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MP Board Class 10th Maths | सांख्यिकी

MP Board Class 10th Maths | सांख्यिकी

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1

प्रश्न 1.
विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण चेतना अभियान के अन्तर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हए पौधों से सम्बन्धित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए। प्रति घर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 1
माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों ?
हल:

अतः प्रति घर माध्य पौधों की अभीष्ट संख्या = 8.1 पौधे है।
हमने प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग किया क्योंकि fi एवं xi के संख्यात्मक मान बहुत कम हैं।

प्रश्न 2.
किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 3
एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

अत: अभीष्ट माध्य दैनिक मजदूरी = Rs 545.20 है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेब खर्च दर्शाता है। माध्य जेब खर्च Rs 18 है। लुप्त बारम्बारता f ज्ञात कीजिए।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 5
हल:

अतः f का अभीष्ट मान = 20 है।

प्रश्न 4.
किसी अस्पताल में एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गयी और उनके हृदय स्पन्दन (beats) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाये अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गयी। एक उपयुक्त विधि चुनते हुए इन महिलाओं के हृदय स्पन्दन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 7
हल :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 8

अतः हृदय स्पन्दनों की प्रति मिनट अभीष्ट माध्य संख्या = 75.9 है।

प्रश्न 5.
किसी फुटकर बाजार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्न थीं। पेटियों की संख्या के अनुसार आमों का बंटन निम्नलिखित था
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 10
एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है?
हल:

अतः आमों की अभीष्ट माध्य संख्या = 57.19 है।
हमने पद (वर्ग) विचलन विधि का प्रयोग किया है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हए दैनिक व्यय को दर्शाती है:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 12
एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुए माध्य व्यय को निकालिए।
हल :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 13

अतः भोजन पर हुआ अभीष्ट माध्य व्यय = Rs 211 है।

प्रश्न 7.
वायु में सल्फर डाई ऑक्साइड (SO2) की सान्द्रता (मान प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के लिए एक नगर के 30 मोहल्लों में आँकड़े एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 15
वायु में SO2 की सान्द्रता का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:

अतः SO2 की अभीष्ट सान्द्रता का माध्य = 0.099 ppm है।

प्रश्न 8.
किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड (Record) की। एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उसका माध्य ज्ञात कीजिए।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 17
हल:

अतः विद्यार्थी के अनुपस्थित दिनों का अभीष्ट माध्य = 12.475 है।

प्रश्न 9.
निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 19
हल:

अतः अभीष्ट माध्य साक्षरता दर = 69.43% है।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2 1
उपरोक्त आँकड़ों का बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों केन्द्रीय प्रवृत्तियों की तुलना कीजिए और उनकी व्याख्या कीजिए।
हल :
बहुलक के परिकलन के लिए:
यहाँ बहुलक वर्ग 35-45 है क्योंकि इसकी बारम्बारता सर्वाधिक 23 है। इस वर्ग की निम्न सीमा l = 35, बारम्बारता f1 = 23, वर्ग माप h = 45 – 35 = 10, बहुलक वर्ग से पहले वर्ग की बारम्बारता f0 = 21 एवं बाद के वर्ग की बारम्बारता f2 = 14

अंतः, अभीष्ट बहुलक = 36.82 एवं माध्य = 34.08 है।
व्याख्या : अस्पताल में भर्ती अधिकतम रोगी 36.82 वर्ष आयु (लगभग) के हैं जबकि अस्पताल में भर्ती किए गए औसत रोगियों की आयु = 34.08 (लगभग) है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित आँकड़े 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवनकाल (घण्टों में) की सूचना देते हैं:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2 3
उपकरणों का बहुलक जीवनकाल ज्ञात कीजिए।
हल :
उपर्युक्त प्रेक्षकों में बहुलक वर्ग 60-80 है जिसकी निम्न सीमा l = 60, वर्ग माप h = 80-60 = 20, बारम्बारता f1 = 61 है तथा इससे पहले वर्ग की बारम्बारता f0 = 52 एवं ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता f2 = 38 है।

