Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.6

(ii) यहाँ पर

2u + 3v = 2 ………….(iii)
4u – 9v = -1 …(iv)
समीकरण युग्म समीकरण (iii) को 3 से गुणा करके समीकरण (iv) में जोड़ने पर,

u का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
2(1/2) + 3v = 2
या 3v = 2 – 1
या v = 1/3

(ii) यहाँ पर
4/x + 3 y = 14 ……………….(i)
व 3/x – 4y = 23 ……………..(ii)
माना 1/x = u, तो समीकरण (i) व (ii) से प्राप्त होगा,
4u + 3y = 14 …………..(iii)
34 – 4y = 23 …………………(iv)
समीकरण (iii) को 4 से व समीकरण (iv) को 3 से गुणा करके परस्पर जोड़ने से,

u का मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,
4(5) +3y = 14
या 3y = 14 – 20
या y = −6/3 = -2
अब u = 5 ⇒ 1/x = 5 ⇒ x = 1/5
अतः अभीष्ट हल x = 1/5 व y = -2

(iv) यहाँ पर

माना 1/x−1 = u तथा ,1/y−2 = v तो समीकरण (i) व (ii) से प्राप्त होगा,
5u + v = 2 …(iii)
6u – 3y = 1 …(iv)
समीकरण (iii) को 3 से गुणा करके समीकरण (iv) में जोड़ने से-

u का मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,

अतः अभीष्ट हल x = 4 व y = 5

(v) यहाँ पर
7x−2y/xy = 5

माना 1/y = u तथा 1/x = v तो समीकरण (i) व (ii) से प्राप्त होता है,
7u – 2v = 5
व 8u + 7v = 15
समीकरण (iii) को 7 से व समीकरण (iv) को 2 से गुणा करके जोड़ने पर,

u का मान समीकरण (iv) में प्रतिस्थापित करने पर,
8(1)+ 7v = 15
या 7v = 15 – 8
या v = 7/7 = 1
अब u = 1 ⇒ 1/y = 1 ⇒ y = 1
v = 1 ⇒ 1/x = 1 ⇒ x = 1
अतः अभीष्ट हल x = 1 व y = 1

(vi) यहाँ पर
6x + 3y = 6xy
या 6/y+3/x = 6 (दोनों ओर xy से भाग करने पर) …………..(i)
2x + 4y = 5xy
या 2/y+4/x = 5 (दोनों ओर xy से भाग करने पर) ………….(ii)
माना 1/y = u तथा 1/x = v तो समीकरण (i) व (ii) से प्राप्त होगा,
6u + 3v = 6 ………………(iii)
2u+ 4v = 5 ………………….(iv)
समीकरण (iv) को 3 से गुणा करके समीकरण (iii) में से घटाने पर,

v का मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,
6u + 3(1) = 6
या 6u = 6 – 3
या u = 3/6=1/2
अब u = 1/2⇒1/y=1/2 ⇒ y = 2
v = 1 ⇒ 1/x = 1 ⇒ x = 1
अतः अभीष्ट हल x = 1 व y = 2

(vii) यहाँ पर

माना 1/x+y = u तथा 1/x−y = v तो समीकरण () व (i) से प्राप्त होगा,
10u + 2v = 4 …………….(iii)
15u – 5v = -2 …………….(iv)
समीकरण (iii) को 5 से तथा समीकरण (iv) को 2 से गुणा करके परस्पर जोड़ने से,

u का मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,
10(1/5) + 2v = 4
या 2v = 4 – 2
या v = 2/2 = 1
अब u = 1/5⇒1/x+y=1/5 ⇒ x + y = 5
v = 1⇒ 1/x−y 1 ⇒ x – y = 1
समीकरण (v) व समीकरण (vi) को जोड़ने पर,
2x = 6
या x = 6/2 = 3
x का मान समीकरण (v) में प्रतिस्थापित करने पर,
3 + y = 5
या y = 5 – 3
या y = 2
अतः अभीष्ट हल x = 3 व y = 2

(viii) यहाँ पर

u का मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,
4(1/4) + 4v = 3
या 4v = 3 – 1
या v = 2/4=1/2

समीकरण (v) व समीकरण (vi) को जोड़ने पर,
6x = 6
या x = 6/6 = 1
x का मान समीकरण (v) में प्रतिस्थापित करने पर,
3(1) + y = 4
या y = 4 – 3 = 1
या y = 1
अतः अभीष्ट हल x = 1 व y = 1

प्रश्न 2.
निम्नलिखित समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए
(i) (रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
(ii) 2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी। पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा?
(iii) रूही 300 km दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है। यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं। यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) माना रितु की स्थिर जल में तैरने की चाल = x km/h.
तथा धारा की चाल = y km/h
रितु की धारा के अनुकूल तैरने की चाल = (x + y) km/h
रितु की धारा के प्रतिकूल तैरने की चाल = (x -y) km/h
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण युग्म होंगे,
2(x + y) = 20 ⇒ x + y = 10 ……………(i)
तथा 2(x – y) = 4 ⇒ x – y = 2 …………(ii)
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर,
2x = 12
या x = 12/2 = 6
x का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
6 +y = 10
या y = 10 – 6 = 4
अतः रितु की स्थिर जल में तैरने की चाल = 6 km/h
तथा धारा की चाल = 4 km/h

(ii) माना 1 महिला कसीदे के काम को समाप्त करने में दिन लगाती है तथा 1 पुरुष कसीदे के काम को समाप्त करने में y दिन लगाता है।
1 महिला का 1 दिन का काम = 1/x
1 पुरुष का 1 दिन का काम = 1/y
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण-युग्म होगा,
2/x+5/y=1/4 …………..(i)
व 3/x+6/y=1/3 …………..(ii)
माना 1/x = u व 1/y = v तो समीकरण (i) व (ii) से प्राप्त होगा,
2u + 5v = 1/4 8u + 20v = 1 …………(iii)
3u + 6v = 1/3 9u + 18v = 1 …………(iv)
समीकरण (iii) को 9 से व समीकरण (iv) को 8 से गुणा करके घटाने पर

या v = 1/36
v का मान समीकरण (iii) में रखने पर,
8u + 20 (1/36) = 1

अतः 1 महिला कसीदे के काम को समाप्त कर सकती है = 18 दिन में
1 पुरुष कसीदे के काम को समाप्त कर सकता है = 36 दिन में

(iii) माना रेलगाड़ी की चाल = x km/h
तथा बस की चाल = y km/h
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण-युग्म होगा,

या x = 15 x 4 = 60
अतः रेलगाड़ी की चाल = 60 km/h
बस की चाल = 80 km/h