Gujarat Board Solutions Class 10 Maths Chapter 3 દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ Ex 3.3
Gujarat Board Solutions Class 10 Maths Chapter 3 દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ Ex 3.3
Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 3 દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ Ex 3.3
પ્રશ્ન 1.
નીચેનાં દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ આદેશની રીતે મેળવોઃ
(i) x + y = 14
x – y = 4
ઉત્તરઃ
(i) x + y = 14 …………(1)
x – y = 4 ……… (2)
સમીકરણ (1)માંથી y = 14 – x મળે.
સમીકરણ (2)માં y = 14 – x મૂકતાં,
x – (14 – x) = 4
∴ 14 + x = 4
∴ 2x = 4 + 14
∴ 2x = 18
∴ x = 9 સમીકરણ (1)માં x = 9 મૂકતાં,
9 + y = 14
∴ y = 5 આમ, આપેલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ x = 9, y = 5 છે.
ચકાસણી: x+ y = 9 + 5 = 14 અને
x – y = 9 – 5 = 4. આમ, ઉકેલ આપેલ સમીકરણયુગ્મનું સમાધાન કરે છે.
(iii) 3x – y = 3 ………….(1)
9x – 3y = 9 ……………..(2)
સમીકરણ (1)માંથી y = 3x – 3 મળે.
સમીકરણ (2)માં y = 3x – 3 મૂકતાં,
9x – 3 (3x – 3) = 9
∴ 9x – 9x + 9 = 9
∴ 9 = 9 અહીં, આપણને સ્ત્રી કોઈ ચોક્કસ કિંમત મળતી નથી.
પરંતુ 9 = 9 જેવું સાચું વિધાન મળે છે.
આથી આપેલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મને અનંત ઉકેલ છે. y = 3x – ૩, જ્યાં x કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે
એવી બધી જ જોડ આપેલ સમીકરણયુગ્મના ઉકેલ થાય.
(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3 …….. (1)
0.4x + 0.5y = 2.3 ………..(2)
આવશ્યક નથી, પરંતુ સરળતા ખાતર આપણે બંને સમીકરણને 10 વડે ગુણીએ અને નીચે મુજબના સમીકરણ મેળવીએ :
પ્રશ્ન 2.
2x + y = 11 અને 2x – 4y = -24નો ઉકેલ શોધો અને એવો ‘m’ શોધો કે જેથી y = mx + 3 થાય.
ઉત્તરઃ
2x + 3y = 11 ………… (1)
2x – 4y = – 24 …………….. (2)
સમીકરણ (2)માંથી x = 4y−24/2 = 2y – 12 મળે.
સમીકરણ (1)માં x = 2y – 12 મૂકતાં,
2 (2y – 12) + 3y = 11
∴ 4y – 24 + 3y = 11
∴ 7y = 35
∴ y = 5
x = 2y – 12માં પુ = 5 મૂકતાં,
x = 2(5)- 12
∴ x = 10-12
∴ x = -2,
હવે, x = – 2, y = 5 અને y = mx + 3 હોવાથી,
5 = m (-2) + 3
∴ 5 = – 2 m + 3
∴ 2m = 3 – 5
∴ 2m = -2
∴ m = – 1
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ x = – 2, y = 5 છે ? અને m =-1 એ પુ = x + 3નું સમાધાન કરે છે.
પ્રશ્ન 3.
નીચેની સમસ્યા ઉપરથી દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ મેળવો અને તેમનો ઉકેલ આદેશની રીતે મેળવોઃ
(i) બે સંખ્યાનો તફાવત 26 છે અને એક સંખ્યા બીજી સંખ્યાથી ત્રણ ગણી છે, તો તે બે સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, મોટી સંખ્યા x અને નાની સંખ્યા y છે. આથી આપેલ માહિતી મુજબ નીચેના સમીકરણ મળે:
x – y = 26 ………….. (1)
x = 3y …………(2)
સમીકરણ (1)માં x = 3y મૂકતાં,
3y – y = 26
∴ 2y = 26
∴ y = 13
x = 3y માં y = 13 મૂકતાં,
x= 3 × 13 = 39. આમ, માગેલ સંખ્યાઓ 39 અને 13 છે.
ચકાસણીઃ સંખ્યાઓનો તફાવત = 39 – 13 = 26 અને 39 એ 13ના ત્રણ ગણા છે.
(ii) બે પૂરકકોણો પૈકી મોટો ખૂણો નાના ખૂણા કરતાં 18° મોટો હોય, તો તે પૂરકકોણો શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, પૂરકકોણો પૈકી મોટા ખૂણાનું અંશમાપ x અને નાના ખૂણાનું અંશમાપ શુ છે. આથી આપેલ માહિતી મુજબ નીચેના સમીકરણો મળે
x + y = 180 ……………. (1)
x – y = 18 ……………..(2)
સમીકરણ (2)માંથી x = y + 18 મળે.