अतः बहुलक जीवनकाल का अभीष्ट मान = 65.63 घण्टा (लगभग) है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित आँकड़ों किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए साथ ही माध्य मासिक व्यय भी ज्ञात कीजिए।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2 5
हल :
बहुलक के परिकलन के लिए :
यहाँ अधिकतम बारम्बारता 40 है अतः बहुलक वर्ग 1500-2000 है जिसकी वर्ग माप h = 2000 – 1500 = 500, निम्न सीमा l = 1500, बारम्बारता f1 = 40 है तथा इससे ठीक पहले वर्ग की बारम्बारता f0 = 24 एवं ठीक बाद वाले वर्ग की बारम्बारता f2 = 33 है।

अतः परिवारों का अभीष्ट बहुलक मासिक व्यय h = 1847.83 (लगभग) है।
माध्य के परिकलन के लिए:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2 7
कल्पित माध्य a = 2750 एवं वर्ग माप h = 500

अतः परिवारों का अभीष्ट माध्य मासिक व्यय = Rs 2662.50 है।.

प्रश्न 4.
निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में राज्यों के अनुसार शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों मापकों की व्याख्या कीजिए।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2 9
हल :
बहुलक के परिकलन के लिए :
यहाँ अधिकतम बारम्बारता वाले बहुलक वर्ग (30-35) की बारम्बारता f1 = 10, निम्न सीमा l = 30, वर्ग माप h = 35-30 = 5, ठीक पहले वर्ग की बारम्बारता f0 = 9 एवं ठीक बाद वाले वर्ग की बारम्बारता f2 = 3 है

कल्पित माध्य a = 32.5 एवं वर्ग माप h = 5

अतः अभीष्ट बहुलक = 30.625 (लगभग) एवं अभीष्ट माध्य = 29.2 (लगभग) है।
व्याख्या : अधिकांश राज्यों/संघीय क्षेत्रों में छात्र एवं विद्यार्थियों का अनुपात 30.625 (लगभग) है और औसतन अनुपात 29.2 (लगभग) है।

प्रश्न 5.
दिया हुआ बंटन विश्व के कुछ श्रेष्ठतम बल्लेबाजों द्वारा एकदिवसीय अन्तर्राष्ट्रीय क्रिकेट मैचों में बनाए गए रनों को दर्शाता है:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2 12
इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल :
अधिकतम बारम्बारता 18 वाला वर्ग (4,000–5,000) बहुलक वर्ग है जिसकी निम्न सीमा
l = 4,000, वर्ग माप h = 5,000 – 4,000 = 1,000, बारम्बारता f1 = 18 है तथा इससे ठीक पहले वाले वर्ग की बारम्बारता f0 = 4 एवं ठीक बाद वाले वर्ग की बारम्बारता f2 = 9 है।

अतः अभीष्ट बहुलक = 4,608.7 (लगभग) है।

प्रश्न 6.
एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ नोट की और उन्हें नीचे दी हुई सारणी के रूप में व्यक्त किया। सारणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण 3 मिनट के अन्तराल में उस स्थान से होकर जाने वाली कारों की संख्याओं से सम्बन्धित है। ऐसे 100 अन्तरालों पर प्रेक्षण लिए गए। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2 14
हल :
सर्वाधिक बारम्बारता 20 वाला वर्ग (40-50) बहलक वर्ग है जिसकी निम्न सीमा l = 40. वर्ग माप h = 50-40 = 10 एवं बारम्बारता f1 = 20 है तथा इससे ठीक पहले वाले वर्ग की बारम्बारता f0 = 12 एवं ठीक बाद वाले वर्ग की बारम्बारता f2 = 11 है।

अतः अभीष्ट बहुलक = 44.71 (लगभग) है।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्तओं की बिजली की मासिक खपत दर्शाता है। इन आँकड़ों के माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए। इनकी तुलना कीजिए।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3 1
हल:

चूँकि बहुलक कक्षा (125 -145) है जिसमें l = 125, h = 20, बारम्बारता f1 = 20, ठीक पहले वर्ग की बारम्बारता f0 = 13 तथा ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता f2 = 14

