वर्णनात्मक प्रश्न
लघु उत्तरीय प्रश्न-I
प्रश्न 1. सर्कस का एक कलाकार एक 20 मी लंबी डोर पर चढ़ रहा है, जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बँधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो, तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल माना AB एक खंभा जिसकी ऊँचाई h तथा AC रस्सी है,
प्रश्न 2. एक मीनार की ऊँचाई 20 मी है। ज़मीन पर बनने वाली इसकी छाया की लंबाई 20√3 मी है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए ।
हल माना PQ एक मीनार तथा PR इसकी छाया है। सूर्य का उन्नयन कोण θ है।
प्रश्न 3. भूमि से 60 मी की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थाई रूप से भूमि के एक बिंदु से बाँध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए ।
हल माना AC पतंग की डोर है जिसकी लंबाई x मी है, जो पृथ्वी से BC = 60 मी ऊँचाई पर उड़ रही है और बिंदु A पर अस्थाई रूप से बाँध दिया गया है। पतंग की डोर भूमि के साथ 60° का कोण बनाती है।
अर्थात् AC = x मी, BC = 60 मी,
∠BAC = 60°
लघु उत्तरीय प्रश्न-II
प्रश्न 1. क्षैतिज तल पर स्थित एक मीनार की परछाई सूर्य का उन्नयन कोण 60° से बदलकर 30° होने पर 40 मी बढ़ जाती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |
अथवा क्षैतिज तल पर स्थित बिंदु से उसी तल पर खड़े एक ऊर्ध्वाधर मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। चलने पर उन्नयन कोण 60° हो जाता है। मीनार की ओर 40 मी मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल माना PQ एक मीनार है, जिसकी ऊँचाई h मी है तथा मीनार के आधार के बिन्दु Q से x दूरी पर कोई बिंदु A है, जिस पर सूर्य का उन्नयन कोण 60° तथा बिंदु B पर उन्नयन कोण 30° है।
अर्थात् PQ = h मी, AQ = x मी,
AB = 40 मी
समकोण ΔPAQ में,
प्रश्न 2. एक वृक्ष का ऊपरी भाग हवा से टूटकर पृथ्वी से 45° का कोण बनाता है। वृक्ष की जड़ से उस बिंदु की दूरी, जहाँ वृक्ष का शिखर भूमि को छूता है, 6 मी है। वृक्ष की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल माना AC एक वृक्ष है, जिसका AB भाग बिंदु B से टूटकर पृथ्वी के बिंदु D पर मिलता है तथा पृथ्वी के साथ 45° का कोण बनाता है। बिंदु D से वृक्ष के जड़ की दूरी 6 मी है।
तब, AB = DB = y, BC = x (माना )
तथा DC = 6 मी (दिया है)
अब, समकोण ΔBCD में,
प्रश्न 3. एक नाव एक पुल की ओर आ रही है। किसी क्षण पुल का उन्नयन कोण 30° देखा गया। नाव के उसी चाल से 4 मिनट चलने के पश्चात पुल का उन्नयन कोण 60° हो गया। ज्ञात कीजिए कि नाव को पुल तक पहुँचने में कितना और समय लगेगा?
