MP Board Class 10th Maths | समान्तर श्रेढ़ियाँ

प्रश्न 1.
निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में सम्बद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों?
(i) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया ₹ 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया ₹ 8 है।
(ii) किसी बेलन (Cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का – भाग बाहर निकाल देता है।
(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹ 150 है और बाद में प्रत्येक मीटर की खुदाई की लागत ₹ 50 बढ़ती जाती है।
(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹ 10,000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
हल:
(i) हाँ, 15, 23.31, 39, ………… एक A.P. बनाते हैं क्योंकि प्रत्येक अगला पद पिछले पद में एक निश्चत संख्या 8 जोड़ने से प्राप्त होता है।
(ii) नहीं, आयतन V,3V4,(34)² V,(34)³ …… क्योंकि सार्वान्तर समान नहीं है।
(iii) हाँ, खुदाई की लागत ₹ 150, 200, 250, 300, ………… एक A.P. बनाते हैं क्योंकि प्रत्येक अगला पद पिछले पद में एक निश्चित संख्या 50 जोड़ने से प्राप्त होता है।
(iv) नहीं, राशियाँ 10,000 (1 + 8100). 10,000 (1 + 8100)² , 10,000 (1 + 8100)³, 10,000 (1 + 8100)⁴ …………. सार्वान्तर समान नहीं हैं।

प्रश्न 2.
दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद और सार्वान्तर में निम्नलिखित हैं :
(i) a = 10, d = 10
(ii) a = – 2,d = 0
(iii) a = 4, d = -3
(iv) a = – 1, d =
(v) a = -1, d = 12
हल:
(i) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : 10, 20, 30, 40
(ii) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : -2, -2, -2, -2
(iii) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : 4, 1, -2, -5
(iv) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : – 1, –12, 0, 12.
(v) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : – 1-25, -1:50, -1.75, -2.00

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिए प्रथम पद तथा सार्वान्तर लिखिए :
(i) 3, 1,-1,-3, ……….
(ii) -5, -1, 3, 7, ………….
(iii) 13,53,93,133 ………….
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3:9 ………….
हल:
(i) प्रथम पद: a = 3 एवं सार्वान्तर d = 1 – 3 = -2.
(ii) प्रथम पद a = -5 एवं सार्वान्तर d = (-1) – (-5) = -1 + 5 = 4
(iii) प्रथम पद : a = 13 एवं सार्वान्तर d = 53 – 13 = 43
(iv) प्रथम पद : a = 0.6 एवं सार्वान्तर d = 1.7 – 0.6 = 1.1.

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P. है? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्वान्तर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद और लिखिए :
(i) 2, 4, 8, 16, …………..
(ii) 2,52,3,72 ………………
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ………..
(iv) -10, -6, -2, 2, ……….
(v) 3,3 + 2–√, 3 + 2 2–√, 3 + 32–√ ……………..
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222 ………………….
(vii) -1,-4,-8,-12 ……………..
(viii) –12,-12,-12,-12
(ix) 1,3,9,27, ………..
(x) a, 2a, 3a, 4a, …………
(xi) a,a²,a³,a⁴, …………..
(xii) 2–√, 8–√, 18−−√, 32−−√, ………………..
(xiii) 3–√, 6–√, 9–√, 12−−√, ………………..
(xiv) 1², 3², 5², 7², ………………
(xv) 1²,5²,7²,7³, ………………
हल:
(i) 2, 4, 8, 16,………………

⇒ (a₂ – a₁) ≠ (a₃ – a₂) ≠ (a₄ – a₃)
अतः यह A.P. नही है।

(ii) 2,52,3,72 ………………

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = 12 [सार्वान्तर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः = (72 + 12 = 4),(4 + 12 = 92) एवं (92 + 12 = 5)
अत: यह A.P. है तथा इसका सार्वान्तर d = 12 है, एवं इसके अगले तीन पद क्रमशः 4,92 एवं 5 हैं।

(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ………..

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = – 2 [सार्वान्तर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (-7.2, -2 = -9.2)
(-9.2 -2 = -11.2) एवं (-11.2 – 2 = -13.2)
अतः यह A.P. है जिसका सार्वान्तर d = -2 है तथा अगले तीन पद क्रमशः -9.2, -11.2 एवं -13.2 हैं।

(iv) -10, -6, -2, 2, ……….

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = 4 [सान्तिर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (2 + 4) = 6, (6 + 4)= 10 एवं (10 + 4)= 14.
अत: यह एक A.P. है, जिसका सार्वान्तर d = 4 है तथा इसके अगले तीन पद क्रमशः 6, 10 एवं 14 हैं।

(v) 3,3 + 2–√, 3 + 2 2–√, 3 + 32–√ ……………..

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = 2–√ [सार्वान्तर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (3 + 32–√ + 2–√ = 3 + 42–√), (3 + 42–√ + 2–√ = 3 + 52–√),
एवं (3 + 52–√ + 2–√ = 3 + 62–√)
अत: यह एक A.P. है जिसका सार्वान्तर d = 2–√ है तथा इसके अगले तीन पद क्रमशः
(3 + 4 2–√), (3 + 52–√) एवं (3 + 62–√) हैं।

(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222 ………………….

अतः यह A.P. नहीं हैं।

(vii) -1,-4,-8,-12 ……………..
⇒ a₂ – a₁ = (-4) – (0) = -4
a₃ – a₂ = (-8) – (-4) = -4
a₄ – a₃ = (-12) – (-8) = -4
⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃)= -4 [सावन्तिर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (-12 -4 = -16); (-16 -4 = -20) एवं (-20 -4) = -24.
अत: यह एक A.P. है जिसका सार्वान्तर d = – 4 तथा इसके अलगे तीन पद : -16, -20 एवं -24 हैं।

(viii) –12,-12,-12,-12

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = 0 [सान्तिर (d)]
= अगले तीन पद क्रमशः (-12 + 0 = – 12), (-12 + 0 = – 12 एवं (-12 + 0 = – 12)
अतः यह एक A.P. है जिसका सार्वान्तर d = 0 है तथा इसके अगले तीन पद क्रमशः – 12, – 12 एवं –12 हैं।

(ix) 1,3,9,27, ………..

अतः यह A.P. नहीं हैं।

(x) a, 2a, 3a, 4a, …………

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = a [सार्वान्तर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (4a + a = 5a), (5a+a = 6a) एवं (6a + a = 7a).
अतः यह एक AP है जिसका सार्वान्तर d = a है तथा अगले तीन पद 5a, 6a एवं 7a हैं।

(xi) a,a²,a³,a⁴, …………..

⇒ (a₂ – a₁) ≠ (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃)
अत: यह एक A.P. नहीं है।

(xii) 2–√, 8–√, 18−−√, 32−−√, ………………..
अर्थत 2–√,22–√,32–√,42–√,………………

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = 2–√ [सार्वान्तर (d)]
= अगले तीन पद क्रमशः (42–√ + 2–√ = 52–√ = 50−−√)
(52–√ + 2–√ = 62–√ = 72−−√) एवं (62–√ + \(\sqrt { 2 \) = 72–√ = 98−−√)
अत: यह एक A.P. है, जिसका सार्वान्तर d = 2–√ तथा अगले तीन पद क्रमशः 50−−√, 72−−√ एवं 98−−√ हैं।

(xiii) 3–√, 6–√, 9–√, 12−−√, ………………..
a₁ = √3, a₂ = √6, a₃ = √9, a₄ = √12
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = √6 – √3 = √3(√2 – 1)
a₃ – a₂ = √9 – √6 = √3(√3 – √2)
a₄ – a₃ = √12 – √9 = 2√3 – 3
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अत: दिया गया अनुक्रम एक A.P. में नहीं है।

(xiv) 1², 3², 5², 7², ………………
अर्थत 1,9,25,49, ………………..
⇒ a₂ – a₁ = 9 – 1 = 8
a₃ – a₂ = 25 – 9 = 16
a₄ – a₃ = 49 – 25 = 24
= (a₂ – a₁) ≠ (a₃ – a₂) ≠ (a₄ – a₃)
अतः यह एक A.P. नहीं है।

(xv) 1², 5², 7², 73, ………………..
अर्थात् 1, 25, 49, 73 ……………….
a₁ = 1², a₂ = 5², a₃ = 7², a₄ = 73,
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = 5² – 1² = 25 – 1 = 24
a₃ – a₂ = 7² – 5² = 49 – 25 = 24
a₄ – a₃ = 73 – 7² = 73 – 49 = 24
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (24) है।
सार्वान्तर (d) = 24 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद = चौथा पद + सार्वान्तर (d) = 73 + 24 = 97
छठाँ पद = पाँचवाँ पद + सार्वान्तर (d) = 97 + 24 = 121 = (11)²
सातवाँ पद = छठा पद + सार्वान्तर (d) = (11)² + 24 = 121 + 24 = 145
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : 97, 11², 145 होंगे।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी में रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P. का प्रथम पद a, सार्वान्तर d और n वाँ पद a_n है :
हल:

हल:
(i) ∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ a_n = 7 + (8 – 1) × 3
⇒ a_n = 7 + 7 × 3
⇒ a_n = 7 + 21 = 28

(ii) ∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ 0 = – 18 + (10 – 1) × d
⇒ 0 = – 18 + 9d
⇒ 9d = 18
⇒ d = 189 = 2.

(iii) ∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ -5 = a + (18 – 1) (-3)
⇒ -5 = a+ 17(-3)
⇒ -5 = a – 51
⇒ a = 51 – 5 = 46.

(iv) ∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ 3.6 = 18.9 + (n – 1) × 25
⇒ 3.6 = – 18.9 + 2.5n – 2.5
⇒ 2.5n = 18.9 + 3.6 + 2.5
⇒ 2.5 n = 25.0
⇒ n = 252.5 = 10

(v) ∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ a_n = 35 + (105 – 1) × 0
⇒ a_n = 35 + 104 × 0
⇒ a_n = 3.5
अतः अत: a_n = 3.5

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:
(i) AP: 19,7, 4 ….. 30 वाँ पद है :
(a) 97
(b) 77
(c) -77
(d) -87

(ii) AP -3, –12, 2, …….. का 11 वाँ पद है:
(a) 28
(b) 22
(c) -38
(d) -48 12
हल:
(i) सही उत्तर (C) -77 है, क्योंकि a = 10, d = -3, n = 30
एवं a_n = a + (n – 1)d ⇒ a₃₀ = 10 + (30 – 1) (-3)
⇒ a₃₀ = 10 – 29 × 3 ⇒ 10 – 87 = -77

(ii) सही उत्तर (B) 22 है, क्योंकि a = -3, d = 212, n = 11
एवं a_n = a + (n – 1)d ⇒ a_n = -3 + (11 – 1) (2.5)
⇒ a₁₁ = -3 + 10 × 2.5 = -3 + 25 = 22

प्रश्न 3.
निम्नलिखित सामान्तर श्रेढ़ियों में रिक्त स्थानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए।
(i) 2, [], 26
(ii) [], 13, [], 3
(iii) 5, [], [], 912
(iv) -4, [], [], [], [], 6
(v) [], 38, [], [], [],-22
हल:
(i) प्रश्नानुसार, a = 2, a₃ = 26 एवं n = 3.
चूंकि an = a + (n – 1) (d)
⇒ 26 = 2 + (3 – 1)d
⇒ 26 = 2 + 2d ⇒ 2d = 26 – 2 = 24 ⇒ d = 242 = 12
अतः रिक्त स्थान a₂ = a + d = 2 + 12 = 14
अत: अभीष्ट रिक्त स्थान (box) में पद 14 होगा।

