WBBSE 9th Class Math Solutions Chapter 6 সামান্তরিকের ধর্ম
WBBSE 9th Class Math Solutions Chapter 6 সামান্তরিকের ধর্ম
West Bengal Board 9th Class Math Solutions Chapter 6 সামান্তরিকের ধর্ম
West Bengal Board 9th Math Solutions
কযে দেখি 6
1. প্রমাণ করি যে, একটি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হলে, সামান্তরিকটি একটি আয়তক্ষেত্র।
প্রদত্ত : ABCD একটি সামান্তরিক যার কর্ণদ্বয় AC ও BD ; এবং AC = BD।
প্রমাণ করতে হবে যে ABCD একটি আয়তক্ষেত্র।
প্রমাণ : আমরা জানি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অর্থাৎ AO = OC এবং BO = OD |
আবার যেহেতু AC = BD
∴ AO = OC = OB = OD
এখন ΔOAB হতে পাই, OA = OB
∠OAB = ∠OBA
অনুরূপে ∠OAD = ∠ODA
একই ভাবে লিখতে পারি ∠OAB = ∠OBA = ∠OBC = ∠OCB
= ∠OCD = ∠ODC = ∠ODA
আবার আমরা জানি, ∠DAB + ∠ABC = 180°
∴ 2∠DAB = 180°
∴ ∠DAB = 90°
∴ ABCD একটি আয়তক্ষেত্র। (প্রমাণিত)
2. প্রমাণ করি যে, একটি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হলে এবং কর্ণদ্বয় পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করলে সামান্তরিকটি একটি বর্গাকার চিত্র হবে।
প্রদত্ত : ABCD একটি সামান্তরিক যার কর্ণদ্বয় AC ও BD পরস্পর সমান। অর্থাৎ AC = BD
এবং ∠AOB = ∠COD = ∠COB = ∠DOA = 90°
প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি বর্গক্ষেত্র।
প্রমাণ : ΔOAB ও ΔOAD এর
∠AOB = ∠AOD = 90°
OA সাধারণ বাহু।
এবং OD = OB
∴ ΔOAB = ΔOAD
∴ AD = AB
অনুরূপে প্রমাণ করা যায়, AB = BC এবং BC = CD এবং CD = DA
∴ ABCD সামান্তরিকের AB = BC = CD = DA
আবার যেহেতু OA = OB ;
∴ ∠OAB = ∠OBA
অনুরূপে, ∠OAD = ∠ODA
আবার, ∠DAB + ∠ABC = 180°
∴ 2∠DAB = 180°
∴ 2∠DAB = 90°
∴ ABCD সামান্তরিকটি একটি বর্গক্ষেত্র।
3. সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করলে সামান্তরিকটি একটি রম্বস।
প্রদত্ত : ABCD একটি সামান্তরিক যার কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে লম্বভাবে ছেদ করেছে।
অর্থাৎ ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠AOD = 90°
প্রমাণ : আমরা জানি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অর্থাৎ AO = OC এবং BO = OD
এখন ΔOAD ও ΔOAB এর,
OD = OB [প্রদত্ত]
OA সাধারণ বাহু
∠AOD = ∠AOB [প্রদত্ত]
∴ ΔOAD ≅ ΔOAB
∴ AD = AB [অনুরূপ বাহু]
অনুরূপে, AB = BC এবং BC = CD এবং CD = DA
∴ AB = BC = CD = DA
∴ ABCD একটি রম্বস।
4. ABCD সামান্তরিকের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। O বিন্দুগামী যেকোনো সরলরেখা AB ও DC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে OP = OQ
ধরাযাক ABCD সামান্তরিকের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
O বিন্দুগামী কোনো সরলরেখা AB ও DC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, OP = OQ
প্রমাণ : ΔAPO ও ΔCOQ এর
∠OAP একান্তর ∠OCQ [‘·’ AB || CD এবং AC ছেদক]
AO = OC [‘·’ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]
∠AOP = বিপ্রতীপ ∠COQ
∴ ΔAPO ≅ ΔCOQ
∴ OQ = OP [অনুরূপবাহু] (প্রমাণিত)