अतः माध्यक, माध्य एवं बहुलक के अभीष्ट मान क्रमशः 137 इकाई, 137.06 इकाई (लगभग) एवं 135.77 इकाई (लगभग) हैं।
व्याख्या : इस स्थिति में तीनों मापक लगभग समान हैं।

प्रश्न 2.
यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3 4
हल:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3 5
चूँकि 45 + x + y = 60 ⇒ x + y = 60 – 45 = 15
चूँकि माध्यक 28.5 दिया है जो वर्ग (20-30) में स्थित है।
⇒ l = 20, f = 20, cf = 5 + x, h = 10, n = 60

अतः x एवं y के अभीष्ट मान = 8 एवं 7 (क्रमशः) हैं।

प्रश्न 3.
एक जीवन बीमा एजेण्ट 100 पॉलिसीधारकों की आयु के बण्टन के निम्नलिखित आँकड़े ज्ञात करता है। माध्यक आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है जिनकी आयु 18 वर्ष उससे अधिक हो, परन्तु 60 वर्ष से कम हो।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3 7
हल :
माध्यक ज्ञात करने के लिए हमें वर्ग अन्तराल एवं उनकी संचयी बारम्बारताओं की आवश्यकता होती हैं इसलिए

अतः अभीष्ट माध्यक आयु = 35.76 वर्ष (लगभग) है।

प्रश्न 4.
एक पौधे की 40 पत्तियों की लम्बाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती हैं तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3 9
पत्तियों की माध्यक लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
सारणी को सतत वर्ग अन्तराल वाली सारणी में बदलते हैं :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3 10

अतः अभीष्ट माध्यक लम्बाई = 146.75 mm है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सारणी 400 नियॉन लैंपों के जीवन कालों (life time) को प्रदर्शित करती है:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3 12
एक लैंप का माध्यक जीवनकाल ज्ञात कीजिए।
हल :
माध्यक ज्ञात करने के लिए संचयी बारम्बारता सारणी की रचना करते हैं :

= 3000 + 406.98
= 3406.98 घण्टे (लगभग)
अतः लैंपों का माध्यक जीवनकाल = 3406.98 घण्टे (लगभग) है।

प्रश्न 6.
एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surnames) लिए गए और उनमें प्रयुक्त अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारम्बारता बंटन प्राप्त हुआ :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3 14
कुलनामों में माध्यक अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। कुलनामों में माध्य अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। साथ ही, कुलनामों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3 15
कल्पित माध्य a = 8.5, वर्ग माप h = 3

बहुलक के परिकलन के लिए : अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग (7-10) बहुलक वर्ग है जिसमें l = 7, f1 = 40, f0 = 30, f2 = 16 एवं h = 3

अतः अभीष्ट माध्यक = 8.05, माध्य = 8.32 एवं बहुलक = 7.88 है।

प्रश्न 7.
नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है। विद्यार्थियों का माध्यक ज्ञात कीजिए।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3 18
हल :
संचयी बारम्बारता सारणी बनाने पर :

अतः अभीष्ट माध्यक = 56.67 kg है।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बंटन किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक आय दर्शाता है :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4 1
उपरोक्त बंटन को एक ‘कम प्रकार के संचयी बारम्बारता बंटन’ में बदलिए और उसका तोरण खींचिए।
हल:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4 2

प्रश्न 2.
किसी कक्षा के 35 विद्यार्थियों की मेडीकल जाँच के समय, उनके भार निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड किए गए :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4 4
उपरोक्त आँकड़ों के लिए कम प्रकार का तोरण’ खींचिए। इसके बाद माध्यक भार ज्ञात कीजिए।
हल :
अभीष्ट तोरण :

अतः अभीष्ट माध्यक भार का मान 47.5 kg (तोरण के द्वारा प्राप्त) है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित सारणी किसी गाँव के 100 फार्मों में हुआ प्रत्येक हेक्टेयर (ha) गेहूँ उत्पादन दर्शाते हैं:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4 6
इस बंटन को अधिक के प्रकार के’ बंटन में बदलिए और फिर तोरण खींचिए।
हल:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4 7
अभीष्ट तोरण :

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 14 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 14 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्न वितरण से विद्यार्थियों के अंकों का माध्य ज्ञात कीजिए
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 1
हल :
वर्ग अन्तराल एवं बारम्बारता सारणी प्राप्त करने पर

अतः, अभीष्ट माध्य अंक = 51.75 है।

प्रश्न 2.
निम्न वितरण का माध्य ज्ञात कीजिए
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 3
हल :
वर्ग अन्तराल एवं बारम्बारता सारणी प्राप्त करने पर

अतः, अभीष्ट माध्य अंक = 48.41.