(ii) प्रश्नानुसार, a₂ = 13 एवं a₄ = 3
⇒ 13 = a + (2 – 1)d ⇒ a + d = 13 ….(1)
एवं 3 = a+ (4 – 1)d ⇒ a + 3d = 3 …..(2)
⇒ 2d = 3 – 13 = – 10 ⇒ d = –102 = -5
[समी. (2) – समी. (1) से]
d = -5 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a – 5 = 13 ⇒ a = 13 + 5 = 18
एवं a₃ = a + (3 – 1) (-5) = 18 + 2(-5) = 18 – 10 = 8
अतः अभीष्ट रिक्त स्थान में पद क्रमशः 18 एवं 8 होंगे।

(iii) प्रश्नानुसार, a = 5 एवं a₄ = 9 12
⇒ 912 = 5 + (4 – 1) (d) ⇒ 912 = 5 + 3d
⇒ 3d = 9 12 – 5 = 4 12 ⇒ d = 13 × 412 = 112
⇒ a2 = 5 + 1 12 = 612
एवं a3 = 5 + 2 × 1 12 = 5 + 3 = 8
अत: अभीष्ट रिक्त स्थानों के अभीष्ट पद क्रमशः 612 एवं 8 हैं।

(iv) प्रश्नानुसार, a = – 4 एवं a₆ = 6
⇒ 6 = -4 + (6 – 1)d = 6 = -4 + 5d
⇒ 5d = 6 + 4 = 10 ⇒ d = 105 = 2
अब a₂ = -4 + 2 = -2
a₃ = -4 + 2 × 2 = -4 + 4 = 0
a₄ = -4 + 3 × 2 = -4 + 6 = 2
a₅ = -4 + 4 × 2 = -4 + 8 = 4
अतः अभीष्ट पद क्रमशः – 2,0,2 एवं 4 हैं।

(v) प्रश्नानुसार, a₂ = 38 एवं a₆ = -22
⇒ 38 = a + d ⇒ a + d = 38 ….(i)
एवं -22 = a + 5d ⇒ a + 5d = – 22 ….(ii)
⇒ 4d = -60 [समीकरण (2)- समीकरण (1) से]
⇒ d = – 604 = -15
d =-15 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + (-15) = 38 ⇒ a = 38 + 15 = 53
अब a₃ = 53 + 2 × (-15) = 53 – 30 = 23
a₄ = 53 + 3 × (-15) = 53 – 45 = 8
a₅ = 53 + 4 × (-15) = 53 – 60 = -7
a₆ = 53 + 5 × (- 15) = 53 – 75 = – 22
अत: अभीष्ट रिक्त स्थान में पद क्रमशः 53, 23, 8, -7 होंगे।

प्रश्न 4.
AP : 3, 8, 13, 18, ……….. का कौन-सा पद 78 है?
हल:
प्रश्नानुसार, a = 3,d = 8 – 3 = 5, a_n = 78
एवं a_n = a + (n – 1) × d
⇒ 78 = 3 + (n – 1) × 5 = 3 + 5n – 5
⇒ 5n = 78 + 5 – 3 = 80
⇒ n = 805 = 16
अत: अभीष्ट 16वाँ पद 78 है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों में से प्रत्येक श्रेणी में कितने पद हैं?
(i) 7, 13, 19, ………. 205
(ii) 18, 1512,13, …..(-47)
हल:
(i) चूँकि A.P : 7, 13, 19, ……. 205 (दी गयी है।)
प्रश्नानुसार, a = 7,d = 13 – 7 = 6 एवं a_n = 205
चँकि a_n = a + (n – 1) (d)
⇒ 205 = 7 + (n – 1) (6)
⇒ 205 = 7 + 6n – 6
⇒ 6n = 205 + 6 – 7 = 204
⇒ n = 2046 = 34
अतः श्रेणी में अभीष्ट 34 पद हैं।

(ii) चूँकि AP : 18, 1512, 13, ….., (-47) (दी गयी है)
प्रश्नानुसार, a = 18, d = 15, – 18 = -212, एवं a_n = -47
चूँकि a_n = a + (n – 1) (d)
⇒ -47 = 18 + (n – 1) (-212)
⇒ – 47 = 18 – 212n + 212
⇒ 52n = 47 + 18 + 212 = 6712 = 1352
⇒ n = 1352 × 25 = 27
अतः श्रेणी में अभीष्ट 27 पद हैं।

प्रश्न 6.
क्या AP. 11,8, 5, 2 ……… का एक पद — 150 है? क्यों?
हल:
प्रश्नानुसार, a = 11, d = 8 – 11 = -3, a_n = – 150.
चूँकि a_n = a + (n – 1) (d)
⇒ – 150 = 11 + (n – 1) (- 3) = 11 – 3n + 3
⇒ 3n = 150 + 11 + 3 = 164
⇒ n = 1643 = 54 23 जो एक पूर्णांक नहीं है।
अत: दत्त AP का कोई भी पद -150 नहीं होगा।

प्रश्न 7.
उस AP का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है। (2019)
हल:
प्रश्नानुसार, n₁₁ = 38 एवं n₁₆ = 73.
⇒ 38 = a + 10d ⇒ a + 10d = 38 …..(1)
एवं 73 = a + 15d ⇒ a + 15d = 73 …..(2)
⇒ 5d = 35 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
⇒ d = 355 = 7
अब d = 7 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 10 × 7 = 38 ⇒ a = 38 – 70 = – 32
अब a₃₁ = a + 30d = – 32 + 30 × 7
⇒ a₃₁ = -32 + 210 = 178
अंतः अभीष्ट 31वाँ पद = 178 है।

प्रश्न 8.
एक AP में 50 पद है, जिसका तीसरा पद 12 है और अन्तिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार, n = 50, a₃ = 12 एवं a₅₀ = 106.
चूँकि a_n = a + (n – 1)d
⇒ 106 = a + 49d ⇒ a + 49d = 106 …..(1)
एवं 12 = a + 2d ⇒ a + 2d = 12 …..(2)
⇒ 47d = 94 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से
⇒ d = 9447 = 2
d = 2 का मान समीकरण (2) में रखने पर,
a + 2 × 2 = 12 ⇒ a = 12 – 4 = 8
अब n₂₉ = 8 + 28 × 2 = 8 + 56 = 64
अतः अभीष्ट 29वाँ पद = 64 है।

प्रश्न 9.
यदि किसी AP के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और – 8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?
हल:
प्रश्नानुसार, a₃ = 4 एवं a₉ = – 8 है।
⇒ a₃ = a + 2d = 4 …..(1)
एवं a₉ = a + 8d = – 8 …..(2)
⇒ 6d = -12 [समीकरण (2)- समीकरण (1) से]
⇒ d = –126 = -2
d = – 2 का मान समीकरण (1) में रखने पर
चूँकि a + 2(-2) = 4 ⇒ a = 4 + 4 = 8.
अब a_n = a + (n – 1)d
⇒ 0 = 8 + (n – 1)(-2) ⇒ 0 = 8 – 2n + 2
⇒ 2n = 8 + 2 = 10 ⇒ n = 102 = 5
अतः अभीष्ट पाँचवाँ पद शून्य होगा।

प्रश्न 10.
किसी AP का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार, (a + 16d) – (a + 9d) = 7
⇒ 16d – 9d = 7 ⇒ 7d = 7 ⇒ d = 77 = 1
अतः d का अभीष्ट मान = 1 है।

प्रश्न 11.
AP3 , 15, 27, 39, …………. का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?
हल:
प्रश्नानुसार, a = 3, d = 15 – 3 = 12 एवं a_n – a₅₄ = 132
⇒ [3 + (n – 1) (12)] – [3 + (54 – 1) (12)] = 132
⇒ (3 + 12n – 12) – (3 + 53 × 12) = 132
⇒ 12n – 12 – 636 = 132
⇒ 12n = 132 + 12 + 636 = 780
⇒ n = 78012 = 65
अतः अभीष्ट 65वाँ पद होगा।

प्रश्न 12.
दो समान्तर श्रेढ़ियों का सार्वान्तर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अन्तर 100 है, तो इनके 1000 वें पदों का अन्तर क्या होगा?
हल:
प्रश्नानुसार, दो समान्तर श्रेढ़ियाँ क्रमशः a, a + d, a + 2d, …………., a + (n – 1)d
एवं b, b + d, b + 2d, …………, b + (n – 1)d
एवं [a+ (100 – 1)d] – [b + (100 – 1)d] = 100
⇒ (a + 99d) – (b + 99a) = 100
⇒ a – b = 100 ….(1)
अब [a + (1000 – 1)d] – [b+ (1000 – 1)d]
= (a + 999d) – (b + 999d)
= a – b = 100 [समीकरण (1) से]
अतः हजारवें पदों का अभीष्ट अन्तर = 100 होगा।

प्रश्न 13.
तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं।
हल:
7 से विभाज्य तीन अंकों वाली संख्याओं की सूची है।
105, 112, 119, ……………., 994
जहाँ, a = 105, d = 112 – 105 = 7 एवं a_n = 994
चूँकि an = a + (n – 1)d
⇒ 994 = 105+ (n – 1) × 7
⇒ 994 = 105 + 7n – 7
⇒ 7n = 994 + 7 – 105
⇒ 7n = 1001 – 105 = 896
⇒ n = 8967 = 128
अतः 7 से विभाज्य तीन अंकों वाली कुल अभीष्ट संख्याएँ 128 हैं।

प्रश्न 14.
10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?
हल:
10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की सूची है :
12, 16, 20, 24, …………, 248
जहाँ, a = 12,d = 16 – 12 = 4 एवं a_n = 248
चूँकि a_n = a + (n – 1)d
⇒ 248 = 12 + (n – 1) (4)
⇒ 248 = 12 + 4n – 4 = 4n + 8
⇒ 4n = 248 – 8 = 240
⇒ n = 2404 = 60
अत: 10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की अभीष्ट संख्या 60 है।

प्रश्न 15.
n के किस मान के लिए दोनों समान्तर श्रेढ़ियों 63, 65,67,………….. और 3, 10, 17,……… के nवें पद बराबर होंगे?
हल:
चूँकि प्रथम AP का a = 63 एवं d = 65 – 63 = 2, एवं द्वितीय A.P. का a’ = 3 एवं d’ = 10 – 3 = 7 है, तो प्रश्नानुसार,
63 + (n – 1) (2) = 3 + (n – 1) (7)
63 + 2n – 2 = 3 + 7n – 7
⇒ 61 + 2n = 7n -4
⇒ 7n – 2n = 61 + 4
⇒ 5n = 65 ⇒ n= 655 = 13
अतः n के अभीष्ट मान 13 के लिए दोनों श्रेढ़ियों के nवें पद बराबर होंगे।

प्रश्न 16.
वह AP ज्ञात कीजिए जिसकी तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
हल:
मान लीजिए कि AP का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है, तो
प्रश्नानुसार, a₃ = 16 ⇒ a + 2d = 16 ….(i)
एवं a₇ – a₅ = 12 ⇒ (a + 6d) – (a + 4d) = 12
⇒ 2d = 12 ⇒ d = 122 = 6 …..(2)
d का मान समीकरण (2) से समीकरण (1) में रखने पर,
a + 2 × 6 = 16 ⇒ a + 12 = 16 ⇒ a = 16 – 12 = 4
अतः अभीष्ट AP = 4, 10, 16, 22, ……… है।

प्रश्न 17.
AP 3,8, 13, ……………, 253 में अन्तिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
AP को घटते क्रम में लिखने पर,
253, 248, 243, ………… 13, 8, 3.
जहाँ a = 253 एवं d = (248 – 253) = -5
⇒ a₂₀ = 253 + (20 – 1) (-5)
= 253 + 19 (-5) = 253 – 95
= 158
अतः दत्त AP के अन्तिम पद से अभीष्ट 20वाँ पद = 158 है।