5. প্রমাণ কর যে, একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়মের যে কোনো সমান্তরাল বাহু সংলগ্ন দুটি কোণ পরস্পর সমান।
ধরা যাক ABCD একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম যার AB = DC
প্রমাণ্য : ∠ABC = ∠BCD এবং ∠BAD = ∠CDA
অঙ্কন : BC বাহু মধ্যবিন্দু E নেওয়া হল। A, E ও D, E যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : ΔABE ও ΔCDE এর
AB = DC (কল্পনানুসারে)
BE = EC (অঙ্কনানুসারে)
অবশিষ্ট AE = অবশিষ্ট DE [‘.’ AD || BD]
∴ ΔABE ≅ ΔCDE
∴ ∠ABE = ∠DCE [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]
∴ ∠ABC = ∠BCD
অনুরূপে প্রমাণ করা যায় ∠BAD = ∠CDA
সুতরাং সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু সংলগ্ন কোণ দুটি পরস্পর সমান। (প্রমাণিত)
6. ABCD বর্গাকার চিত্রে BC বাহুর উপর P যে কোনো একটি বিন্দু। B বিন্দু থেকে AP এর উপর অঙ্কিত লম্ব DC বাহুকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AP = BD
ধরাযাক ABCD বর্গাকার চিত্রে BC বাহুর উপর P যেকোনো একটি বিন্দু। B বিন্দু থেকে AP এর উপর অঙ্কিত লম্ব DC কে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য AP = BQ
প্রমাণ : ΔABP ও ΔBCQ এর
AB = BC [‘.’ ABCD একটি বর্গক্ষেত্র]
∠ABP = ∠BCQ [উভয়েই সমকোণ]
∠BAP = ∠CBQ [AP ⊥ BQ]
∴ ΔABP ≅ ΔBCQ
∴ AP = BQ [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] (প্রমাণিত)
7. প্রমাণ করি যে, একটি চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত কোণ পরস্পর সমান ও দুটি বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল হলে, চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।
ধরা যাক, ABCD চতুর্ভুজের ∠ABC = ∠DCA এবং AB || DC
প্রামাণ্য : ABCD একটি সামান্তরিক
অঙ্কন : AC কর্ণ টানা হল।
প্রমাণ : ‘.’ AB || DC এবং AC ভেদক
∴ ∠BAC = একাত্তর ∠DCA
এবার ΔABC ও ΔADC এর
∠BAC = ∠DCA (প্রমাণিত)
∠ABC = ∠CDA (কল্পনানুসারে)
∴ অবশিষ্ট ∠ACB = অবশিষ্ট ∠CAD
কিন্তু এরা একাত্তর কোণ।
∴ AD || BC
‘.’ AB || DC এবং AD || BC
∴ ABCD একটি সামান্তরিক।
8. ABC-এর BP ও CQ মধ্যমা দুটি যথাক্রমে R ও S বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যে, BP = PR এবং CQ = QS হয়। প্রমাণ করি যে, S, A, R বিন্দু তিনটি সমরেখ।
ধরা যাক, ΔABC-এর BP ও CQ মধ্যমা দুটি যথাক্রমে R ও S বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হল যাতে BP = PR এবং CQ = QS হয়।
প্রমাণ্য : S, A, R বিন্দু তিনটি সমরেখ।
অঙ্কন: S, A; A, R; S, B ওR, C যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : ‘.’ BP মধ্যমা, ‘.’ AP = PC
আবার BP = PR (কল্পনানুসারে)
∴ ABCR একটি সামান্তরিক।
∴ BC || AR
অনুরূপে, ACBS একটি সামান্তরিক।
∴ BC || SA
∴ A বিন্দুগামী দুটি রেখাংশ একই সরলরেখা BC-এর সমান্তরাল।
∴ রেখাংশ দুটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।
∴ S, A, R বিন্দু তিনটি সমরেখ।
9. PQRS সামান্তরিকের SQ কর্ণ K. ও L বিন্দুতে সমান তিনভাগে বিভক্ত হয়েছে PK; SR কে M বিন্দুতে এবং RL, PQ কে N বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে PMRN একটি সামান্তরিক।