प्रश्न 3.
निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य 50 है। लेकिन वर्ग (20-40) एवं (60-80) की बारम्बारताएँ क्रमशः f1 एवं f2 अज्ञात हैं। इन बारम्बारताओं को ज्ञात कीजिए यदि सभी बारम्बारताओं का योग 120 है।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 5
हल :

अतः, एवं के अभीष्ट मान हैं क्रमशः 28 एवं 24 हैं।

प्रश्न 4.
निम्न आँकड़ों का माध्यक 50 है। p एवं q के मान ज्ञात कीजिए यदि सभी बारम्बारताओं का योग 90 है।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 7
हल :
संचयी बारम्बारता सारणी बनाने पर
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 8
चूँकि बारम्बारताओं का योग n = 90 दिया है।

30 – p = 25 ⇒ p= 30 – 25 = 5 …(1)
⇒ ∑fi = p + q + 78 = n = 90 (दिया है)
⇒ p + q = 90 – 78 = 12 ….(2)
समीकरण (1) से p = 5 का मान समीकरण (2) में रखने पर,
⇒ 5 + q = 12
⇒ q = 12 – 5 = 7
अतः, p एवं q के अभीष्ट मान क्रमशः 5 एवं 7 हैं।

प्रश्न 5.
96 बच्चों की ऊँचाई (cm में) का वितरण निम्न प्रकार दिया है:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 10
इन आँकड़ों के लिए से कम प्रकार का संचयी बारम्बारता वक्र खींचिए और इसका प्रयोग बच्चों के माध्यक ऊँचाई ज्ञात करने में कीजिए।
हल :
‘से कम प्रकार’ का संचयी बारम्बारता वक्र खींचने के लिए हम सर्वप्रथम से कम प्रकार की संचयी बारम्बारता सारणी तैयार करते हैं
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 11 MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 12
से कम से कम प्रकार का संचयी बारम्बारता वक्र :

अतः उपर्युक्त वक्र अभीष्ट से कम प्रकार का संचयी बारम्बारता वक्र’ है तथा इसके प्रयोग से ज्ञात की गयी माध्यम ऊँचाई = 139 cm है।

प्रश्न 6.
एक शहर का 66 दिन के लिए हुई वार्षिक वर्षा के आँकड़े निम्न तालिका (सारणी) में दिए गए हैं:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 14
दिए आँकड़ों से ‘से कम प्रकार’ का एवं से अधिक प्रकार’ का तोरण खींचकर माध्यक वर्षा का परिकलन कीजिए।
हल :
‘से कम’ प्रकार की संचयी बारम्बारता सारणी तैयार करने पर
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 15
‘के बराबर या से अधिक प्रकार की संचयी बारम्बारता सारणी बनाने पर,
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 16
से कम प्रकार का तोरण एवं से अधिक प्रकार का तोरण :

दोनों तोरणों का प्रतिच्छेद बिन्दु (21,33) है।
अतः, अभीष्ट माध्य 21 (लगभग) है।

प्रश्न 7.
भाला फेंक (Javelin throw) स्पर्धा में 50 छात्रों ने भाग लिया। उनके द्वारा फेंके गए भाले द्वारा तय की गयी दूरी (m में) निम्न प्रकार प्रेक्षित की गयी
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 18
(i) एक संचयी बारम्बारता सारणी का निर्माण कीजिए।
(ii) ‘से कम’ प्रकार का संचयी बारम्बारता वक्र (तोरण) खींचिए एवं फेंकी गयी माध्यक दूरी का परिकल्पना कीजिए।
(iii) सूत्र का प्रयोग करके माध्यक दूरी का परिकलन कीजिए।
(iv) क्या चरण (ii) एंव (iii) में ज्ञात की गयी माध्यक दूरियाँ समान हैं।
हल :
(i) संचयी बारम्बारता सारणी :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 19