प्रश्न 18.
किसी AP के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा 6वें और 10वें पदों का योग 44 है। इस AP के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए a, a + d, a + 2d, a + 3d, ……., समान्तर श्रेढ़ी में हैं, तब प्रश्नानुसार,
∵ a₄ + a₈ = 24
⇒ (a + 3d) + (a + 7a) = 24
⇒ 2a + 10d = 24 ⇒ a + 5d = 12 ……(1)
एवं a₆ + a₁₀ = 44
⇒ (a + 5a) + (a + 9d) = 44
⇒ 2a + 14d = 44 ⇒ a + 7d = 22 …..(2)
⇒ 2d = 10 [समीकरण (2) – (1) से]
⇒ d = 102 = 5
d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 5 × 5 = 12 ⇒ a + 25 = 12 ⇒ a = 12 – 25 = – 13
⇒ a2 = a + d = -13 + 5 = -8
एवं a = a + 2d = – 13 + 5 × 2 = – 13 + 10 = -3
अतः दी हुई समान्तर श्रेढ़ी के अभीष्ट प्रथम तीन पद क्रमश: -13, -8 एवं -3 हैं।

प्रश्न 19.
सुब्बाराव ने 1995 में ₹ 5,000 के मासिक वेतन पर कार्य प्रारम्भ किया ओर प्रत्येक वर्ष ₹200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन ₹ 7000 हो गया?
हल:
सुब्बाराव के प्रतिवर्ष के वेतन की सूची एक AP का निर्माण करेगी, जिसमें a = ₹ 5,000, d = ₹ 200 एवं an = ₹ 7,000 होगा।
इसलिए प्रश्नानुसार,
a_n = a + (n – 1)d
⇒ 7000 = 5000 + (n – 1) × 200
⇒ 7000 = 5000 + 200n – 200
⇒ 7000 = 4800 + 200n
⇒ 200n = 7000 – 4800 = 2200
⇒ n = 2200200 = 11
अत: सुब्बाराव का अभीष्ट वेतन 11वें वर्ष में होगा।

प्रश्न 20.
रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत में ₹ 1.75 बढ़ाती गयी। यदि वें सप्ताह में उसकी बचत ₹ 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात
कीजिए।
हल:
रामकली के साप्ताहिक बचत की सूची एक AP का निर्माण करती है जिसमें a = ₹5 एवं d = ₹ 1.75 तथा a_n = ₹ 20.75, तो प्रश्नानुसार,
a_n = a + (n – 1)d
⇒ 20.75 = 5 + (n – 1) (1.75)
⇒ 20.75 = 5 + 1.75n – 1.75
⇒ 1.75n = 20.75 + 1.75 – 5
⇒ 1.75n = 22.50 – 5 = 17.50
⇒ n = 17.501.75 = 10
अतः n का अभीष्ट मान = 10 है।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 2, 7, 12, ……………. 10 पदों तक।
(ii)-37,-33,-29, …………….. 12 पदों तक।
(iii) 0.6,1.7,2.8, ………………. 100 पदों तक।
(iv) 115,112,110, ……….. 11 पदों तक।
हल:
(i) 2, 7, 12, ……….. 10 पदों तक
यहाँ a = 2,d = 7 – 2 = 5 एवं n = 10 है।
∵ S_n = n2 [2a + (n – 1)d]
⇒ S₁₀ = 102 [2 × 2 + (10 – 1) × 5]
= 5 (4 + 45)
⇒ S_n = 5 × 49 = 245
अत: अभीष्ट योग = 245 है।

(ii) -37,-33,-29, ……… 12 पदों तक
यहाँ a = -37, d = (-33) – (-37) = -33 + 37 = 4 एवं n = 12
∵ S_n = n2[2a + (n – 1)व]
⇒ S₁₂ = 122 [2 × (-37) + (12 – 1) (4)]
= 6 (-74 + 11 × 4)
= 6 (-74 + 44)
= 6 (-30) = -180
अतः अभीष्ट योग = -180 है।

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, …………. 100 पदों तक
यहाँ a = 0.6, d = 1.7 – 0.6 = 1.1 एवं n = 100
∵ S_n = n2[2a + (n – 1) d]
⇒ S₁₀₀ = 1002 [2 × 0.6 + (100 – 1) (1.1)]
= 50 (1.2 + 99 × 1.1)
= 50 (1.2 + 108.9)
⇒ S₁₀₀ = 50 × 110.1 = 5505.0
अभीष्ट योग = 5505 है।

(iv) 115,112,110 ………. 11 पदों तक
यहाँ, a = 115, d = 112 – 115 = 15−12180 = 3180 = 160 एवं n = 11
∵ S_n = n2 [2a + (n – 1)d]
⇒ S₁₁ = 112 [2 × 115 + (11 – 1) × 160]
= 112 [215 + 16]
= 112 [latex]\frac { 4+5 }{ 30 } [/latex] = 112 × 930 = 3320
अतः अभीष्ट योग = 3320 है।

प्रश्न 2.
नीचे दिए गए योगफलों को ज्ञात कीजिए :
(i) 7 + 1012 + 14 + ……………….. + 84
(ii) 34 + 32 + 30 + ………….+ 10
(iii) -5 + (-8) + (-11) + ………….+ (-230)
हल:
(i) S_n = 7 + 1012 + 14 + ……… + 84
चूँकि (1012 – 7) = (14 – 1012) = 312 ⇒ d = 72
अतः उक्त एक AP है, जहाँ a = 7 एवं a_n = 84.
∵ a_n = a + (n – 1) d
⇒ 84 = 7 + (n – 1) (72)
⇒ 168 = 14 + 7n – 7
⇒ 7n = 168 + 7 – 14 = 175 – 14 = 161
⇒ n = 1617 = 23, अतः श्रेढ़ी में 23 पद हैं।
चूँकि S_n = n2 [a + l] = n2[a + a_n]
⇒ S_n = 232 [7+ 84] = 232 × 91
= 20932 = 104612
अत: अभीष्ट योग = 104612 है।

(ii) S_n = 34 + 32 + 30 + …………… + 10
यहाँ a = 34,d = 32 – 34 = -2 एवं a_n = 10
∵ a_n = a + (n – 1)d
⇒ 10 = 34 + (n – 1) (-2)
⇒ 10 = 34 – 2n + 2
⇒ 2n = 36 – 10 = 26
⇒ n = 262 = 13, अतः श्रेणी में 13 पद हैं।
∴ S_n = n2 (a + a_n)
⇒ S_n = 132 (34 + 10)
= 132 × 44 = 13 × 22 = 286
अत: अभीष्ट योग = 286 है।

(iii) S_n = (-5)+ (-8) + (-11) + ………. + (-230)
यहाँ a = -5, d= (-8) – (-5) = -8 + 5 = -3 एवं a_n = -230
∵ a_n = a + (n – 1)d
⇒ – 230 = – 5 + (n – 1) (-3)
⇒ -230 = -5 – 3n + 3
⇒ 3n = 230 + 3 – 5 = 233 – 5 = 228
⇒ n = 2283 = 76
चूँकि S_n = n2 [a + a_n]
= 762 [-5 + (-230)]
= 38 (-235) = -8930
अतः अभीष्ट योग = -8930 है।

प्रश्न 3.
एक A.P. में
(i) a = 5, d = 3 और a_n = 50 दिया है। n और S_n ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7 और a₁₃ = 35 दिया है। d और S₁₃ ज्ञात कीजिए।
(iii) a₁₂ = 37 और d = 3 दिया है। a और S₁₂ ज्ञात कीजिए।
(iv) a₃ = 15 और S₁₀ = 125 दिया है। d और a₁₀ ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5 और S₉ = 75 दिया है। a और a₉ ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8 और S_n = 90 दिया है। n और a_n ज्ञात कीजिए।
(vii) a = 8, a_n = 62 और S_n = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।
(viii) a_n = 4, d = 2 और S_n = -14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n= 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
(x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) यहाँ a = 5, d = 3 एवं a_n = 50 (दिए हैं)
∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ 50 = 5 + (n – 1) × 3
⇒ 50 = 5 + 3n – 3
⇒ 3n = 50 + 3 – 5 = 48
⇒ n = 483 = 16
⇒ n = 483 = 16
और ∵ S_n = n2 [2a + (n – 1) × a]
= 162[2 × 5 + (16 – 1) × 3]
= 8 (10 + 45) = 8 × 55 = 440
अतः n एवं Sn के अभीष्ट मान क्रमशः 16 एवं 440 हैं।

(ii) यहाँ a = 7 एवं a₁₃ = 35 (दिए हैं)
∵ a_n = a+ (n – 1) × d
⇒ 35 = a₁₃ = 7 + (13 – 1) × d
⇒ 35 = 7 + 12d
⇒ 12d = 35 – 7 = 28
⇒ d = 2812 = 73
∵ S_n = n2 [2a + (n – 1) × d]
⇒ S₁₃ = 132 [2 × 7 + (13 – 1) × 73]
= 132 [14 + 12 × 73]
= 132 [14 + 28] = 132 [42]
= 13 × 21 = 273
अत: d एवं S₁₃ के अभीष्ट मान क्रमशः 73 एवं 273 हैं।

(iii) यहाँ a₁₂ = 37 और d = 3 (दिए हैं)
∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ 37 = a₁₂ = a + (12 – 1) × 3
⇒ 37 = a + 33
⇒ a = 37 – 33 = 4
∵ S_n = n2[2a + (n – 1) × d]
⇒ S₁₂ = 122 [2 × 4 + (12 – 1) × 3]
= 6 [8 + 33] = 6 × 41 = 246
अत: a एवं S₁₂ के अभीष्ट मान क्रमशः 4 एवं 246 हैं।

(iv) यहाँ a₃ = 15 और S₁₀ = 125 (दिए हैं)
∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ 15 = a₃ = a + (3 – 1) × d
⇒ a + 2d = 15 …..(1)
∵ S_n = n2 [2a + (n – 1) × d]
⇒ 125 = S₁₀ = 102 [2a + (10 – 1) × d]
⇒ 125 = 5[2a + 9d]
⇒ 2a + 9d = 25 …..(2)
एवं 2a + 4d = 30 [समीकरण (1) × (2) से]
⇒ 5d = – 5 ⇒ d = –55 = -1
d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 2 (-1) = 15 ⇒ a = 15 + 2 = 17.
अब ∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ a₁₀ = 17 + (10 – 1) × (- 1)
= 17 + 9 (-1) = 17 – 9 = 8
अत: d एवं a₁₀ के अभीष्ट मान क्रमशः -1 एवं 8 हैं।

(v) यहाँ d = 5 एवं S₉ = 75 (दिए हैं)
∵ S_n = n2 [a + a_n]

समीकरण (2) से a का मान समीकरण (1) में रखने पर,

अत: a एवं a₉ के अभीष्ट मान क्रमशः –353 एवं 853 हैं।

(vi) यहाँ, a = 2, d = 8 और S_n = 90 (दिए हैं)
∴ S_n = n2[2a + (n – 1) × d]
⇒ n2 × [2 × 2 + (n – 1) × 8] = 90
⇒ 4n + 8n² – 8n = 180
⇒ 8n² – 4n – 180 = 0
⇒ 2n² – n – 45 = 0
⇒ 2n² – 10n + 9n – 45 = 0
⇒ 2n(n – 5)+ 9(n – 5) = 0
⇒ (n – 5) (2n + 9) = 0
या तो 2n + 9 = 0 ⇒ n= –92 जो असम्भव है।
अथवा n – 5 = 0 ⇒ n = 5
अब ∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ a_n = 2 + (5 – 1) × 8
⇒ a_n = 2 + 32 = 34
अतः n एवं a_n के अभीष्ट मान क्रमशः 5 एवं 34 हैं।

