Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.8

प्रश्न 1. उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है :
(i) 7 सें०मी०
(ii) 0.63 मी०
हल :
(i) यहां पर,
गोले की त्रिज्या (r) = 7 सें०मी०
गोले का आयतन (V) = 4/3 πr³
= 4/3×22/7 7 × 7 × 7 सें०मी०³
= 4312/3 सें०मी०³ = 1437 1/3सें०मी०³ उत्तर

(ii) यहां पर,
गोले की त्रिज्या (r) = 0.63 मी० = 63/100 मी०
गोले का आयतन (V) = 4/3 πr³
= 4/3×22/7×63/100×63/100×63/100 मी०³
= 1047816/1000000 मी०³
= 1.05 मी०³ उत्तर

प्रश्न 2. उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्न है:
(i) 28 सें०मी०
(ii) 0.21 मी०
हल :
(i) यहां पर,
गोले का व्यास (d) = 28 सें०मी०
गोले की त्रिज्या (r) = 28/2 सें०मी० = 14 सें०मी०
गोले का आयतन (V) = 4/3 πr³
= 4/3×22/7 × 14 × 14 × 14 सें०मी०³
344963 सें०मी०³ = 11498 2/3 सें०मी०³ उत्तर
अतः गोले द्वारा हटाए गए पानी का आयतन = 11498 2/3 सें०मी०³ उत्तर

(ii) यहां पर,
गोले का व्यास (d) = 0.21 मी० = 21/100 मी०
गोले की त्रिज्या (r) = 21/2×100 = 21/100
∴ गोले का आयतन (V) = 4/3 πr³
= 4/3×22/7×21/200×21/200×21/200 सें०मी०³
= 4851/1000000 सें०मी०³ = 0.004851 मी०³
अतः गोले द्वारा हटाए गए पानी का आयतन = 0.004851 मी०³ उत्तर

प्रश्न 3. धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 सें०मी० है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति सें०मी०³ है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
हल :
यहां पर,
धातु की गेंद का व्यास (d) = 4.2 सें०मी० = 21/100 सें०मी०
धातु की गेंद की त्रिज्या (r) = 21/100 सेंमी० = 21/100 सें०मी०
धातु की गेंद का आयतन (V) = 4/3 πr³
= 4/3×22/7×21/10×21/10×21/10 सें०मी०³
= 38808/1000 सें०मी०³
1 सें०मी० धातु का द्रव्यमान = 8.9 ग्राम
दी गई धातु की गेंद का द्रव्यमान = 38808/1000×89/10 ग्राम
3453912/10000 ग्राम = 345.3912 ग्राम
= 345.39 ग्राम उत्तर

प्रश्न 4. चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है ?
हल :

प्रश्न 5. व्यास 10.5 सें०मी० वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है ?
हल :

प्रश्न 6. एक अर्धगोलाकार टंकी 1 सें०मी० मोटी एक लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 मी० है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
यहां पर,
अर्धगोलाकार टंकी की अंतः त्रिज्या (r) = 1 मी० = 100 सें०मी०
अर्धगोलाकार टंकी की बाह्य त्रिज्या (R) = 100 + 1 = 101 सें०मी०
∴ टंकी में लगी लोहे की चादर का आयतन = बाह्य आयतन – आंतरिक आयतन

प्रश्न 7. उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 सें०मी०² है।
हल :
यहां पर,
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 154 सें०मी०²
⇒ 4πr² = 154
या 4 × 22/7 × r² = 154
या 88/7 r² = 154

प्रश्न 8. किसी भवन का गुंबद एक अर्धगोले के आकार का है। अंदर से, इसमें सफेदी कराने में ₹ 4989.60 व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर ₹ 20 प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) गुंबद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,
(ii) गुंबद के अंदर की हवा का आयतन।
हल :
(i) गुंबद के अंतः तल पर सफेदी कराने का खर्च = ₹ 4989.60
सफेदी कराने की दर = ₹ 20 प्रति वर्ग मीटर
4989.60 इस प्रकार गुंबद के अंतः तल का क्षेत्रफल = 4989.60/2
= 249.48 वर्ग मीटर उत्तर
(ii) 2πr² = 249.48

प्रश्न 9. लोहे के 27 ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ है। ज्ञात कीजिए :
(1) नए गोले की त्रिज्या r’
(ii) S और S’ का अनुपात
हल :
(i) यहां पर,
गोले की त्रिज्या (r) = r
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (S) = 4πr²
गोले का आयतन (V) = 4/3 πr³
इस प्रकार 27 ठोस गोलों को पिघलाकर बने
गोले का आयतन (V) = 27 × 4/3 πr³ = 36πr³
नए गोले की त्रिज्या = r’
नए गोले का आयतन = 4/3 π(r’)³
प्रश्नानुसार 4/3 π(r’)³ = 36πr³
या (r’)³ = 36r³ × 3/4
या (r’)³ = 27(r)³
या (r’)³ = (3r)³
⇒ r’ = 3r
नए गोले की त्रिज्या r’ = 3r उत्तर

(ii) यहां पर,
नए गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (S’) = 4π(r’)²
= 4π(3r)²
= 4π(9r²)
S’ = 36πr²
S तथा S’ का अनुपात = 4πr² : 36πr²
= 1 : 9 उत्तर

प्रश्न 10. दवाई का एक कैपसूल (capsule) 3.5 मि०मी० व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैपसूल को भरने के लिए कितनी दवाई (mm³ में) की आवश्यकता होगी ?
हल :
यहां पर,
कैपसूल का व्यास (d) = 3.5 मि०मी० = 35/10=7/2 मि०मी०
कैपसूल की त्रिज्या (r) = 7/2×1/2 मि०मी० = 7/4 मि०मी०
कैपसूल का आयतन (V) = 4/3 πr³
= 4/3×22/7×7/4×7/4×7/4 मि०मी०
= 539/24 मि०मी०³ = 22.46 मि०मी०³ (लगभग)
इस प्रकार कैपसूल को भरने के लिए जितनी दवाई की आवश्यकता होगी।
= 22.46 मि०मी०³ उत्तर