(ii) से कम’ प्रकार का संचयी बारम्बारता वक्र (तोरण) :

अभीष्ट माध्यक दूरी = 49.4 m (लगभग) (तोरण द्वारा) है।

(iii) सूत्र के प्रयोग द्वारा माध्यक दूरी का परिकलन :

अतः, सूत्र के प्रयोग द्वारा ज्ञात की गयी अभीष्ट माध्यक दूरी = 49.41 m है।

(iv) चरण (ii) एवं (iii) में ज्ञात की गयी माध्यक दूरियाँ मापन की सीमा के अन्तर्गत लगभग समान हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 14 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्न बंटन (वितरण) का माध्य ज्ञात कीजिए :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 22
हल:

अतः, बंटन (वितरण) का अभीष्ट माध्य = 5.5.

प्रश्न 2.
20 छात्रों के गणित परीक्षा में प्राप्त अंकों का माध्य ज्ञात कीजिए :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 24
हल:

अतः, अभीष्ट माध्य अंक = 35.

प्रश्न 3.
दिए गए आँकड़ों में समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए : (2019)
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 26
हल :
[निर्देशः उपर्युक्त प्रश्न की तरह हल करें।]
उत्तर : अभीष्ट माध्य = 62.47]

प्रश्न 4.
निम्नलिखित तालिका (सारणी) में अपनी पुस्तक को 30 दिन में पूरा करने के लिखे गए पृष्ठों की संख्या दी गयी है:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 27
प्रतिदिन लिखे गए पृष्ठों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:

अतः प्रतिदिन लिखे गए पृष्ठों की अभीष्ट माध्य संख्या 26 है।

प्रश्न 5.
निम्न वितरण 40 व्यक्तियों के भारों (kg में) की स्थिति है :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 29
‘से कम’ प्रकार की संचयी बारम्बारता सारणी बनाइए।
हल :
से कम प्रकार की संचयी बारम्बारता सारणी:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 31
अतः उपरोक्त सारणी अभीष्ट सारणी है।

प्रश्न 6.
निम्न सारणी संचयी बारम्बारता बंटन है, जो 800 छात्रों द्वारा एक परीक्षा में अर्जित अंकों को दर्शाती है:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 32
उपरोक्त आँकड़ों के लिए बारम्बारता वितरण सारणी बनाइए।
हल:
बारम्बारता सारणी वितरण :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 33
अतः उपरोक्त सारणी अभीष्ट बारम्बारता वितरण सारणी है।

प्रश्न 7.
निम्न आँकड़ों से बारम्बारता वितरण सारणी का निर्माण कीजिए :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 34
हल :
बारम्बारता वितरण सारणी :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 35
अतः उपरोक्त सारणी अभीष्ट बारम्बारता वितरण सारणी है।

प्रश्न 8.
600 परिवारों की साप्ताहिक आय निम्न सारणी में दी गयी है:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 36
माध्यक आय का परिकलन कीजिए।
हल:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 37
माध्यक = n2 वाँ पद = 6002 = 300वाँ पद जो वर्ग (1,000 – 2,000) में आता है जिसमें
l = 1,000, cf = 250, f = 190, h = 1,000

= 1,000 + 263.16
= Rs 1,263.16
अत: अभीष्ट माध्यक आय = Rs 1,263.16 है।

प्रश्न 9.
एक क्रिकेट कोचिंग केन्द्र के 33 खिलाड़यों की गेंदबाजी की चाल (km/h) निम्न सारणी में दी है:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 39
गेंदबाजी की माध्यक चाल का परिकलन कीजिए।
हल:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 40
माध्यक चाल = 332 = 16.5वाँ पद जो वर्ग (100 – 115) में है।
जहाँ l = 100, cf = 11, f = 9, h = 115 – 100 = 15 .
सूत्र : माध्यक चाल = l+(n2cff)×h