(vii) यहाँ a = 8, a_n = 62 और S_n = 210 (दिए हैं)
∵ S_n = n2 [a + a_n]
⇒ 210 = n2 [8 + 62] = n2 × 70
⇒ 35n = 210 ⇒ n = 21035 = 6
∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ 62 = 8 + (6 – 1) × d = 8 + 5d
⇒ 5d = 62 – 8 = 54 ⇒ d = 54/5
अत: n और 4 के अभीष्ट मान क्रमशः 6 और 54/5 हैं।

(viii) यहाँ a_n = 4, d = 2 और S_n = – 14 (दिए हैं)
∵ a_n = a + (n – 1)d
⇒ 4 = a + (n – 1) × 2
⇒ a + 2n = 4 + 2 = 6 ….(1)
और ∵ S_n = n2 [a + a_n]
⇒ – 14 = n2[a + 4]
⇒ – 28 = n(a + 4) …..(2)
समीकरण (1) से a = 6 – 2n का मान समीकरण (2) में रखने पर,
-28 = n[6 – 2n + 4] = n(10 – 2n)
⇒ -28 = 10n – 2n²
⇒ 2n² – 10n – 28 = 0
⇒ n² – 5n – 14 = 0
⇒ n² – 7n+ 2n – 14 = 0
⇒ n(n – 7) + 2(n – 7) = 0
⇒ (n – 7) (n+ 2) = 0
या तो n + 2 = 0 तब n = -2 जो असम्भव है।
अथवा n – 7 = 0 ⇒ n = 7
n = 7 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 2 × 7 = 6 ⇒ a = 6 – 14 = – 8
अत: a एवं n के अभीष्ट मान क्रमशः -8 और 7 हैं।

(ix) यहाँ a = 3, n = 8 और S = 192 (दिए हैं)
S = n2[2a + (n – 1) × d]
⇒ 192 = 82[2 × 3 + (8 – 1) × d]
⇒ 192 = 4 [6 + 7d]
⇒ 7d + 6 = 48
⇒ 7d = 48 – 6 = 42
⇒ d = 427 = 6
अतः d का अभीष्ट मान 6 है।

(x) यहाँ l = 28, S = 144 और n = 9 (दिए हैं)
∵ S = n2(a + l)
⇒ 144 = 92(a + 28)
⇒ a + 28 = 144×29 = 16 × 2 = 32
⇒ a = 32 – 28 = 4
अत: a का अभीष्ट मान 4 है।

प्रश्न 4.
636 योग प्राप्त करने के लिए AP: 9, 17, 25, ……… के कितने पद लेने चाहिए?
हल:
यहाँ S_n = 636 तथा AP : 9, 17, 25,………… दिए हैं; जहाँ a = 9 एवं d = 25 – 17 = 8.
∵ Sn = n2[2a + (n – 1) × d]
⇒ 636 = n2[2 × 9 + (n – 1) × 8]
⇒ 636 = 9n + 4n² – 4n
⇒ 4n² + 5n – 636 = 0
⇒ 4n² +53n – 48n = 636 = 0
⇒ n(4n + 53) – 12(4n + 53) = 0
⇒ (4n + 53) (n – 12) = 0
या तो 4n + 53 = 0 ⇒ n = –534 जो असम्भव है।
अथवा n – 12 = 0 ⇒ n = 12
अत: 636 योग प्राप्त करने के लिए दी गई AP के हमें 12 पद लेने चाहिए।

प्रश्न 5.
किसी AP का प्रथम पद 5, अन्तिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या एवं सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ a = 5, l = 45 एवं S_n = 400 (दिए हैं)
∵ S_n = n2 [a + l]
⇒ 400 = n2 [5 + 45] = n2 × 50 = 25n
⇒ 25n = 400 ⇒ n = 40025 = 16
∵ a_n = l = a + (n – 1) × d
⇒ 45 = 5 + (16 – 1) × d
⇒ 15d = 45 – 5 = 40
⇒ d = 4015 = 83
अत: अभीष्ट पदों की संख्या एवं सार्वान्तर क्रमश: 16 एवं 8/3 हैं।

प्रश्न 6.
किसी AP के प्रथम एवं अन्तिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्वान्तर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग कितना है?
हल:
यहाँ a = 17, l = a_n = 350 एवं d = 9(दिए हैं)
∵ l = a_n = a + (n – 1) × d
⇒ 350 = 17 + (n – 1) × 9
⇒ 350 = 17 + 9n – 9
⇒ 9n = 350 + 9 – 17 = 359 – 17 = 342
⇒ n = 3429 = 38
और ∵ S_n = n2(a + l)
= 382(17 + 350)
= 19 × 367
= 6973
अतः दी गई AP में अभीष्ट पदों की संख्या 38 तथा उनका योग 6973 है।

प्रश्न 7.
उस AP के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।
हल:
यहाँ, d = 7, a₂₂ = 149 एवं n = 22 (दिए हैं)
∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ a₂₂ = a + (22 – 1) × 7 = 149
⇒ a + 147 = 149 ⇒ a = 149 – 147 = 2
और ∵ S_n = n2 (a + a_n)
⇒ S₂₂ = 222 [2 + 149]
= 11 × 151 = 1661
अत: AP के प्रथम 22 पदों का अभीष्ट योग = 1661 है।

प्रश्न 8.
उस AP के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
हल:
यहाँ n = 51, a₂ = 14 एवं a₃ = 18
∵ a₂ = a + (2 – 1)d = 14, ⇒ a + d = 14 ….(1)
एवं a₃ = a + (3 – 1)d = 18 ⇒ a + 2d = 18 …(2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर,
d = 18 – 14 = 4
d = 4 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 4 = 14 ⇒ a = 14 – 4 = 10
∵ S_n = n2 [2a + (n – 1) × d]
⇒ S₅₁ = 512 [2 × 10 + (51 – 1) × 4]
= 512 [20 + 200]
= 512 × 220
= 51 × 110 = 5610
अतः प्रथम 51 पदों का अभीष्ट योग = 5610 है।

प्रश्न 9.
यदि किसी AP के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो उसके प्रथम पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ
S₇ = 49 एवं S₁₇ = 289 दिए हैं।
⇒ S₇ = 72[2a + 6d] = 49
⇒ 7a + 21d = 49 ⇒ a + 3d = 7 …..(1)
एवं S₁₇ = 172 [2a +16d] = 289
⇒ a + 8d = 17 …..(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
5d = 10 ⇒ d = 105 = 2
d = 2 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 3 × 2 = 7 ⇒ a = 7 – 6 = 1
∵ S_n = n2 [2a + (n – 1) × d]
⇒ S_n = n2[2 × 1 + (n – 1) × 2]
= n2 [2 + 2n – 2] = n2 × 2n = n²
अतः प्रथम n पदों का अभीष्ट योग = n² है।

प्रश्न 10.
दर्शाइए कि a₁, a₂, ……… a_n, ….. एक AP बनाती है। यदि a_n नीचे दिए अनुसार परिभाषित हैं:
(i) a_n = 3 + 4n
(ii) a_n = 9 – 5n
साथ ही प्रत्येक स्थिति में प्रथम 15 पदों का योग भी ज्ञात कीजिए।
हल:

एवं a_n = 3 + 4n
यहाँ a₁, a₂, a₃, ……… a_n, ……………
= 7, 11, 15, ……….. (3 + 4n), एक AP है।
जहाँ a = 7 एवं d = 4 (सार्वान्तर)
अतः a₁, a₂, a₃, ………… a_n …………. एक AP बनाती है, यदि a_n = 3 + 4n. इति सिद्धम् अब AP के प्रथम पन्द्रह पदों का योग –
S_n = n2 [2a + (n – 1) d]
S₁₅ = 152 [2 × 7 + (15 – 1) (4)]
= 152 [70] [14 + 14 × 4]= 152 [14 + 56]
= 152 [70] = 15 × 35 = 525
अतः AP के प्रथम 15 पदों का अभीष्ट योग = 525 है।

एवं a_n = 9 – 5n
यहाँ, a₁, a₂, a₃, ……….. a_n, ……..
= 4, -1, -6, …………. (9 – 5n), ………….. एक AP है। जहाँ a = 4 एवं d = -5
अतः a₁, a₂, a₃, ………… an………… एक AP बनाती हैं, यदि a_n = 9 – 5n.
इति सिद्धम अब AP के प्रथम पन्द्रह पदों का योग –
∵ S_n = n2 [2a + (n – 1) d]
S₁₅ = 152 [2 × 4 + (15 – 1) (-5)]
= 152 [8 + 14 (-5)] = 152 [8 – 70]
= 152 (-62) = 15 (-31) = -465
अत: AP के प्रथम 15 पदों का अभीष्ट योग = -465 है।

प्रश्न 11.
यदि किसी AP के प्रथम n पदों का योग 4n – n² है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् S₁) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार तीसरे, 10 वें और n वें पद ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ S_n = 4n – n² (दिया है)
⇒ S₁ = 4 × 1 – (1)² = 4 – 1 = 3 ⇒ a = 3
⇒ S₂ = 4 × 2 – (2)² = 8 – 4 = 4
दूसरा पद a₂ = S₂ – S₁, = 4 – 3 = 1
⇒ सार्वान्तर d = a₂ – a₁ = 1 – 3 = -2
अब a₃ = a + 2d = 3 + 2 (-2) = 3 – 4 = -1
a₁₀ = a + 9d = 3 + 9 × (-2)= 3 – 18 = – 15
एवं a_n = a + (n – 1)d = 3 + (n – 1) (-2)
= 3 – 2n + 2 = 5 -2n
अतः अभीष्ट मान S₁ = a₁ = 3, S₂ = 4, a₂ = 1, a₃ = -1, a₁₀ = -15 एवं a_n = 5 – 2n है।

प्रश्न 12.
ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
हल:
6 से विभाज्य धन पूर्णांक हैं:
6, 12, 18, 24, …………….
यहाँ a = 6, d = 12 – 6 = 6, n = 40.
∵ S_n = n2 [2a + (n – 1) × d]
⇒ S₄₀ = 402 [2 × 6 + (40 – 1) × 6]
= 20 [12 + 240 – 6] = 20(246) = 4920
अतः अभीष्ट 6 से विभाज्य प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग 4920 है

प्रश्न 13.
8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
8 के गुणज हैं : 8, 16, 24, 32, …
यहाँ a = 8,d = 16 – 8 = 8 एवं n = 15
S_n = n2[2a + (n – 1) × d]
= 152 [2 × 8 + (15 – 1) × 8]
= 152 [16 + 120 – 8]
= 152 × 128 = 15 × 64 = 960
अत: 8 के प्रथम 15 गुणजों का अभीष्ट योग = 960 है।

प्रश्न 14.
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
0 और 50 के बीच की विषम संख्याएँ हैं:
1,3,5,7, ……………, 45,47, 49
जहाँ a = 1, d = 3 – 1 = 2, a_n = 49
∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ 49 = 1 + (n – 1) × 2
⇒ 49 = 1 + 2n – 2 = 2n – 1
⇒ 2n = 49 + 1 = 50 ⇒ n = 502 = 25
∵ S_n = n2[a + an]
⇒ S_n = 252 (1 + 49) = 252 × 50 = 25 × 25 = 625
अत: 0 और 50 के बीच सभी विषम संख्याओं का योग 625 है।