ধরাযাক, PQRS একটি সামান্তরিক। যার কর্ণ SQ সমান তিনভাগে বিভক্ত হয়েছে K ও L বিন্দুতে। অর্থাৎ QL = LK = KS |
PK, SR কে M বিন্দুতে এবং RL PQ কে N বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ্য : PMRN একটি সামান্তরিক।
প্রমাণ : ΔPKS ও ΔQLR এর
∠LQR = ∠KSP [‘.’ PS || QR ও SQ ছেদক]
QL = KS [কল্পনানুসারে]
QR = PS [‘.’ PQRS একটি সামান্তরিক]
∴ ΔPKS ≅ ΔQLR
∴ PK = LR [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
ΔANQL ও ΔSKM-এর
QL = KS [কল্পনানুসারে]
∠NQL = একান্তর ∠KSM [ ‘.’ PQ || SR ও QS ছেদক]
∠QNL = ∠SKM
∴ ΔNQL ≅ ΔSKM
∴ NQ = SM [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
‘.’ PQ = SR [কল্পনানুসারে]
এবং NQ = SM (প্রমাণিত)
∴ PN = MR
এখন, PMRN চতুর্ভুজের PN || MR এবং PN = MR
∴ PMRN একটি সামান্তরিক।
10. ABCD ও AECF দুটি সামান্তরিকেরই AC একটি কর্ণ। B, E, D, F বিন্দুগুলি সমরেখ না হলে, প্রমাণ করি যে, BEDF একটি সামান্তরিক।
ধরা যাক, ABCD ও AECF দুটি সামান্তরিকের কর্ণ AC ।
B, E, D, F বিন্দুগুলি সমরেখ নয়।
প্রামাণ্য : BEDF একটি সামান্তরিক।
প্রমাণ : ΔAFD ও ΔBEC হতে পাই,
AD = BC [সামান্তরিকে বিপরীত বাহু]
AF = CE [AFCE সামান্তরিকে বিপরীত বাহু]
∴ ত্রিভুজ দুটি একই সমান্তরাল যুগল AD ও BC-এর মধ্যে অবস্থিত
∴ অবশিষ্ট বাহু FD = অবশিষ্ট বাহু BE
∴ ΔAFD ≅ ΔBEC
∴ FD = BE [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
আবার ΔADE ও ΔFBC এর
AD = BC [ABCD সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
AE = FC [AECF সামান্তরিকে বিপরীত বাহু]
‘.’ ত্রিভুজ দুটি একই সমান্তরাল যুগল BC ও AD এর মধ্যে অবস্থিত।
∴ অবশিষ্ট বাহু DE = অবশিষ্ট বাহু FB
∴ BEDF চতুর্ভুজের FD = BE (প্রমাণিত)
এবং FB = DE (প্ৰমাণিত)
সুতরাং BEDF একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত) )
11. ABCD একটি চতুর্ভুজ। ABCE ও BADF দুটি সামান্তরিক অঙ্কন করা হলো। প্রমাণ করি যে CD ও EF পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
ধরাযাক, ABCD একটি চতুর্ভুজ।
ABCE ও BADF দুটি সামান্তরিক অঙ্কন করা হলো।
প্রামাণ্য : CD ও EF পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অঙ্কন : C, D ও E, F যুক্ত করা হলো। যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : ABCE সামান্তরিকের, AB = EC
এবং ABFD সামান্তরিকের, AB = DF
∴ EC = DF
‘.’ AB || CE এবং AB || DF
∴ EC || DF
এখন ΔOCE ও ΔODF এর
EC || DF এবং EF ছেদক
∴ ∠CEO একান্তর ∠OFD
EC = DF (প্রমাণিত)
∠COE = বিপ্রতীপ ∠FOD
∴ ΔOCE ≅ ΔODF
∴ OE = OF এবং OC = OD [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
∴ CD ও EF পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
12. ABCD সামান্তরিকের AB = – 2 AD ; প্রমাণ করি যে ∠BAD ও ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় DC বাহুর মধ্যবিন্দুতে সমকোণে মিলিত হয়।