अतः अभीष्ट माध्यक चाल = 109.17 (km/h) है।

प्रश्न 10.
100 परिवारों की मासिक आय निम्न तालिका (सारणी) में दी गयी है :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 42
बहुलक आय ज्ञात कीजिए।
हल :
बहुलक वर्ग सर्वाधिक बारम्बारता 41 वाला वर्ग (10,000 – 15,000) है जहाँ l = 10,000,
f1 = 41, f0 = 26, f2 = 16 एवं h = 15,000 – 10,000 = 5,000 है।

अतः अभीष्ट बहुलक आय = Rs 11,875 है।

प्रश्न 11.
70 पैकिटों में रखी कॉफी का भार निम्न सारणी में दिया गया है:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 44
बहुलक भार की गणना कीजिए।
हल :
अधिकतम बारम्बारता 26 वाला वर्ग (201 – 202) बहुलक वर्ग है, जहाँ l = 201, f1 = 26, f0 = 12, f2 = 20 एवं h = 202 – 201 = 1

अतः अभीष्ट बहुलक भार = 201.7g है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 14 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
अवर्गीकृत आँकड़ों से निकाले गए माध्यक एवं उन आँकड़ों को वर्गीकृत करके निकाले गए माध्यक का मान सदैव समान रहता है। क्या आप भी यह सोचते हैं कि उक्त कथन सत्य है? कारण दीजिए।
हल :
उक्त कथन सदैव सत्य नहीं होता, क्योंकि वर्गीकृत आँकड़ों से माध्यक ज्ञात करने में प्रयुक्त सूत्र इस धारणा पर आधारित है कि वर्ग में प्रेक्षण समान रूप में बराबर-बराबर वितरित हैं।

प्रश्न 2.
एक वर्गीकृत आँकड़े समान माप के वर्गों में वर्गीकृत किए गए हों, तो माध्य के परिकलन के लिए निम्न सूत्र का प्रयोग कर सकते हैं।
x¯¯¯=a+ΣfidiΣfi
जहाँ a एक कल्पित माध्य है। a किसी वर्ग का मध्य-बिन्दु होना चाहिए। क्या अन्तिम कथन सत्य है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
हल :
आवश्यक नहीं, क्योंकि किन्हीं आँकड़ों का माध्य कल्पित माध्य के चयन पर निर्भर नहीं करता है।

प्रश्न 3.
क्या यह कहना सत्य है कि वर्गीकृत आँकड़ों के माध्य, माध्यक व बहुलक सदैव भिन्न-भिन्न होंगे? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
हल :
यह सदैव सत्य नहीं है, क्योंकि ये तीनों मान किसी विशेष आँकड़ों के लिए बराबर भी हो सकते हैं क्योंकि यह उन आँकड़ों पर निर्भर करता है।

प्रश्न 4.
क्या वर्गीकृत आँकड़ों के लिए माध्यक वर्ग एवं बहुलक वर्ग सदैव भिन्न-भिन्न होंगे? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
हल :
यह सदैव सत्य नहीं है, क्योंकि यह बात आँकड़ों पर निर्भर करती है।

प्रश्न 5.
क्या अवर्गीकृत आँकड़ों का माध्य और उन आँकड़ों को वर्गीकृत करके निकाले गए माध्य सदैव समान होते हैं? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
हल :
यह कथन सदैव सत्य नहीं है, क्योंकि जब हम वर्गीकृत आँकड़ों से माध्य ज्ञात करते हैं, तो यह मानकर चलते हैं कि बारम्बारता सम्पूर्ण वर्ग में समान रूप से वितरित होता है।

प्रश्न 6.
क्या यह कहना सत्य है कि तोरण बारम्बारता बंटन का ग्राफीय निरूपण है। अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
नहीं, क्योंकि बारम्बारता बंटन का ग्राफीय निरूपण तोरण नहीं, बल्कि आयत चित्र, बारम्बारता बहुभुज एवं बारम्बारता वक्र हो सकता है और तोरण संचयी बारम्बारता बंटन का ग्राफीय निरूपण होता है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 14 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 14 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
संचयी बारम्बारता सारणी बनाना निम्न के परिकलन में उपयोगी है
(a) माध्य
(b) माध्यक
(c) बहुलक
(d) ये सभी।
उत्तर:
(b) माध्यक

प्रश्न 2.
निम्न वितरण में :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 46
आय सीमा Rs 16,000 – 19,000 रखने वाले परिवारों की संख्या होगी :
(a) 15
(b) 16
(c) 17
(d) 19.
उत्तर:
(d) 19.

