WBBSE 10th Class Math Solutions Chapter 3 বৃত্তস্থ সম্পর্কিত উপপাদ্য
West Bengal Board 10th Class Math Solutions Chapter 3 বৃত্তস্থ সম্পর্কিত উপপাদ্য
West Bengal Board 10th Math Solutions
কযে দেখি 3.1
1. পাশের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ছবি দেখি এবং কোন কোন ব্যাসার্ধ PAQ বৃত্তাংশে অবস্থিত লিখি।
উত্তর। AO, CO, PO, QO
2. নীচের [ ] -এ বুঝে লিখি :
(i) একটি বৃত্তে অসংখ্য বিন্দু আছে।
(ii) বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা ব্যাস।
(iii) জ্যা বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে দুটি বৃত্তাংশে বিভক্ত করে।
(iv) বৃত্তের সকল ব্যাস কেন্দ্র বিন্দুগামী।
(v) দুটি বৃত্তাংশ সমান হলে তাদের বৃত্তচাপ দুটির দৈর্ঘ্য সমান হবে।
(vi) একটি বৃত্তকার ক্ষেত্রের বৃত্তকলা হলো বৃত্তচাপ এবং দুটি ব্যাসার্ধ এর দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চল।
(vii) বৃত্তের বাইরের কোনো বিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বড়ো |
3. স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে একটি বৃত্ত এঁকে কেন্দ্র, জ্যা, ব্যাস, ব্যাসার্ধ, উপচাপ, অধিচাপ নির্দেশ করি।
4. সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) বৃত্ত একটি সামতলিক চিত্র। উত্তর। সত্য
(ii) বৃত্তাংশ (segment) একটি সামতলিক ক্ষেত্র। উত্তর। সত্য
(iii) বৃত্তকলা (sector) একটি সামতলিক ক্ষেত্র। উত্তর। সত্য
(iv) জ্যা একটি সরলরেখাংশ। উত্তর। সত্য
(v) চাপ একটি সরলরেখাংশ। উত্তর। মিথ্যা
(vi) একটি বৃত্তে সসীম সংখ্যক একই দৈর্ঘ্যের জ্যা আছে। উত্তর। মিথ্যা
(vii) একটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত আঁকা সম্ভব। উত্তর। মিথ্যা
(viii) দুটি সর্বসম বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান। উত্তর। সত্য
একইভাবে সরলরেখাংশ [A] বিন্দুতে [AB] উৎপন্ন করেছে। ∠BAC, BC-এর দ্বারা [A] বিন্দুতে উৎপন্ন সম্মুখ কোণ এবং CA সরলরেখাংশ [B] বিন্দুতে [ABC] উৎপন্ন করেছে। ∠ABC, AC-এর দ্বারা B বিন্দুতে উৎপন্ন |সম্মুখ| কোণ। আমার বন্ধু পূজা এক মজার কাণ্ড করল। সে কতকগুলি কাঠি একটি বৃত্তাকার রিং-এও ২-এর মধ্যে পাশের চিত্রের মতো আটকে দিল।
দেখছি, বৃত্তকার চাবির রিং-এ AB জ্যা বৃত্তের C বিন্দুতে সম্মুখ কোণ ∠ACB এবং AB জ্যা বৃত্তের D বিন্দুতে সম্মুখ কোণ [∠ADB] উৎপন্ন করেছে।
কিন্তু ∠ACB ≠ ∠ADB [= / ≠ বসাই]
O কেন্দ্রীয় বৃত্তে দুটি জ্যা AB ও CD এঁকেছি। যেখানে AB > CD ; জ্যা AB ও জ্যা CD কেন্দ্রে যথাক্রমে ∠AOB ও ∠COD দুটি সম্মুখ কোণ উলপন্ন করেছে, চাঁদা দিয়ে মেপে দেখছি AOB > COD [> / < বসাই]। কিন্তু আমি যদি কোনো একটি বৃত্তে সমান সমান দৈর্ঘ্যের কতকগুলি জ্যা আঁকি, তারা কেন্দ্রে সমান সমান সম্মুখ কোণ উৎপন্ন করবে কিনা তা এঁকে ও চাঁদার সাহায্যে মেপে দেখি।
আমি O কেন্দ্রীয় বৃত্তে দুটি সমান সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা AB ও CD এঁকেছি যারা কেন্দ্রে যথাক্রমে ∠AOB ও ∠COD সম্মুখ কোণ উৎপন্ন করেছে।
চাঁদা দিয়ে মেপে দেখছি, ∠AOB = ∠COD [ = বসাই]।
রাবেয়া তার খাতায় অনেকগুলি সর্বসম বৃত্ত এঁকেছে। অর্থাৎ বৃত্তগুলির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য [সমান] (সমান / অসমান) রাবেয়া আঁকা সমান বৃত্তে সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা এঁকে কী পাই দেখি?