प्रश्न 15.
निर्माण कार्य से सम्बन्धित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलम्ब से पूरा करने के लिए जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार हैं : पहले दिन के लिए ₹200, दूसरे दिन के लिए ₹ 250, तीसरे दिन के लिए ₹300 इत्यादि अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलम्ब कर देता है ?
हल:
जुर्माने की राशि प्रतिदिन क्रमशः ₹200, ₹250, ₹300 ……….. है, जो एक AP का निर्माण करती है।
जहाँ a = ₹ 200, d = ₹ 250 – ₹ 200 = ₹ 50 एवं n = 30 दिन।
∵ S_n = n2 [2a + (n – 1) × d]
⇒ S₃₀ = 302 [2 × 200 + (30 – 1) × 50]
= 15 [400 + 1500 – 50]
= 15 [1900 – 50] = 15 × 1850
= ₹27750
अतः जुर्माने के रूप में कुल ₹ 27,750 राशि अदा करनी पड़ेगी।

प्रश्न 16.
किसी स्कूल के विद्यार्थियों के उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गयी है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए प्रथम पुरस्कार ₹ a है तथा d = – ₹ 20, n = 7 एवं S7 = ₹ 700 (दिए हैं)
∵ S_n = n2 [2a + (n – 1) × d]
⇒ 700 = 72 [2 × a + (7 – 1) × (- 20)]
⇒ 1400 = 7[2a – 120]
⇒ 1400 = 14a – 840
⇒ 14a = 1400 + 840 = 2240
⇒ a = 224014 = 160
a₂ = 160 – 20 = 140, a₃ = 140 – 20 = 120, a₄ = 120 – 20 = 100, a₅ = 100 – 20 = 80, a₆ = 80 – 20 = 60 एवं a₇ = 60 – 20 = 40
अत: अभीष्ट पुरस्कार क्रमशः ₹ 160, ₹140, ₹ 120, ₹100, ₹ 80, ₹60 एवं ₹40 है।

प्रश्न 17.
एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ कक्षा I का एक अनुभाग पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?
हल:
चूँकि प्रत्येक कक्षा के तीन-तीन अनुभाग हैं। इसलिए कक्षा I द्वारा 1 × 3 = 3 पेड़, कक्षा II द्वारा 2 × 3 = 6 पेड़, कक्षा III द्वारा 3 × 3 = 9 पैड़ इसी प्रकार कक्षा XII द्वारा 12 × 3 = 36 पेड़ लगाए जाएंगे। इस प्रकार 3, 6, 9, ……………, 36 एक AP का निर्माण करते हैं, जहाँ a = 3, d = 6 – 3 – 3 एवं n = 12.
∵ S_n = n2[2a + (n – 1) × d]
⇒ S₁₂ = 122 [2 × 3 + (12 – 1) × 3]
= 6 [6 + 33] = 6 × 39 = 234
अतः विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की अभीष्ट संख्या = 234 होगी।

प्रश्न 18.
केन्द्र A से आरम्भ करते हुए बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, …………. वाले उत्तरोत्तर अर्द्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (Spiral) बनाया गया है जैसा कि संलग्न आकृति 5.1 में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्द्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लम्बाई क्या है? (π = 227 लीजिए।)

हल:
मान लीजिए l₁, l₂, l₃, ………. क्रमशः A, B,
A, ………… केन्द्रों वाले अर्धवृत्तों की लम्बाईयाँ हैं, तो
l₁ = 0.5 π cm, l₂ = 1:0 π cm, l₃ = 1.5 π cm
इस प्रकार l₁, l₂, l₃, …………… अर्थात्
0.5 π, 1.0 π, 1.5 π, …………… 13 पद एक AP का निर्माण करते हैं।
जहाँ a = 0.5 π, d = 1.0 π – 0.5 π= 0.5 π एवं n = 13.
चूँकि S_n = n2[2a + (n – 1) × d]
⇒ S₁₃ = 132 [2 × 0.5 π + (13 – 1) × 0.5 π]
= 132 [1.0 π + 6.0 π] = 132 × 7.0 π
= 132 × 7.0 × 227 = 143 cm
अतः अभीष्ट सर्पिल की कुल लम्बाई = 143 cm है।

प्रश्न 19.
200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है कि सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्टे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्टे उससे अगली पंक्ति में 18 लट्टे इत्यादि (देखिए संलग्न आकृति 5.2)। ये 200 लट्टे कितनी पंक्तियों में रखे गये हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?

हल:
पंक्तियों में लट्ठों की संख्याएँ एक AP का निर्माण करती हैं, जहाँ a = 20, d = 19 – 20 = – 1 एवं S_n = 200, दिया है।
∵ S_n = n2[2a + (n – 1) × d]
⇒ 200 = n2 [2 × 20 + (n – 1) × (-1)]
⇒ 400 = n(40 – n + 1)
⇒ 400 = 41n – n²
⇒ n² – 41n + 400 = 0
⇒ n² – 25n – 16n + 400 = 0
⇒ n(n – 25) – 16(n – 25) = 0
⇒ (n – 25) (n – 16) = 0
या तो n – 25 = 0 तब n = 25
तब a₂₅ = 20 + (25 – 1) (-1) = 20 – 24 = – 4
अतः सबसे ऊपरी पंक्ति में -4 लट्टे होते हैं, जो असम्भव है, इसलिए n – 16 = 0 एवं n = 16
तथा a₁₆ = 20 + (16 – 1) (-1) = 20 – 15 = 5 लट्टे
अत: कुल पंक्तियाँ 16 हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में 5 लट्टे हैं।

प्रश्न 20.
एक आलू दौड़ (Potato race) में प्रारम्भिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 m की दूरी पर है तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं। (देखिए संलग्न आकृति 5.3)

प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारम्भ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़ कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है और वह ऐसा तब तक करती रहती है जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
हल:
पहले आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी a₁ = 2 × 5 = 10 m = a
दूसरे आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी a₂ = 2 × (5 + 3)= 2 × 8 = 16 m
तीसरे आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी a₃ = 2 × (8 + 3) = 2 × 11 = 22 m
इस प्रकार दौड़ी गई दूरियाँ क्रमशः 10 m, 16 m, 22 m, ……………… एक AP का निर्माण करती हैं।
जहाँ a = 10 m, d = (16 m – 10 m) = 6 m एवं n = 10
चूँकि S_n = n2 [2a + (n – 1) × d]
⇒ S₁₀ = 102 [2 × 10 + (10 – 1) × 6]
= 5 [20 + 54]
= 5 × 74 = 370 m
अतः प्रत्येक प्रतियोगी को कुल 370 m दूरी दौड़नी पड़ेगी।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

प्रश्न 1.
AP: 121, 117, 113 ………… का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा?
हल:
यहाँ AP का a = 121, d = 117 – 121 = -4
a_n < 0 प्रथम ऋणात्मक पद
चूँकि a_n = a + (n – 1) d < 0
⇒ 121 + (n – 1) (-4) < 0
⇒ 121 – 4n + 4 < 0
⇒ 125 – 4n < 0
⇒ 4n > 125
⇒ n > 1254 ⇒ n > 31 14
अत: अभीष्ट 32वाँ पद प्रथम ऋणात्मक होगा।

प्रश्न 2.
किसी AP के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस AP के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ a₃ + a₇ = (a + 2d) + (a + 6d) = 6 (दिया है)
⇒ 2a + 8d = 6 ⇒ a + 4d = 3 …….(1)
एवं a₃.a₇ = (a + 2d).(a + 6d) = 8 (दिया है।)
⇒ a² + 6ad + 2ad + 12d² = 8
⇒ a² + 8ad + 12d² = 8 ……(2)
समीकरण (1) से a = (3 – 4d) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
(3 – 4d)² + 8(3 – 4d) (d) + 12d² = 8
⇒ 9 – 24d + 16d² + 24d – 32d² + 12d² = 8
⇒ 28d² – 32d² + 24d – 24d = 8 – 9
⇒ -4d² = -1 ⇒ 4d² = 1
⇒ d² = 14 ⇒ d = ± 14−−√ = ±12
d = + 12 समीकरण (1) में रखने पर,
a + 4 (12) = 3 ⇒ a = 3 – 2 = 1
एवं d = – 12 समीकरण (1) में रखने पर,

अतः प्रथम 16 पदों का अभीष्ट योग 76 अथवा 20 है।

प्रश्न 3.
एक सीढ़ी के क्रमागत डण्डे परस्पर 25 cm की दूरी पर हैं। (देखिए संलग्न आकृति 5.4) डण्डों की लम्बाई एक समान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डण्डे की लम्बाई 45 cm है और सबसे ऊपर वाले डण्डे की लम्बाई 25 cm है। यदि ऊपरी और निचले डण्डे के बीच की दूरी 212 m है, तो डण्डों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लम्बाई 25 cm की आवश्यकता होगी?
हल:

आकृति 5.4

चूँकि डण्डों की संख्या = 25025 + 1 = 10 + 1 = 11
डण्डों की लम्बाई ऊपर से नीचे क्रमशः
25 cm, (25 + d) cm, (25 + 2d) cm, ………. = 45 cm.
जो AP का निर्माण करती है?
जहाँ a = 25 cm, a_n = 45 cm एवं n = 11
∴ S_n = n2 [a + a_n]
= 112 [25 + 45] = 112 × 70
= 11 × 35
= 385 cm अर्थात् 3.85 m
अतः लकड़ी की कुल अभीष्ट लम्बाई = 385 cm अर्थात् 3.85 m है।

प्रश्न 4.
एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x.का एक ऐसा मान है कि x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
मकानों के क्रमांक क्रमशः 1, 2, 3, 4, ………….., 49 हैं जो एक AP का निर्माण करते हैं।
जहाँ a = 1 एवं d = 2 – 1 = 1 एवं n = 49.
प्रश्नानुसार, चूँकि S_x-1 = S₄₉ – S_x

अतः x का अभीष्ट मान = 35 है।

प्रश्न 5.
एक फुटबॉल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है, जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लम्बाई 50 m है और वह ठोस कंक्रीट (Concrete) की बनी है। प्रत्येक सीढ़ी में 14 m की चढ़ाई है और 12 m का फैलाव (चौड़ाई) है। (देखिए संलगन आकृति 5.5) इस चबूतरे को बनाने में लगी कुल कंक्रीट का आयतन परिकलित कीजिए।

हल:
पहली सीढ़ी का आयतन = 14 × 12 × 50 = 254 m³
दूसरी सीढ़ी का आयतन = 14 × 1 × 50 = 504 m³
तीसरी सीढ़ी का आयतन = 14 × 32 × 50 = 754 m³
…………………………….
…………………………….
अतः सीढ़ियों के आयतन क्रमशः (ऊपर से नीचे की ओर). 254 m³, 504 m³, 754 m³, ……………..15 पद एक AP का निर्माण करते हैं,

अतः कंक्रीट का अभीष्ट आयतन 750 m³ होगा।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 5 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 5 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी AP के प्रथम पाँच पदों का योग और उसी श्रेणी के प्रथम सात पदों का योग का कुल योग 167 है। यदि उस श्रेणी के प्रथम 10 पदों का योग 235 हो, तो उस श्रेणी के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
माना AP का प्रथम पद a एवं सार्वान्तर d है, तो प्रश्नानुसार,
S₅ + S₇ = 52[2a + 4d] + 72[2a + 6d] = 167
10a+20d2+14a+42d2=167
24a+62d2 = 167 ⇒ 12a + 31d = 167 …(1)
S₁₀ = 102[2a + 9d] = 235
2a + 9d = 47 …(2)
12a + 54d = 282 ….(3) [समीकरण (2) x 6 से]
23d = 115 [समीकरण (3) – समीकरण (1) से]
d = 11523 = 5
d का मान समीकरण (2) में रखने पर,
2a + 9 x 5 = 47
2a = 47 – 45 = 2
a = 22=1
S_n = n2[2a + (n – 1) d]
S₂₀ = 202[2 x 1+ (20 – 1) x 5]
= 10[2 + 95]
= 10 x 97
= 970
अतः प्रथम 20 पदों का अभीष्ट योग = 970 है।