प्रश्न 3.
एक कक्षा के 60 विद्यार्थियों की ऊँचाईयों के निम्न बारम्बारता बंटन का अवलोकन कीजिए :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 47
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा एवं माध्यक वर्ग की उच्च सीमा का योग होगा :
(a) 310
(b) 315
(c) 320
(d) 330.
उत्तर:
(b) 315

प्रश्न 4.
ΣfixiΣfi सूत्र है:
(a) माध्य का
(b) माध्यक का
(c) बहुलक का
(d) सूचकांक का।
उत्तर:
(a) माध्य का

प्रश्न 5.
a+ΣfidiΣfi सूत्र है.
(a) माध्य का
(b) माध्यक का
(c) बहुलक का
(d) सूचकांक का।
उत्तर:
(a) माध्य का

प्रश्न 6.
a+ΣfiuiΣfi×h सूत्र है :
(a) माध्य का
(b) माध्यक का
(c) बहुलक का
(d) सूचकांक का।
उत्तर:
(a) माध्य का

प्रश्न 7.
l1+(n2cff)×h सूत्र है:
(a) माध्य का
(b) माध्यक का
(c) बहुलक का
(d) सूचकांक का।
उत्तर:
(b) माध्यक का

प्रश्न 8.
l1+(f1f02f1f0f2)×h सूत्र है:
(a) माध्य का
(b) माध्यक का
(c) बहुलक का
(d) सूचकांक का।
उत्तर:
(c) बहुलक का

प्रश्न 9.
सूत्र x¯¯¯=a+ΣfidiΣfi में d विचलन है a से निम्न वर्ग :
(a) वर्गों की निम्न सीमाओं का
(b) वर्गों की उच्च सीमाओं का
(c) वर्गों के.मध्य-बिन्दुओं का
(d) वर्ग चिन्हों की बारम्बारताओं का।
उत्तर:
(c) वर्गों के.मध्य-बिन्दुओं का

प्रश्न 10.
जब वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य ज्ञात किया जाता है, तो हम यह कल्पना करते हैं कि बारम्बारताएँ
(a) सम्पूर्ण वर्गों में समान रूप से वितरित होती हैं
(b) वर्ग चिह्नों पर केन्द्रीकृत होती हैं
(c) उच्च वर्ग सीमाओं पर केन्द्रित होती हैं
(d) निम्न वर्ग सीमाओं पर केन्द्रित होती हैं
उत्तर:
(b) वर्ग चिह्नों पर केन्द्रीकृत होती हैं

प्रश्न 11.
यदि xi वर्ग अन्तरालों के मध्य-बिन्दु हों, fi संगत बारम्बारताएँ एवं x¯¯¯ माध्य हो, तब Σfixinx¯¯¯ बराबर होगा:
(a) 0
(b) -1
(c) 1
(d) 2.
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 12.
वर्गीकृत बारम्बारता बटन में प्रयुक्त सूत्र x¯¯¯=a+h(ΣfiuiΣfi) में u; बराबर होगा :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 48
उत्तर:
(c) xiah

प्रश्न 13.
‘से कम’ प्रकार के एवं ‘से अधिक’ प्रकार के संचयी बारम्बारता वक्रों के प्रतिच्छेद बिन्दु का गुण होगा:
(a) माध्य
(b) माध्यक
(c) बहुलक
(d) ये सभी।
उत्तर:
(b) माध्यक

प्रश्न 14.
निम्न वितरण :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 49
में माध्यक वर्ग एवं बहुलक वर्ग की निम्न सीमाओं का योग होगा :
(a) 15
(b) 25
(c) 30
(d) 35.
उत्तर:
(c) 30