O কেন্দ্রীয়, X কেন্দ্রীয় ও Y কেন্দ্রীয় সর্বসম বৃত্তগুলিতে যথাক্রমে AB, PQ ও RS সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা দ্বারা কেন্দ্রে উলপন্ন সম্মুখ কোণগুলি মেপে দেখছি, ∠AOB [=] ∠PXQ [=] ∠RYS [ = / ≠ বসাই]
A ও B বিন্দুতে এবং C ও D বিন্দুতে সুতো আটকে বা কাঠি দিয়ে AB ও CD-র দূরত্ব মেপে দেখছি, AB = CD [ = / ≠ বসাই]
∴ হাতেকলমে দেখছি, বৃত্তের একাধিক জ্যা কেন্দ্রে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করলে জ্যাগুলির দৈর্ঘ্য সমান হয়। আমি অন্য যে-কোনো ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত আঁকি এবং ওই বৃত্তে এমন একাধিক জ্যা আঁকি যারা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করেছে। এবার স্কেলের সাহায্যে মেপে দেখছি জ্যাগুলির দৈর্ঘ্য পরস্পর [সমান]। নিজে মেপে লিখি)
∴ পেলাম, কোণ বৃক্তে যে সকল জ্যা কেন্দ্রে সমান সম্মুখ কোণ উৎপন্ন করে তাদের দৈর্ঘ্য সমান।
∴ তীর্থ তার খাতায় অনেকগুলি বৃত্ত এঁকেছে যাদের কেন্দ্র P, Q ও R ; আমি তীর্থের আঁকা বৃত্তে কতকগুলি জ্যা AB, CD ও EF আঁকলাম যারা কেন্দ্রে সমান সম্মুখ কোণ উৎপন্ন করেছে অর্থাৎ ∠APB = ∠CQD = ∠ERF.
স্কেলের সাহায্যে মেপে দেখছি, AB = CD = EF [ = / ≠ বসাই] [নিজে এঁকে ও মেপে বসাই ]
∴ পেলাম, সমান বৃত্তের যে সকল জ্যা কেন্দ্রে সমান সম্মুখ কোণ উৎপন্ন করে তাদের দৈর্ঘ্য সমান।
যেহেতু দৈর্ঘ্য সমান সুতরাং তাদের দ্বারা ছিন্ন চাপের দৈর্ঘ্যও সমান (সামন / অসমান)। =
কয়ে দেখি 3.2
1. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং AB একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ৪ সেমি.। O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব হিসাব করে লিখি।
2. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 26 সেমি.। O বিন্দু থেকে PQ জ্যা-এর দূরত্ব 5 সেমি.। PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
3. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি. এবং O বিন্দু থেকে PQ-এর দূরত্ব 2.1 সেমি.। বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
4. O কেন্দ্রীয় বৃত্তে 6 সেমি. ও ৪ সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি জ্যা। যদি ছোটো দৈর্ঘ্যের জ্যাটির বৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 4 সেমি. হয়, তাহলে অপর জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব কত তা হিসাব করে লিখি।
5. যদি কোনো বৃত্তে একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 48 সেমি. এবং কেন্দ্র থেকে ওই জ্যা-এর দূরত্ব 7 সেমি. হয়, তবে ওই বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব 20 সেমি., সেই জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত হবে তা হিসাব করে লিখি।
6. পাশের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ছবিতে OP AB; AB=6 সেমি. এবং PC=2 সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
7. একটি সরলরেখা দুটি এককেন্দ্রীয় বত্তের একটিকে A ও B বিন্দুতে এবং অপরটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে AB = DB.