प्रश्न 2.
निम्न को ज्ञात कीजिए:
(i) 1 से 500 के मध्य उन पूर्णाकों का योग जो 2 और 5 से विभाज्य हैं।
(ii) 1 से 500 तक उन पूर्णाकों का योग जो 2 एवं 5 से विभाज्य हैं।
हल :
(i) 1 और 500 के मध्य 2 एवं 5 से विभाज्य अर्थात् 10 से विभाज्य पूर्णांक होंगे क्रमशः
10, 20, 30, 40, ……………., 480, 490.
जहाँ a = 10, d = 20 – 10 = 10 एवं a_n = 490
a_n = a + (n – 1) x d
10 + (n – 1) x 10 = 490
10 + 10n – 10 = 490
n = 49010=49 पद
S_n = n2[2a + (n-1) x d]
S₄₉ = 492[2 x 10 + (49-1) – 10]
= 492[20 + 480]
= 492 x 500
= 12250
अतः अभीष्ट योग = 12250 है।

(ii) 1 से 500 तक की 2 एवं 5 से विभाज्य अर्थात् 10 से विभाज्य संख्याएँ क्रमश: 10, 20, 30, ……………, 490, 500 होंगी, जो एक AP का निर्माण करती हैं,
जहाँ a = 10, d = 20 – 10 = 10 एवं a_n = 500.
a_n = a + (n-1) x d
10 + (n-1) x 10 = 500
10 + 10n – 10 = 500
n = 50010 = 50
S_n = n2[2a + (n-1) x d]
S₅₀ = 502[2 x 10 + (50 – 1) x 10]
S₅₀ = 25[20 + 490]
= 25 x 510
= 12750
अंत: अभीष्ट योग = 12750 है।

प्रश्न 3.
किसी AP का 8वाँ पद इसके दूसरे पद का आधा है एवं 11वाँ पद इसके 4वें पद के एक-तिहाई से एक अधिक है। इसके 15वें पद को ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए AP का प्रथम पद a एवं सार्वान्तर d है, तो प्रश्नानुसार,
a₈ = 12a₂
⇒ a + 7d = 12(a + d)
2a + 14d = a + d
⇒ a + 13d= 0 ….(1)
a₁₁ = 13a₄ + 1
a + 10d = 13(a + 3d) + 1
3a + 30d = a + 3d + 3
2a + 27d = 3
2a + 26d = 0 …(3) [समीकरण (1) x 2 से]
d = 3 [समीकरण (2) – समीकरण (3) से]
अब d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 13 x 3 = 0
a_n = – 13 x 3 = – 39
a = a + (n – 1) x d
a₁₅ = – 39 + (15 – 1) x 3
a₁₅ = – 39 + 42 = 3
अत: अभीष्ट 15वाँ पद = 3 है।

प्रश्न 4.
100 और 200 के मध्य उन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो
(i) 9 से विभाज्य है,
(i)9 से विभाज्य नहीं है।
हल :
(i) 100 एवं 200 के मध्य 9 से विभाज्य पूर्णांक हैं : 108, 117, 126, ……., 189, 198. जो एक AP का निर्माण करते हैं, जहाँ a = 108,d = 117 – 108 = 9 एवं a_n = 198
a_n = a+ (n-1) x d
198 = 108 + (n-1) x 9 = 108 + 9n – 9
9n = 198 + 9 – 108 = 207 – 108 = 99
n = 999 = 11
अब चूँकि S_n = n2[2a + (n-1) x d]
S₁₁ = 112[2 x 108 + (11-1) x 9]
= 112[216 + 90]
= 112 x 306
S₁₁ = 11 x 153
= 1683
अतः 100 और 200 के मध्य 9 से विभाज्य संख्याओं का अभीष्ट योग = 1683 है।

(ii) 100 और 200 के मध्य पूर्णांक क्रमशः 101, 102, 103, …………, 199 होंगे, जो एक AP का निर्माण करते हैं, जहाँ a = 101 एवं d = 102 – 101 = 1 तथा a_n = 199.
a_n = a + (n-1) x d
199 = 101 + (n – 1) x 1 = 101 + n-1 = n + 100
n = 199 – 100 = 99
S_n = n2[2a + (n-1) x d]
S₉₉ = 992[2 x 101+ (99 -1) x 1]
= 992[202 + 98]
= 992 x 300
= 99 x 150
= 14850
चूँकि 100 और 200 के मध्य 9 से अविभाज्य संख्याओं का योग
= 100 और 200 के मध्य सभी संख्याओं का योग – 100 और 200 के मध्य 9 से विभाज्य संख्याओं का योग।
अभीष्ट योग = 14850 – 1683 = 13167
अतः 100 और 200 के मध्य 9 से अविभाज्य संख्याओं का योग = 13167 है।

प्रश्न 5.
एक AP के 11वें पद का 18वें पद से अनुपात 2 : 3 है। 5वें पद का 21वें पद से अनुपात ज्ञात कीजिए और साथ ही प्रथम पाँच पदों के योग का प्रथम 21 पदों के योग से अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए AP का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है, तो प्रश्नानुसार,

अत: S₅ : S₂₁ का अभीष्ट अनुपात 5 : 49 है।

प्रश्न 6.
एक समान्तर श्रेढ़ी का 14वाँ पद उसके 8वें पद का दुगना है। यदि उसका छटा पद – 8 है, तो उसके प्रथम 20 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए AP का प्रथम पद a एवं सार्वान्तर d है, तो प्रश्नानुसार
a + 13d = 2(a + 7d)
= 2a + 14d
⇒ a + d = 0 …(1)
⇒ a + 5d = -8 …(2)
⇒ 4d = – 8 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
⇒ d = −84 = -2
⇒ a + (-2) = 0 [d का मान समीकरण (1) में रखने पर]
⇒ a = 2
⇒ S_n = n2[2a + (n-1)d]
⇒ S₂₀ = 202[2 x 2 + (20 – 1) (-2)]
= 10 (4 – 38)
= 10 (-34)
= – 340
अतः AP के प्रथम 20 पदों का अभीष्ट योग = – 340 है।

प्रश्न 7.
समान्तर श्रेढ़ी 8, 10, 12, ……………. का 60वाँ पद ज्ञात कीजिए। यदि उसमें कुल 60 पद हैं, तो इस श्रेढ़ी के अन्तिम दस पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दी हुई AP 8, 10, 12, ………….. T_n में ज्ञात है,
प्रथम पद a = 8 एवं सार्वान्तर d = 10 – 8 = 2 तथा n = 60 है।
∴ T_n = a + (n – 1)d
T₆₀ = 8 + (60 – 1) x 2
= 8 + 59 x 2
= 8 + 118
= 126
अत: अभीष्ट 60वाँ पद = 126 है।
अब श्रेढ़ी को उल्टे क्रम में लिखने पर,
AP = 126, 124, 122, ……… होगी।।
जिसका प्रथम पद a’ = 126 एवं सार्वान्तर d’ = 124 – 126 = – 2 एवं n’ = 10 है।
S_n’ = n′2[2a’ + (n’ – 1) x d’]
S₁₀ = 102[2 x 126 + (10 – 1) – (-2)]
S₁₀ = 5[252 + 9(-2)]
= 5[252 – 18]
= 5 x 234
= 1170
अतः श्रेणी के अन्तिम दस पदों का अभीष्ट योग = 1170 है।

प्रश्न 8.
यदि दो समान्तर श्रेढ़ियों के प्रथम n पदों के योगों में (7n + 1) : (4n + 27) का अनुपात है, तो उनके mवे पदों में अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए कि दी गई समान्तर श्रेढ़ियाँ हैं :
a₁, a₁ + d₁, a₁ + 2d₁, + ……….
एवं a₂, a₂ + d₂, a₂ + 2d₂ + ……….
तो प्रश्नानुसार,

2a₁ + nd₁ – d₁ = 7k n + k
d₁ n + 2a₁ – d₁ = 7k n + k
d₁ = 7k एवं 2a₁ – d₁ = k
[स्थिरांक एवं n के गुणांकों की तुलना करने पर]
2a₁ – 7k = k ⇒ 2a₁ = 8k ⇒ a₁ = 8k2 = 4k
2a₂ + nd₂ – d₂ = 4k n + 27k
d₂n + 2a₂ – d₂ = 4kn + 27k
d₂ = 4k एवं 2a₂ – d₂ = 27k
स्थिरांक एवं n के गुणांकों की तुलना करने पर]
2a₂ – 4k = 27k
⇒ 2a₂ = 31k
⇒ a₂ = 312 k

अतः उनके mवें पदों का अभीष्ट अनुपात = 14m−68m+23 है।

प्रश्न 9.
यदि दो समान्तर श्रेढ़ियों के n पदों के योगफलों का अनुपात (7n + 1) : (4n + 27) है, तो उनके 9वें पदों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
(m = 9 लेकर उपर्युक्त प्रश्न की तरह हल करें।)
[उत्तर – अभीष्ट अनुपात = 2419]

प्रश्न 10.
एक समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम पदों के योगफल को S_n द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। इस श्रेढ़ी में यदि S₅ + S₇ = 167 तथा S₁₀ = 235 है, तो समान्तर श्रेढ़ी ज्ञात कीजिए।
हल :
[निर्देश : दीर्घ उत्तरीय प्रश्न 1 का हल देखिए जिसमें हम a = 1 एवं d= 5 प्राप्त करते हैं।
चूँकि a = 1 एवं d = 5 तो
a₁ = a = 1
a₂ = a + d = 1 + 5 = 6
a₃ = a + 2d = 1 + 5 x 2 = 1 + 10 = 11
a₄ = a + 3d = 1 + 3 + 5 = 1 + 15 = 16
…………………………
………………………..
a_n = a+ (n – 1)d = 1 + (n – 1) x 5
= 1 + 5n – 5 = 5n – 4
अत: अभीष्ट समान्तर श्रेढी 1, 6, 11, 16, …. 5n – 4 हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 5 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
पुष्टि कीजिए कि निम्न में प्रत्येक AP है तब अगले तीन-तीन पद लिखिए :
(i) 0,14,12,34……..
(ii) 5,143,133,4…………
(iii) √3, 2√3, 3√3……
(iv) a + b, (a + 1) + b, (a +1) + (b + 1), ………
(v) a, 2a + 1, 3a + 2, 4a + 3,………
हल :
(i) 0,14,12,34……..
चूँकि यहाँ

सार्वान्तर समान है अतः AP है।
अब अगले तीन पद

अत: अभीष्ट अगले तीन 1,54,32 हैं।

(ii) 5,143,133,4…………
चूँकि यहाँ

सार्वान्तर समान हैं अत: AP है।
अब अगले तीन पद क्रमशः हैं

अतः अभीष्ट अगले तीन पद 113,103 एवं 3 हैं।

(iii) √3, 2√3, 3√3, ……
चूँकि यहाँ a₂ – a₁ = 2 √3 – √3 = √3
एवं a₃ – a₂ = 3 √3 – 2 √3 = 3
सार्वान्तर समान हैं अतः AP है।
अब अगले तीन पद क्रमशः हैं
(3√3 + √3 = 4√3), (4√3 + √3 = 5√3) एवं (5√3 + √3 = 6√3)
अत: अभीष्ट अगले तीन पद 4√3, 5√3, एवं 6√3 हैं।