સમીકરણ (1)માં x = y + 18 મૂકતાં,
y + 18 + y = 180
∴ 2y = 162
∴ y = 81
સમીકરણ (2)માં y = 81 મૂકતાં,
x – 81 = 18
∴ x = 99.
આમ, માગેલ ખૂણાના અંશમાપ 99 અને 81 છે.
ચકાસણી: મોટો ખૂણો – નાનો ખૂણો = 99° – 81° = 18°
અને મોટો ખૂણો + નાનો ખૂણો = 99° + 81° = 180° એટલે કે ખૂણા પૂરકકોણ છે.
(iii) ક્રિકેટ-ટીમના કોચે 7 બૅટ અને 6 દડા 3800માં ખરીદ્યા. પછીથી તેણે તે જ કિંમતવાળા ૩ બૅટ અને 5 દડા 1750માં ખરીદ્યા. તો એક બૅટની કિંમત અને એક દડાની કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, એક બૅટની કિંમત ₹ x અને એક દડાની કિંમત ₹ y છે. આથી આપેલ માહિતી મુજબ નીચેના સમીકરણો મળેઃ
7x + 6y = 3800 ………..(1)
3x + 5y = 1750 ………….(2)
(iv) એક શહેરમાં ટેક્સીનું ભાડું નિશ્ચિત ભાડા અને અંતરના પ્રમાણમાં સંયુક્ત રીતે લેવાય છે. 10 કિમીના અંતર માટે ₹ 105 અને 15 કિમીની મુસાફરી માટે ₹ 155ની ચુકવણી કરવી પડે છે, તો નિશ્ચિત ભાડું કેટલું અને પ્રતિ કિમી કેટલા દરે કિંમત ચૂકવવી પડે? મુસાફરે 25 કિમીની મુસાફરી માટે કેટલું ભાડું ચૂકવવું પડશે?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, નિશ્ચિત ભાડું ₹ x અને મુસાફરીના દરેક કિલોમીટરદીઠ ભાડું ₹ y છે.
આથી આપેલ માહિતી મુજબ નીચેના સમીકરણો મળે:
x + 10y = 105 ……………(1)
x+ 15g = 155 …………….(2)
સમીકરણ (1)માંથી x = 105 – 10y મળે.
સમીકરણ (2)માં x = 105 – 10y મૂકતાં,
(105 – 10y) + 15y = 155
∴105 + 5y = 155
∴ 5y = 50
∴ y = 10
x = 105 – 10yમાં y = 10 મૂકતાં,
x = 105 – 10 (10)
∴ x = 5.
આમ, નિશ્ચિત ભાડું ₹ 5 અને મુસાફરીના દરેક કિલોમીટરદીઠ ભાડું ₹ 10 છે.
આથી d કિલોમીટરની મુસાફરી કરનાર મુસાફરે ચૂકવવાનું થતું કુલ ભાડું = ₹ (5 + 100)
∴ 25 કિલોમીટરની મુસાફરી કરનાર મુસાફરે ચૂકવવાનું થતું કુલ ભાડું = ₹ (5 + 10 x 25) = ₹ 255
(vi) પાંચ વર્ષ પછી જેકબની ઉંમર (વર્ષમાં) તેના પુત્રની ઉંમર (વર્ષમાં) કરતાં ત્રણ ગણી હશે. પાંચ વર્ષ પહેલા, જેકબની ઉંમર (વર્ષમાં) તેના પુત્રની ઉંમરથી સાત ગણી હોય, તો તેમની વર્તમાન ઉંમર શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, જેકબની વર્તમાન ઉંમર ૪ વર્ષ અને તેના પુત્રની વર્તમાન ઉંમર વર્ષ છે.
પાંચ વર્ષ બાદ, જેકબની ઉંમર (x + 5) વર્ષ અને તેના પુત્રની ઉંમર (y + 5) વર્ષ થશે.
આથી આપેલ માહિતી મુજબ,
(x + 5) = 3(y + 5)
∴ x + 5 = 3 + 15
∴ x – 3y = 10
વળી, પાંચ વર્ષ પહેલાં, જેકબની ઉંમર (x – 5) વર્ષ અને તેના પુત્રની ઉંમર (y – 5) વર્ષ હતી.
આથી આપેલ માહિતી મુજબ,
(x – 5) = 7 (y – 5)
∴ x – 5 = 7y – 35
∴ x – 7y = – 30
આમ, માગેલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ નીચે મુજબ બનેઃ
x – 3y = 10 ……………(1)
x – 7y = – 30 …………..(2)
સમીકરણ (2)માંથી x = 7y – 30 મળે.
સમીકરણ (1)માં x = 7y -30 મૂકતાં,
7y – 30 – 3y = 10
∴ 4y = 40
∴ y = 10
x = 7y – 30 માં y = 10 મૂકતાં,
x = 7 (10) – 30
∴ x = 40 આમ, જેકબની અને તેના પુત્રની વર્તમાન ઉંમર અનુક્રમે 40 વર્ષ અને 10 વર્ષ છે.
The Complete Educational Website