ধরাযাক, ABCD সামান্তরিকের ∠BAD এর সমদ্বিখণ্ডক DC এর সঙ্গে P বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। P, B যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য : (i) P বিন্দু DC এর মধ্যবিন্দু। (ii) BP, ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডক এবং (iii) ∠APB = 1 সমকোণ।
13. ABCD সামান্তরিকের AB ও AD বাহুর উপর যথাক্রমে ABPQ ও ADRS বর্গাকার চিত্র অঙ্কন করা হলো যারা সামান্তরিকের বাইরে অবস্থিত। প্রমাণ করি যে, PRC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
ধরা যাক, ABCD সামান্তরিকের AB ও AD বাহুর উপর যথাক্রমে ABPQ ও ADRS বর্গাকার চিত্র অঙ্কন করা হল যারা ABCD সামান্তরিকের বাইরে অবস্থিত।
প্রামাণ্য : PRC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণ : ‘.’ ABPQ একটি বর্গক্ষেত্র।
∴ AB = PB আবার AB = CD [কল্পনানুসারে]
∴ PB = CD
‘.’ ADRS একটি বর্গক্ষেত্র
∴ RD = AD আবার AD = BC [কল্পনানুসারে]
∴ BC = RD
PC = PB + BC
= CD + RD [‘.’ PB = CD এবং BC = RD]
= CR
∴ PRC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)
14. ABCD সামান্তরিকের ∠BAD স্থূলকোণ ; AB ও AD বাহুর উপর দুটি সমবাহু ত্রিভুজ ABP ও ADQ অঙ্কন করা হলো যারা সামান্তরিকের বাইরে অবস্থিত। প্রমাণ করি যে, CPQ একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
ধরাযাক, ABCD সামান্তরিকের ∠BAD স্থূলকোণ। AB ও AD বাহুর উপর দুটি সমবাহু ত্রিভুজ ABP ও ADQ অঙ্কন করা হলো যারা ABCD সামান্তরিকের বাইরে অবস্থিত।
প্রামাণ্য : ΔCPQ একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণ : ΔAPQ ও ΔDCQ এর
AQ = DQ [‘.’ ADQ সমবাহু ত্রিভুজ]
AP = CD [‘.’ AP = AB এবং AB = CD ∴ AP = CD]
এবং অবশিষ্ট PQ = অবশিষ্ট CQ [‘.’ ∠PAQ ও ∠CDQ উভয়েই স্থূলকোণ]
অনুরূপে প্রমাণ করা যায় PQ = PC
∴ PQ = CQ = PC
∴ ΔCPQ একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
15. OP, OQ ও OR তিনটি সরলরেখাংশ। OPAQ, OQBR এবং ORCP সামান্তরিক তিনটি অঙ্কন করা হলো। প্রমাণ করি যে, AR, BP ও CQ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
ধরাযাক, OP, OQ ও OR তিনটি সরলরেখাংশ। OPAQ, OQBR এবং ORCP সামান্তরিক তিনটি অঙ্কন করা হল।
A, R; B, P ও C Q যুক্ত করা হল।
এখন AR, BP ও CQ সরলরেখা তিনটি N বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য : AR, BP ও CQ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অঙ্কন: A, B ও P, R যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : BQ = OR এবং OR = CP [কল্পনানুসারে]
∴ BQ = CP
আবার BQ || OR এবং OR || CP [কল্পনানুসারে]
∴ BQ || CP
এখন BQ || CP এবং CQ ছেদক।
∴ ∠CQB একান্তর ∠PCQ
অর্থাৎ ∠NQB = ∠PCN
এখন ΔBQN ও ΔCNP এর
BQ = CP (প্রমাণিত)
∠NQB = ∠PCN ( প্রমাণিত)
∠BNQ = বিপ্রতীপ ∠CNP
∴ ΔBQN ≅ ΔCNP
∴ BN = NP এবং QN = NC [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
অনুরূপে ΔABN ও ΔPRN হতে প্রমাণ করা যায়,
AN = NR ও BN = NP
∴ BN = NP, QN = NC, AN = NR
∴ AR, BP ও CQ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
The Complete Educational Website