हल माना P एक पुल पर कोई बिंदु है तथा पुल P के ठीक नीचे बिंदु Q है। अब, नाव की प्रथम स्थिति A से के बिन्दु P का उन्नयन पुल कोण 30° है।
अर्थात् ∠QAP = 30°
तथा 4 मिनट पश्चात् नाव की द्वितीय स्थिति B से पुल के बिंदु P का उन्नयन कोण 60° है अर्थात्
∠PBQ = 60°
प्रश्न 4. भूमि के एक बिंदु P से एक 10 मी ऊँचे भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। भवन के शिखर पर एक ध्वज को लहराया गया है और P से ध्वज के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। ध्वजदंड की लंबाई और बिंदु P से भवन की दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल माना BC एक भवन है, जिस पर एक ध्वज AB लहराया गया है। जमीन पर स्थित बिंदु P से बिन्दु A व B के उन्नयन कोण क्रमश: 45° व 30° हैं।
अर्थात् ∠APC = 45°, ∠BPC = 30°
तथा BC = 10 मी
पुनः माना ध्वज की ऊँचाई, AB = h मी
तथा CP = x मी
समकोण ΔBCP में,
प्रश्न 5. 60 मी ऊँची एक मीनार की चोटी से एक मकान की छत तथा आधार के अवनमन कोण क्रमशः 45° तथा 60° हैं। उस मकान की ऊँचाई तथा मीनार से उसकी दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल माना AB एक मीनार तथा CD एक मकान है, मकान की ऊँचाई h है। मकान और मीनार के बीच की दूरी x मी है।
प्रश्न 6. एक हवाई जहाज, जोकि 1000 मी की ऊँचाई पर उड़ रहा है, पर स्थित मनुष्य उत्तर की ओर शत्रु की एक पनडुब्बी को 30° के अवनमन कोण पर तथा दक्षिण की ओर एक युद्धपोत को 45° के अवनमन कोण पर देखता है। पनडुब्बी और युद्धपोत के बीच की ज्ञात कीजिए |
हल माना कि A हवाई जहाज है, जो जमीन से 1000 मी की ऊँचाई पर उड़ रहा है अर्थात् AD = 1000 मी है। A पर स्थित मनुष्य से B पर (जो उत्तर दिशा में है) एक पनडुब्बी है जिसका अवनमन कोण 30° है अर्थात् ∠MAB = 30° तथा C पर (जो दक्षिण दिशा में है) एक युद्धपोत है, जिसका अवनमन कोण 45° है
अर्थात् ∠M’AC = 45°
तब, ∠ABD = ∠MAB = 30° तथा ∠ACD = ∠M’AC = 45°
[एकांतर कोण]
प्रश्नं 7. किसी मीनार के आधार से एक ही सरल रेखा में a तथा b दूरी पर स्थित दो बिंदुओं A तथा B से देखने पर मीनार के शिखर के उन्नयन कोण एक दूसरे के कोटिपूरक हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई √ab है। यदि a = 18 मी तथा b = 32 मी है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल माना PQ एक मीनार है जिसकी ऊँचाई h मी है। मीनार के आधार Q से एक तरफ a मी की दूरी पर स्थित बिंदु A तथा दूसरी तरफ b मी की दूरी पर स्थित बिंदु B है।
यदि बिंदु A से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण θ हो, तो B से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण ( 90° – θ) होगा, क्योंकि कोटिपूरक कोणों का योग 90° होता है।
प्रश्न .8. समुद्र तल से 75 मी ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे होतो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल समुद्र तल AC से लाइट हाउस की ऊँचाई CD = 75 मी है। माना समुद्र तल पर दो जहाजों की स्थिति A व B हैं।
माना दो जहाजों A व B के बीच की दूरी AB = y मी है। लाइट हाउस के शिखर D से दोनों जहाजों के अवनमन कोण क्रमश: ∠ODA = 30° तथा ∠ODB = 45° हैं।
प्रश्न 9. सड़क के एक ओर स्थित एक मकान के सड़क के दूसरी ओर स्थित मीनार के शिखर से मकान की छत और आधार के अवनमन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। यदि मकान की ऊँचाई 10 मी है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल माना BQ = x मी सड़क की चौड़ाई है।
जिसके एक ओर स्थित मकान AB = 10 मी है तथा दूसरी ओर PQ एक मीनार है, जिसकी ऊँचाई h (माना) है।
मकान के आधार B का मीनार के शिखर P से अवनमन कोण 60° है
अर्थात् ∠TPB = 60°
प्रश्न 10. एक प्रकाश स्तम्भ के शिखर से देखने पर समुद्र में दो जहाजों के अवनमन कोण क्रमश: 30° तथा 45° हैं। यदि प्रकाश स्तम्भ के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे 50 मी की दूरी पर है, तो समुद्र तल से प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |
हल माना प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई h मी है तथा समुद्र में दो जहाजों की स्थिति A व B हैं। A से B की दूरी 50 मी तथा माना BC = x मी है।
