Gujarat Board Solutions Class 10 Maths Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Ex 1.3

Gujarat Board Solutions Class 10 Maths Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Ex 1.3

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Ex 1.3

પ્રશ્ન 1.
સાબિત કરો કે, 5 અસંમેય છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, √5 સંમેય સંખ્યા છે.
આથી આપણને પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાકો a અને b એવા મળે જેથી √5 = a/b થાય. બંને બાજુનો વર્ગ કરતાં,
∴ 5 = a²/b²
∴ a² = 5 b²
આમ, 5 એ વનો અવયવ છે.
પરંતુ 5 એ અવિભાજ્ય હોવાથી, પ્રમેય 1.3 મુજબ 5 એ છે a નો પણ અવયવ છે.
ધારો કે, a = 5c જ્યાં, તે કોઈ પૂર્ણાક છે.
∴ a² = 25 c²
∴ 25 c² = 5 b²
∴ b² = 5 c²
આમ, 5 એ bશ્નો અવયવ છે. પરંતુ 5 એ અવિભાજ્ય હોવાથી, પ્રમેય 1.3 મુજબ 5 એ નો પણ અવયવ છે. આમ, a અને b નો સામાન્ય અવયવ 5 છે.
પરંતુ આ વિધાન એ વ અને b પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તે ધારણાથી વિરુદ્ધ છે.
માટે આપણી ધારણા છે કે ‘√5 સંમેય સંખ્યા છે.’ તે ખોટી છે.
આથી સાબિત થાય છે કે √5 અસંમેય છે.