(iv) a+ b, (a + 1)+ b, (a + 1) + (b + 1), ……
चूँकि यहाँ
a₂ – a₁ = [(a + 1) + b] – (a + b) = 1
a₃ – a₂ = [(a + 1) + (b + 1)] – [(a + 1) + (b)] = 1
………….
………….
सार्वान्तर समान है अत: AP है।
अब अगले तीन पद क्रमशः
(a + 1) + (b + 1) + 1 = (a + 2) + (b + 1)
(a + 2) + (b + 1) + 1 = (a + 2) + (b + 2)
(a + 2) + (b + 2)+ 1 = (a + 3) + (b + 2)
………
………
अतः अभीष्ट अगले तीन पद क्रमशः (a + 2) + (b + 1), (a + 2) + (b + 2) एवं (a + 3)+ (b + 2) हैं।

(v) a, 2a + 1, 3a + 2, 4a + 3, …..
चूँकि यहाँ
a₂ – a₁ = (2a + 1) – a = a+ 1
a₃ – a₂ = (3a + 2) – (2a + 1) = a + 1
एवं a₄ – a₃ = (4a + 3) – (3a + 2) = a + 1
……………
……………
सार्वान्तर समान है अत: AP है।
अब अगले तीन पद क्रमशः
(4a + 3) + (a + 1) = (5a + 4)
(5a + 4) + (a + 1) = (6a + 5)
(6a + 5) + (a + 1) = (7a + 6)
अत: अभीष्ट अगले तीन पद क्रमशः (5a + 4), (6a + 5) एवं (7a + 6) हैं।

प्रश्न 2.
उन AP के प्रथम तीन पद लिखिए जिनके a एवं d नीचे दिए गए हैं :
(i) a = 12, d = −16
(ii) a = -5, d = -3
(iii) a = √2, d = 12√
हल :
(i) यहाँ a = 12, एवं d = −16 (दिया है)


अतः अभीष्ट प्रथम तीन पद क्रमशः 12,13 एवं 16 हैं।

(ii) चूँकि यहाँ a = – 5 एवं d= – 3 (दिया है)
a₁ = a = -5
a₂ = a + d = (-5) + (-3) = – 5 – 3 = -8
a₃ = a + 2d = (-5) + 2 (-3) = – 5 – 6 = – 11
अतः अभीष्ट प्रथम तीन पद क्रमशः – 5, -8 एवं -11 हैं।

(iii) चूँकि यहाँ a = √2 एवं d = 12√ (दिया है)

अतः अभीष्ट प्रथम तीन पद क्रमशः 2–√,32√ एवं 42√ हैं।

प्रश्न 3.
a, b एवं c के मान ज्ञात कीजिए जिसमें कि a, 7, b, 13 एवं c एक AP में हों।
हल :
चूँकि a, 7, b, 23 एवं c एक AP में हैं और मान लीजिए प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d हो, तो
a₁ = a = a …(1)
a₂ = a + d = 7 …..(2)
a₃ = a + 2d = b ….(3)
a₄ = a + 3d = 23 …(4)
a₅ = a + 4d = c …….(5)
(a + 3d) – (a + d) = 23 – 7 [समी. (4) – समी. (2) से]
⇒ 2d = 16
⇒ d = 162 = 8
d = 8 का मान समीकरण (2) में रखने पर,
a + 8 = 7 ⇒ a = 7 – 8 = -1
अब b = a + 2d = – 1 + 2 x 8 = – 1 + 16 = 15
एवं c = a + 4d = – 1 + 4 x 8 = – 1 + 32 = 31
अतः a, b एवं c के अभीष्ट मान क्रमशः – 1, 15 एवं 31 हैं।

प्रश्न 4.
ज्ञात कीजिए कि 55 दी हुई AP 7, 10, 13,……. का कोई पद है या नहीं। अगर है तो ज्ञात कीजिए यह कौन-सा पद है?
हल :
AP : 7, 10, 13, …….. (दी है)
यहाँ a = 7 एवं d = 10 – 7 = 3
मान लीजिए 55 इस AP का nवाँ पद है
a_n = a + (n – 1)d
55 = 7 + (n – 1) x 3 = 7 + 3n – 3
3n = 55 + 3 – 7 = 58 – 7 = 51
n = 513 = 17
अतः 55 दी हुई AP का 17वाँ पद है।

प्रश्न 5.
निम्न AP का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 1 + (-2) + (-5) + (-8) + ……….. + (-236)
(ii) (4−1n)+(4−2n)+(4−3n)+ …. n पदों तक
(iii) a−ba+b+3a−2ba+b+5a−3ba+b+………11 पदों तक
हल :
(i) 1 + (-2) + (-5) + (-8) + ……. + (-236).
यहाँ a = 1 एवं d = (-2) – (1) = – 3 एवं a_n = – 236
a_n = a + (n – 1) x d
– 236 = 1 + (n – 1) (-3)
– 236 = 1 – 3n + 3
3n = 236 + 1 + 3 = 240
n = 2403 = 80
S_n = n2[a + a]
S₈₀ = 802 [1+ (-236)]
= 40 (-235)
= – 9400
अतः अभीष्ट योग = – 9400 है।

(ii) (4−1n)+(4−2n)+(4−3n)+ …. n पदों तक

अत: अभीष्ट योग = 12 (7n – 1) है।

(iii) a−ba+b+3a−2ba+b+5a−3ba+b+………11 पदों तक


अत: अभीष्ट योग = 11(11a−6b)a+b है।

प्रश्न 6.
AP: -2, -7, -12, ……. का कौन-सा पद – 77 है। इस AP का पद – 77 तक योग ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ a = – 2, d = (-7) – (-2) = -7 + 2 = – 5 एवं a_n = – 77
a_n = a + (n – 1) x d
– 77 = – 2 + (n – 1)(-5)= – 2 – 5n + 5
5n = 77 + 5 – 2 = 82 – 2 = 80
n = 802 = 16
अतः – 77 दी हुई AP का 16वाँ पद है।
अब ∵ S_n = n2[a + a_n]
S₁₆ = 162[-2 – 77]
= 8 (-79)
= – 632
अतः अभीष्ट योग = -632 है।

प्रश्न 7.
यदि a_n = 3 – 4n तो दर्शाइए कि a₁, a₂, a₃, ………. एक AP का निर्माण करते हैं। S₂₀ का मान भी ज्ञात कीजिए।
हल :
चूंकि a_n = 3 – 4n
a₁ = 3 – 4 x 1 = 3 – 4 = – 1
a₂ = 3 – 4 x 2 = 3 – 8 = – 5
a₃ = 3 – 4 x 3 = 3 – 12 = – 9
…………….
…………….
a₁, a₂, a₃, ……… =- 1, -5,-9, ……….
एवं a₂ – a₁ = (-5) – (-1) = – 5 + 1 = – 4
a₃ – a₂ = (-9) – (-5) = -9 + 5 = – 4
चूँकि यहाँ सार्वान्तर d = -4 समान है
अत: a₁, a₂, a₃, ……. एक AP का निर्माण करते हैं।
अब ∵ S_n = n2[2a + (n – 1) x d]
S₂₀ = 202[2 (-1) + (20 – 1) – (-4)]
= 10 [-2 – 76]
= 10 (-78)
= – 780
अतः S₂₀ का अभीष्ट मान = – 780 है।

प्रश्न 8.
एक समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 तथा इसके सभी पदों का योगफल 400 है। इस समान्तर श्रेढ़ी के पदों की संख्या तथा सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
हल :
दी हुई समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a = 5 तथा अन्तिम पद T_n = 45, योगफल S_n = 400 दिए हैं। मान लीजिए सार्वान्तर d है तो प्रश्नानुसार,
∵ S_n = n2 [a + T_n]
400 = n2 [5 + 45]
⇒ 25n = 400
n = 40025 = 16
T_n = a + (n – 1) x d
45 = 5 + (16 – 1) x d
15d = 40
d = 4015=83
अतः पदों की अभीष्ट संख्या = 16 एवं सार्वान्तर = 83 है।

प्रश्न 9.
श्रेढ़ी 20,1914,1812,1734….. का कौन-सा पद प्रथम ऋणात्मक पद हैं?
हल :
दी हुई समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a = 20
तथा सार्वान्तर d = 1914 – 20 = −34 है।
मान लीजिए nवाँ पद प्रथम ऋणात्मक पद है।
T_n = a + (n – 1)d
20+(n−1)×(−34)<0
80 + 3 – 3n < 0
3n > 83
n > 833
n > 2723
n = 28
अतः अभीष्ट प्रथम ऋणात्मक पद = 28वाँ पद है।

प्रश्न 10.
एक समान्तर श्रेढ़ी का चौथा पद शून्य है। सिद्ध कीजिए कि इसका 25वाँ पद उसके 11वें पद का तीन गुना है।
हल :
मान लीजिए किसी समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है तो प्रश्नानुसार,
T₄ = a + 3d = 0
⇒ a = -3d ……(1)
अब
⇒ T25T11=a+24da+10d …….(2)
समीकरण (1) से a = – 3d मान समीकरण (2) में रखने पर,
T25T11=−3d+24d−3d+10d=21d7d=3
T₂₅ = 3 x T₁₁
अतः दी हुई श्रेढ़ी का 25वाँ पद उसके 11वें पद का तीन गुना है।
इति सिद्धम्

MP Board Class 10th Maths Chapter 5 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्न में से कौन-कौन AP बनाते हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i)-1,-1,-1,-1, …………..
(ii) 0, 2, 0, 2, ………….
(iii) 1, 1, 2, 2, 3, 3, ……….
(iv) 11, 22, 33, …….
(v) 12,13,14…..
(vi) 2,2²,2³,2⁴,………..
(vii) √3, √12, √27, √48,…………..
हल :
(i)- 1, – 1, – 1, – 1, ……..
चूँकि a₂ – a₁ = (-1) – (-1) = 0
एवं a₃ – a₂ = (-1) – (-1) = 0
a₄ – a₃ = (-1) – (-1) = 0
a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = 0
अतः उक्त श्रेढ़ी एक AP है।

(ii) 0, 2, 0, 2, ….
चूँकि a₂ – a₁ = 2 – 0 = 2
एवं a₃ – a₂ = 0 – 2 = – 2
a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः उक्त श्रृंखला एक AP नहीं है।

(iii) 1, 1, 2, 2, 3, 3, …………
चूँकि a₂ – a₁ = 1 – 1 = 0
एवं a₃ – a₂ = 2 – 1 = 1
a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः उक्त श्रृंखला एक AP नहीं है।

(iv) 11, 22, 33, ….
चूँकि a₂ – a₁ = 22 – 11 = 11
एवं a₃ – a₂ = 33 – 22 = 11
a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = 11
अतः उक्त श्रृंखला एक AP है।

(v) 12,13,14…..