৪. প্রমাণ করি, কোনো বৃত্তের দুটি পরস্পরচ্ছেদী জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে পারে না, যদি না উভয়েই বৃত্তের ব্যাস হয়।
9. X ও Y কেন্দ্রীবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। XY-এর মধ্যবিন্দু S-এর সঙ্গে A বিন্দু যুক্ত করলাম এবং A বিন্দু দিয়ে SA-এর উপর লম্ব অঙ্কন করলাম যা বৃত্ত দুটিকে, P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে PA = AQ.
10. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের 10 সেমি. ও 24 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি সমন্তরাল জ্যা AB এবং CD কেন্দ্রের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। যদি AB ও CD-জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব 17 সেমি. হয়, তবে হিসাব করে বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য লিখি।
উত্তর সংকেত : ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি. এবং বৃত্তের কেন্দ্র থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব x সেমি.। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে CD জ্যা-রে দূরত্ব (17 – x) সেমি.। ∴ r2 = x2+52 এবং r2 =(17 – x)2 + (12)2 সুতরাং, x2 + 52 (17 – x)2 = 122 ∴ x = 12.
11. দুটি বৃত্তের কেন্দ্র P এবং Q; বৃত্ত দুটি A এবং B বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু দিয়ে PQ সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, CD = 2PQ.
12. একটি বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুটি সমান। প্রমাণ করি যে, ZBAC-এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
13. একটি বৃত্তের দুটি পরস্পরচ্ছেদী জ্যা-এর অন্তর্ভূত কোমের সমদ্বিখণ্ডক যদি কেন্দ্রগামী হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি সমান।
14. প্রমাণ করি, একটি বৃত্তে দুটি জ্যা-এর মধ্যে যে জ্যাটি কেন্দ্রের নিকটবর্তী সেটির দৈর্ঘ্য অপর জ্যাটির দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
15. একটি বৃত্তের ভিতর যে-কোনো বিন্দু দিয়ে ক্ষুদ্রতম জ্যা কোনটি হবে তা প্রমাণ করে লিখি।
কষে দেখি 3.2
7. মনে করি দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র O। যে সরলরেখাটি একটি বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে সেই সরলরেখাটি অপর বৃত্তকে C এবং D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
সুতারং AB এবং CD একই সরলরেখা। উহা বৃত্ত দুটির জ্যা।
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ওই সরলরেখার ওপর OE লম্ব টানা হল।
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যার ওপর লম্ব টানলে জ্যাটি সমান দুভাগে বিভক্ত হয়।
∴ AE = EB এবং CE = ED
∴ AC = AE – CE = EB – ED = BD (প্রমাণিত)
৪. মনে করি বৃত্তের কেন্দ্র O, ব্যাস নয় এমন দুটি জ্যা AB এবং CD পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
AB জ্যার ওপর OM এবং CD জ্যার ওপর ON লম্ব টানা হল
OM ⊥ AB ∴ AM = BM
[¨.¨ কেন্দ্র থেকে জ্যার ওপর লম্ব দূরত্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]
প্রশ্নানুসারে জ্যা দুটি যদি পরস্পর সমদ্বিখণ্ডিত হত তবে AP = BP হত,
অর্থাৎ P বিন্দু এবং M বিন্দু একই হত।
ĀP = ≠ ĀM ≠ PM
একইভাবে ON ⊥ CD ∴ CN = ND
কিন্তু প্রশ্নানুসারে যদি সম্ভব হত তবে CP = DN হত
সেক্ষেত্রে P বিন্দুটি N বিন্দুতে হত, CP = CN হত
কিন্তু CP ≠ CN ≠ DN
∴ ব্যাস নয় এমন দুটি জ্যা পরস্পর সমদ্বিখণ্ডিত হতে পারে না।
এখন জ্যা দুটি বৃত্তের ব্যাস হলে মনেকরি O বিন্দুতে ছেদ করল
∴ বৃত্তের ব্যাস সুতারাং উহার কেন্দ্রবিন্দুগামী এবং কেন্দ্র O তে ছেদ করবে।
ব্যাসার্ধ r = AO = BO = CD = DO
∴ জ্যা দুটি ব্যাস হলে উহারা পরস্পর সমদ্বিখণ্ডিত হবে।
9. উত্তর : X ও Y কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পর A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। XY-এর মধ্যবিন্দু S। SA যুক্ত করা হল। SA-এর উপর A বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, PA = AQ.