प्रश्न 15.
निम्न बारम्बारता बंटन (वितरण) का अवलोकन कीजिए :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 50
माध्यक वर्ग की उच्च सीमा है:
(a) 17
(b) 17.5
(c) 18
(d) 18.5.
उत्तर:
(b) 17.5

प्रश्न 16.
निम्न वितरण के लिए:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 51
बहुलक का वर्ग है:
(a) 10-20
(b) 20-30
(c) 30-40
(d) 50-60.
उत्तर:
(c) 30-40

प्रश्न 17.
निम्न प्रेक्षणों का अवलोकन कीजिए :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 52
माध्यक वर्ग की उच्च सीमा एवं बहलक वर्ग की निम्न सीमा का अन्तर है
(a) 0
(b) 19
(c) 20
(d) 38.
उत्तर:
(c) 20

प्रश्न 18.
150 धावकों द्वारा 110 m हर्डल दौड़ में लिए गए सेकण्ड में समयों को निम्न प्रकार सारणीकृत किया गया है:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 53
14.6 सेकण्ड से कम समय में अपनी दौड़ सम्पन्न करने वाले धावकों की संख्या है
(a) 11
(b) 71
(c) 82
(d) 130.
उत्तर:
(c) 82

प्रश्न 19.
निम्न वितरण का अवलोकन कीजिए :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 54
वर्ग 30-40 की बारम्बारता है:
(a) 3
(b) 4
(c) 48
(d) 57
उत्तर:
(a) 3

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. …………….. = 3 x माध्यक – 2 x माध्य।
2. सूत्र x¯¯¯=a+ΣfidiΣfi में a ………………… कहलाता है।
3. माध्यक = l+(n2cfif)h में l ……. होती है।
4. बहुलक = l+(f1f02f1f0f2)×h में h …………… होता है।
5. सूत्र x¯¯¯=a+(fiuiΣfi)×h में ui = ………. होगा।
उत्तर-
1. बहुलक,
2. कल्पित माध्य,
3. माध्यक वर्ग की निम्न सीमा,
4. बहुलक वर्ग की वर्ग माप,
5. xiah

जोड़ी मिलाना

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions 55
उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4.→(a),
5. →(b).

सत्य/असत्य कथन

1. समान प्रेक्षणों के वर्गीकृत एवं अवर्गीकृत आँकड़ों से निकाले गए माध्यमों का मान सदैव समान होता है।
2. सूत्रों द्वारा केन्द्रीय मापों के परिकलन में वर्गों का सतत होना आवश्यक है।
3. समान प्रेक्षणों के वर्गीकृत एवं अवर्गीकृत आँकड़ों से निकाले गए बहलकों का मान सदैव समान होता है।
4. संचयी बारम्बारता सारणी की आवश्यकता माध्यक का परिकलन करने में होती है।
5. बारम्बारता वक्र तोरण कहलाता है।
उत्तर-
1. असत्य,
2. सत्य
3. असत्य,
4. सत्य,
5. असत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. केन्द्रीय प्रवृत्ति की मापों माध्य, माध्यक एवं बहुलक में से कोई भी दो मापें दी हैं, तो तीसरी माप कैसे , ज्ञात करेंगे?
2. संचयी बारम्बारता वक्र को क्या कहते हैं?
3. सर्वाधिक बारम्बारता वाला वर्ग क्या कहलाता है?
4. सम्पूर्ण वितरण को दो बराबर भागों में बाँटने वाला अंक जिस वर्ग अन्तराल में होता है उस वर्ग को क्या कहते हैं?
5. तोरण कितने प्रकार के होते हैं?
6. 1, 2, 3, 4, 5 समान्तर माध्य क्या होगा? (2019)
7. माध्यिका का सूत्र लिखिए। (2019)
उत्तर-
1. बहुलक = 3 x माध्यक – 2 x माध्य सूत्र का प्रयोग करके,
2. तोरण,
3. बहुलक वर्ग,
4. माध्यक वर्ग.
5. दो प्रकार के,
6. 3 (तीन).
7. माध्यिका = l+(n/2cff)×h

TENSE

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