अतः उक्त श्रृंखला एक AP नहीं है।

(vi) 2, 2², 2³, 2⁴,…….
चूँकि a₂ – a₁ = 2² – 2 = 4 – 2 = 2
एवं a₃ – a₂ = 2³ – 2² = 8 – 4 = 4
a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः उक्त श्रृंखला एक AP नहीं है।

(vii) √3, √12, √27, √48,…………..
अर्थात् √3, 2√3, 3√3, 4√3,……..
चूँकि a₂ – a₁ = 2√3 – √3 = √3
एवं a₃ – a₂ = 3√3 – 2√3 = √3
a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = √3
अतः उक्त श्रृंखला एक AP है।

प्रश्न 2.
पुष्टि कीजिए कि यह कहना सत्य है कि −1,−32,−2,52 …… एक AP बनाती है। क्योंकि a₂ – a₁ = a₃ – a₂.
हल :
शृंखला −1,−32,−2,52 ……
चूँकि

चूँकि (a₃ – a₂) ≠ (a₄ – a₃)
अतः यह कहना गलत है कि उक्त श्रृंखला एक AP है।

प्रश्न 3.
एक AP -3,-7,-11,………. है। क्या हम बिना a₂₀ एवं a₃₀ ज्ञात किए हुए a₃₀ – a₂₀ का मान ज्ञात कर सकते हैं। अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
∵ a₃₀ = a + 29d
एवं a₂₀ = a + 19d
a₃₀ – a₂₀ = (a + 29d) – (a + 19d) = 10d
चूँकि यहाँ d = (-7) – (-3)
= -7 + 3
= -4
a₃₀ – a₂₀ = 10d = 10 (-4)
= -40
हाँ हम बिना a₂₀ एवं a₃₀ ज्ञात किए a₃₀ – a₂₀ ज्ञात कर सकते हैं जैसा कि ऊपर दिखाया गया है।

प्रश्न 4.
क्या AP: 31, 28, 25, …….. का कोई पद है 0 ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल :
AP : 31, 28, 25, ……….
जहाँ a = 31 एवं d = 28 – 31 = -3
मान लीजिए 0 इस AP का nवाँ पद है।
a_n = a + (n-1) x d
0 = 31 + (n – 1) x (-3)
0 = 31 – 3n + 3
3n = 31 + 3 = 34
n = 343 जो एक पूर्णांक नहीं है
अतः 0 दी गई AP का कोई पद नहीं है।

प्रश्न 5.
इस बात की पुष्टि कीजिए कि “क्या यह कहना सत्य है कि निम्नांकित पद किसी AP के nवें पद हैं।”
(i) 2n – 3
(ii) 3n² + 5
(iii) 1 + n + n²
हल :
(i) यदि
a_n = 2n – 3
a₁ = 2 x 1 – 3 = 2 – 3 = -1
a₂ = 2 x 2 – 3 = 4 – 3 = 1
a₃ = 2 x 3 – 3 = 6 – 3 = 3
a₂ – a₁ = 1 – (-1) = 1 + 1 = 2
a₃ – a₂ = 3 – 1 = 2
a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = 2
अतः उक्त पद एक AP का nवाँ पद है।

(ii) यदि
a_n = 3n² + 5
a₁ = 3 (1)² + 5 = 3 + 5 = 8
a₂ = 3 (2)² + 5 = 12 + 5 = 17
a₃ = 3 (3)² + 5 = 27 + 5 = 32
a₂ – a₁ = 17 – 8 = 9 एवं a₃ – a₂ = 32 – 17 = 15
a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः उक्त पद किसी AP का nवाँ पद नहीं है।

(iii) यदि
a_n = 1 + n + n²
a₁ = 1+ 1 + (1)² = 1 + 1 + 1 = 3
a₂ = 1 + 2 + (2)² = 1 + 2 + 4 = 7
a₃ = 1 + 3 + (3)² = 1 + 3 + 9 = 13
a₂ – a₁ = 7 – 3 = 4 एवं a₃ – a₂ = 13 – 7 = 6
a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः उक्त पद किसी AP का nवाँ पद नहीं है।

प्रश्न 6.
k के किस मान के लिए k + 9, 2k – 1 तथा 2k + 7 एक समान्तर श्रेढ़ी के क्रमागत पद हैं?
हल :
चूँकि k + 9, 2k – 1 तथा 2k + 7 एक समान्तर श्रेढ़ी के क्रमागत पद हैं।
⇒ (2k – 1) – (k + 9) = (2k + 7) – (2k – 1)
⇒ 2k – 1 – k – 9 = 2k + 7 – 2k + 1
⇒ k = 10 + 8 = 18
अतःk का अभीष्ट मान = 18 है।

प्रश्न 7.
एक समान्तर श्रेढ़ी जिसमें a₂₁ – a₇ = 84 है का सार्वान्तर क्या है?
हल :
मान लीजिए श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है
a₂₁ – a₇ = 84 (दिया है)
⇒ (a + 20a) – (a + 6d) = 84
⇒ 20d – 6d = 84
⇒ 14d = 84
⇒ d = 8414 = 6
अतः अभीष्ट सार्वान्तर = 6 है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 5 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 5 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी AP में यदि d = -4,n = 7 एवं a_n = 4 तो a है :
(a) 6
(b) 8
(c) 20
(d) 28.
उत्तर:
(d) 28.

प्रश्न 2.
किसी AP में यदि a = 3.5, d = 0,n = 101, तब a_n का मान होगा :
(a) 0
(b) 3.5
(c) 103.5
(d) 104.5.
उत्तर:
(b) 3.5

प्रश्न 3.
संख्याओं की सूची -10, -6, – 2, 2, ……….. है :
(a) एक AP, जहाँ d = – 16
(b) एक AP, जहाँ d = 4
(c) एक AP, जहाँ d = – 4
(d) एक AP नहीं।
उत्तर:
(b) एक AP, जहाँ d = 4

प्रश्न 4.
एक AP: −5,−52,0,52 ,………. का 11वाँ पद होगा :
(a) – 20
(b) 20
(c) – 30
(d) 30.
उत्तर:
(b) 20

प्रश्न 5.
एक AP का प्रथम पद -2 और सार्वान्तर – 2 है के प्रथम चार पद होंगे :
(a) – 2, 0, 2, 4
(b) – 2, 4, – 8, 16
(c) – 2, – 4, – 6, – 8
(d) – 2, – 4, – 8, – 16.
उत्तर:
(c) – 2, – 4, – 6, – 8

प्रश्न 6.
किसी AP के प्रथम दो पद – 3 एवं 4 हैं, इसका 21वाँ पद होगा :
(a) 17
(b) 137
(c) 143
(d) – 143.
उत्तर:
(b) 137

प्रश्न 7.
एक AP का दूसरा पद 13 है तथा इसका पाँचवाँ पद 25 है तो इसका 7वाँ पद क्या होगा?
(a) 30
(b) 33
(c) 37
(d) 38.
उत्तर:
(b) 33

प्रश्न 8.
किसी AP: 21, 42, 63 84,………. का कौन-सा पद 210 होगा?
(a) 9वाँ
(b) 10वाँ
(c) 11वाँ
(d) 12वाँ।
उत्तर:
(b) 10वाँ

प्रश्न 9.
यदि एक AP का सार्वान्तर 5 है तब a₁₈ – a₁₃ का क्या मान होगा?
(a) 5
(b) 20
(c) 25
(d) 30.
उत्तर:
(c) 25

प्रश्न 10.
उस AP का सार्वान्तर क्या होगा जिसमें a₁₈ – a₁₄ = 32 ?
(a) 8
(b) -8
(c) -4
(d) 4.
उत्तर:
(a) 8

प्रश्न 11.
दो AP का सार्वान्तर समान है। एक AP का प्रथम पद 1 एवं दूसरी का प्रथम पद 8 तब उनके चौथे पदों में अन्तर होगा:
(a) -1
(b) -8
(c) 7
(d) -9.
उत्तर:
(c) 7

प्रश्न 12.
एक AP के 7वें पद का 7 गुना उसके 11वें पद के 11 गुने के बराबर है तब इसका 18वाँ पद है:
(a) 7
(b) 11
(c) 18
(d) 0.
उत्तर:
(d) 0.

प्रश्न 13.
किसी AP :- 11,-8,-5,……….49 के अन्त से चौथा पद है :
(a) 37
(b) 40
(c) 43
(d) 58.
उत्तर:
(b) 40

प्रश्न 14.
प्रथम 100 प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात करने वाले प्रसिद्ध गणितज्ञ थे :
(a) पाइथगोरस
(b) न्यूटन
(c) गॉउस
(d) यूक्लिड।
उत्तर:
(c) गॉउस

प्रश्न 15.
एक AP का प्रथम पद – 5 है तथा सार्वान्तर 2 है तब प्रथम 6 पदों का योग है :
(a) 0
(b) 5
(c) 6
(d) 15.
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 16.
एक AP : 10, 6, 2, ……….. के प्रथम 16 पदों का योग है :
(a) – 320
(b) 320
(c) – 352
(d)- 400.
उत्तर:
(a) – 320

प्रश्न 17.
एक AP में a = 1, a_n = 20 एवं S_n = 399 तब n का मान है :
(a) 19
(b) 21
(c) 38
(d) 42.
उत्तर:
(c) 38

प्रश्न 18.
3 के प्रथम पाँच गुणकों का योग है :
(a) 45
(b) 55
(c) 65
(d) 75.
उत्तर:
(a) 45

प्रश्न 19.
AP: 5, 8, 11, 14,……… का 10वाँ पद है:
(a) 32
(b) 35
(c) 38
(d) 185.
उत्तर:
(a) 32

प्रश्न 20.
किसी AP में यदि a = 7.2, d = 3.6 एवं a_n = -7.2 तब n का मान है :
(a) 1
(b) 3
(c) 4
(d) 5.
उत्तर:
(d) 5.

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. जब किसी अनुक्रम के पदों को किसी नियम द्वारा लिखा जाता है, तो इसे ………. कहते हैं।
2. वह अनुक्रम जिसका प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद से एक निश्चित अन्तर रखता है ………. कहलाता है।
3. समान्तर श्रेढ़ी के किसी पद का उसके पूर्ववर्ती पद में अन्तर ………… कहलाता है।
4. कोई तीन राशियाँ समान्तर श्रेढ़ी में हों तो मध्य वाली राशि शेष दो राशियों का ……….. कहलाती है।
5. एक समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d हो तो उसका nवाँ पद ………… होगा।
6. सार्वान्तर श्रेढ़ी 32,12,−12,−32,… सार्वान्तर d = ………. है। (2019)
उत्तर-
1. श्रेढ़ी,
2. समान्तर श्रेढ़ी,
3. सार्वान्तर,
4. समान्तर माध्य,
5. a + (n – 1)d,
6. – 1.

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4.→(a),
5.→(b).

सत्य/असत्य कथन

1. समान्तर श्रेढ़ी के पद सदैव बढ़ते क्रम में होते हैं।
2. 5 और 7 का समान्तर माध्य 6 होता है।
3. समान्तर श्रेढ़ी के किन्हीं दो पदों का अन्तर सार्वान्तर होता है।
4. समान्तर श्रेढ़ी 10, 5, ………. का अगला पद 0 होगा।
5. 1, 2, 1, 3, ………… एक समान्तर श्रेढ़ी है।
उत्तर-
1. असत्य,
2. सत्य,
3. असत्य,
4. सत्य,
5. असत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. 2√2, √2 , 0, ……….. का अगला पद क्या होगा?
2. 5, 10, 15, ……… का अगला पद क्या होगा?
3 35√,45√,5–√ ……….. कौन-सी श्रेढ़ी है?
4. 14,13,14 ……….. समान्तर श्रेढ़ी है या नहीं?
5. यदि किसी श्रेढ़ी में पदों की संख्या सीमित न हो तो उसे क्या कहते हैं?
उत्तर-
1. -√2 ,
2. 20,
3. समान्तर श्रेढ़ी,
4. नहीं,
5. अनन्त श्रेढ़ी।

TENSE