अब, समकोण ΔACD में,
प्रश्न 11. एक चिड़िया 80 मी ऊँचे पेड़ पर बैठी है। पृथ्वी के तल में किसी बिंदु से चिड़िया का उन्नयन कोण 45° है। चिड़िया क्षैतिज दिशा में इस प्रकार उड़ती है कि उसकी पृथ्वी तल से ऊँचाई समान रहती है।
2 सेकंड बाद उसी बिंदु से चिड़िया का उन्नयन कोण 30° हो जाता है। चिड़िया के उड़ने की चाल ज्ञात कीजिए ।
हल माना AB पेड़ के बिन्दु B पर चिड़िया बैठी है तथा पृथ्वी के तल पर बिन्दु C से चिड़िया का उन्नयन कोण 45° है और बिन्दु E पर चिड़िया का उन्नयन कोण 30° हो जाता है।
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 1. एक मन्दिर की ऊँचाई 15 मी है । मन्दिर के शीर्ष से सड़क के दूसरी ओर बने भवन के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° तथा भवन के पाद का अवनमन कोण 45° है। सिद्ध कीजिए कि भवन की ऊँचाई 5(3 + √3) मी है। (2024, 23)
हल माना CD भवन की ऊँचाई h है तथा AB मन्दिर है।
∴ CD = h तथा AB = 15 मी,
DE = h – 15
प्रश्न 2. एक 80 मी चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान ऊँचाई वाले दो खम्भे लगे हुए हैं। इन दोनों खम्भों के बीच सड़क के एक बिन्दु से खम्भों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° हैं। खम्भों की ऊँचाई और खम्भों से बिन्दु की दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल माना खंभों की ऊँचाई, AE = BD = h मी है। दोनों खंभे सड़क के दोनों ओर लगे हुए हैं तथा सड़क की चौड़ाई, AB = 80 मी है। सड़क के मध्य स्थित एक बिंदु C से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः ∠ACE = 30° तथा ∠BCD = 60° हैं।
अतः खंभों की ऊँचाई 20√3 मी तथा खंभों से बिंदु की दूरी क्रमश 60 मी और 20 मी हैं।
प्रश्न 3. एक भवन के शीर्ष से एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60 है। भवन के शीर्ष से, मीनार के पाद का अवनमन कोण 45° है। यदि मीनार की ऊँचाई 40 मी है, तो सिद्ध कीजिए कि भवन की ऊँचाई 20 (√3 – 1) मी है।
हल माना AB भवन की ऊँचाई h है तथा CD मीनार है
AB = h तथा CD = 40 मी, DE = (40 – h) मी
प्रश्न 4. एक मीनार के ऊपर एक झंडा लगा है। मीनार के आधार से 10 मी की दूरी पर मीनार तथा झंडे के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। झंडे की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल माना BC मीनार तथा AB झंडा है जिसकी ऊँचाई h मी है।
यहाँ, CD = 10 मी
ΔBCD में,
प्रश्न 5. एक बहुमजिले भवन के शिखर से देखने पर एक 10 मी ऊँचे भवन के शिखर और तल के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैबहुमजिले भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल माना AB एक बहुमजिले भवन है तथा CD दूसरा भवन है। बहुमजिले भवन की ऊँचाई h मी तथा दोनों भवनों के बीच की दूरी x मी है।
प्रश्न 6. 7 मी ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° ओर इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। केबल टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल माना केबल टॉवर की ऊँचाई, BC = h मी तथा AD = 7 मी ऊँचे भवन के शिखर से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° और पाद का अवनमन कोण 45° है बिंदु D से, DE ⊥ BC खींची।
प्रश्न 7. जब सूर्य का उन्नयन कोण Φ से θ हो जाता है, तो क्षैतिज तल में खड़े एक स्तम्भ की छाया a मी अधिक हो जाती है। स्तम्भ की लंबाई ज्ञात कीजिए | (2024, 23)
हल माना AB एक स्तम्भ है जिसकी लंबाई h है।
प्रश्न 8. भूमि पर स्थित बिंदु X से ऊर्ध्वाधर स्थित मीनार PQ के शीर्ष Q का उन्नयन कोण 60° है। बिंदु X से 40 मी ऊँचाई पर स्थित बिंदु Y से शीर्ष Q का उन्नयन कोण 45° है। मीनार PQ की ऊँचाई तथा दूरी PX ज्ञात कीजिए |
हल दिया है, XY = 40 मी, ∠QXP = 60° तथा ∠QYZ = 45°
प्रश्न 9. एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है, जोकि मीनार के पाद की ओर एकसमान चाल से जाता है। 6 सेकंड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
हल माना ABC एक राजमार्ग है, जो मीनार CD के पाद C तक जाता है, जिसकी ऊँचाई h है। बिंदु A पर मीनार के शीर्ष का अवनमन कोण 30° है जो मीनार की ओर चलने पर 6 सेकंड बाद बिंदु B पर 60° हो जाता है