অঙ্কন : X ও Y বিন্দু থেকে PQ-এর উপর যথাক্রমে XM ও YN লম্ব চানা হল। XN যোগ করা হল।
11. P ও Q কেন্দ্রিয় বৃত্ত দুটি A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। P ও Q যোগ করা হল। A বিন্দু দিয়ে PQ সরল রেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা CD টানা হল।
প্রমাণ করতে হবে CD = 2PQ
অঙ্কন : P বিন্দু থেকে CD সরলরেখার ওপর PM লম্ব এবং Q বিন্দু থেকে CD সরলরেখার ওপর QN লম্ব টানা হল।
প্রমাণ : PQ || CD, MN রেখাংশ CD সরলরেখার অংশ
∴ PQ || MN
PM ⊥ CDR QM ⊥ CD
∴ PQNM একটি আয়তক্ষেত্র
∴ বাহু PQ = MN = MA + AN = CM + DN [∴ কেন্দ্র থেকে লম্ব দূরত্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]
∴ PQ = MA + AN
PQ = CM + DN
∴ CD = CM + MA + AN + DN = (CM + DN) + (MA + AN)
= PQ + PQ = 2PQ (প্রমাণিত)
12. মনে করি O কেন্দ্রীয় বৃত্তের জ্যা AB = AC জ্যা
∠BAC দ্বিখণ্ডক AP
প্রমাণ করতে হবে ∠BAC-এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
∠BAC-কে সমান দুভাগে ভাগ করলে যে সরলরেখা হবে অর্থাৎ AP সরলরেখাটি O বিন্দু দিয়ে যাবে।
অঙ্কন : এখন BC যোগ করলাম। BC-এর সমান্তরাল MN রেখা O বিন্দু দিয়ে টানলাম।
∴ ΔACP এবং ΔABP এর ∠CAP = ∠BAP
প্রশ্নানুসারে ĀC = ĀB_এবং
AP সাধারণ বাহু।
∴ ত্রিভুজ দুটি সর্বসম অর্থাৎ ΔACP ≅ ΔAPB
∴ CP = BP ∠APC = ∠APB কোণ দুটি একই সরলরেখার ওপর পরস্পর বিপরীত দিকে অবস্থিত বলে 180° কোণকে সমান দুভাগ করেছে।
∴ ∠APB = 90° এবং ∠APC = 90°
∴ AP ⊥ BC
অঙ্কন অনুসারে BC || MN এবং CP = BP
∴ OM = ON এবং ∠AOM = ∠AON = 90°
∴ BC জ্যা এর সমান্তরাল যত সংখ্যক সরলরেখা বৃত্তের মধ্যে টানা হবে তাদের সবাইকে AP সরলরেখা সমান দুভাগে ভাগ করবে এবং তাদের ওপর লম্ব হবে।
সুতরাং AP সরলরেখাটি কেন্দ্র বিন্দুগামী।
13. প্রদত্ত: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও AC দুটি জ্যা A বিন্দুতে ছেদ করেছে। m∠OAB = m∠OAC
প্রমাণ করতে হবে যে AB = AC
অঙ্কন: O, B; O, C যুক্ত করলাম।
প্রমাণ : ΔABO ও ΔACO থেকে পাই,
15. বৃত্তের অন্তঃস্থ কোন বিন্দু A দিয়ে অতি ক্ষুদ্রকম জ্যা হবে সেটি যা ঐ বিন্দু অঙ্কিত ব্যাসের উপর লম্ব। প্রমাণ : ধরি Oকেন্দ্রীয় বৃত্তের ভেতরে A যে কোন একটি বিন্দু। A বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত BC জ্যাটি OA এর সাথে লম্ব। বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত অপর যে কোন একটি জ্যা DE টানলাম যা OA এর উপর লম্ব নয়।
The Complete Educational Website