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MP Board Class 10th Maths | निर्देशांक ज्यामिति

MP Board Class 10th Maths | निर्देशांक ज्यामिति

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1

प्रश्न 1.
बिन्दुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच दूरियाँ ज्ञात कीजिए :
(i) (2, 3), (4, 1) (2019)
(ii) (-5, 7), (-1,3)
(iii) (a, b), (-a-b)
हल :
(i) मान लीजिए कि बिन्दु युग्म P (2, 3) एवं Q (4, 1) हैं।


अतः बिन्दु के युग्म के बीच की अभीष्ट दूरी = 2√2 मात्रक है।

(ii) मान लीजिए बिन्दु युग्म P (-5, 7) और Q (-1, 3) हैं।

अतः बिन्दुओं के युग्म के बीच की अभीष्ट दूरी 2a2+b2−−−−−−√ मात्रक है।

प्रश्न 2.
बिन्दुओं (0,0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या आप अब अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?
हल :
मान लीजिए P (0, 0) और Q (36, 15) दो बिन्दु हैं।

हाँ हम उन दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं। चूँकि शहरों के निर्देशांक A (0,0), B (36, 15), इसलिए दोनों शहरों के बीच की दूरी = 39 km
अतः दिए गए बिन्दुओं के बीच की दूरी 39 मात्रक एवं दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी 39 km है।

प्रश्न 3.
निर्धारित कीजिए कि क्या बिन्दु (1, 5), (2, 3) और (-2, – 11) संरेखी हैं।
हल :
मान लीजिए दिए हुए बिन्दु P (1,5), Q (2,3) और R (-2, -11) हैं।

अतः दिए हुए बिन्दु सरेख नहीं हैं।

प्रश्न 4.
जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु (5, -2), (6, 4) और (7,- 2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल :
मान लीजिए A (5, -2), B (6, 4) एवं C (7,-2) हैं।।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1 6
अतः दिए हुए बिन्दु एक समाद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
किसी कक्षा में चार मित्र बिन्दुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं (जैसा कि संलग्न आकृति 7.1 में दर्शाया गया है)। चम्पा और चमेली कक्षा के अन्दर जाती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चम्पा चमेली से पूछती है कि “क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?” चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके बताइए कि इसमें कौन सही है ?

हल :
संलग्न आकृति के अवलोकन से (ग्राफ द्वारा) A (3, 4), B (6, 7), C (9, 4) एवं D (6, 1).
चूँकि दूरी सूत्र

⇒ ABCD एक समचतुर्भुज हैं। (चारों भुजाएँ बराबर)
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⇒ विकर्ण AC = विकर्ण BD
चूँकि समान विकर्ण वाला समचतुर्भज वर्ग होता है।
अत: ABCD एक वर्ग है। इसलिए चम्पा सही है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए :
(i) (-1,- 2,), (1,0), (-1, 2), (-3,0)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
हल :
(i) चूँकि A (-1, – 2), B (1,0), C (-1, 2) एवं D (-3, 0) मान लीजिए
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1 10
भुजाएँ AB = BC = CD = DA = √8
एव विकर्ण AC = BD = √16 = 4
अतः दिए हुए बिन्दुओं द्वारा बनने वाला चतुर्भुज एक वर्ग है क्योंकि दूसरी चारों भुजाएँ तथा विकर्ण बराबर हैं।

(ii) मान लीजिए A (-3, 5), B (3, 1), C (0, 3), एवं D (-1, -4)
चूँकि दूरी सूत्र

चूँकि ∆ABC में BC + AC = √13 + √13 = 2 √13 = AB
अतः दिए हुए बिन्दुओं से कोई भी चतुर्भुज नहीं बनेगा।

(iii) मान लीजिए : A (4, 5), B (7,6), C (4, 3) एवं D (1, 2)
चूँकि दूरी सूत्र

चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं। (समान्तर चतुर्भुज के प्रगुण)
अतः दिए हुए बिन्दुओं से बना चतुर्भुज एक समान्तर चतुर्भुज होगा।

प्रश्न 7.
x-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए.जो (2,-5) और (-2, 9) से समदूरस्थ है।
हल :
मान लीजिए x-अक्ष पर स्थित बिन्दु P (x, 0) है तथा दिए हुए बिन्दु Q (2,-5) एवं R (-2, 9) हैं।
तब प्रश्नानुसार : PQ = PR दिया है
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1 14
(2 – x)² + (-5)² = (-2 – x)² + (9)² [दोनों ओर वर्ग करने पर]
4 – 4x + x² + 25 = 4 + 4x + x² + 81
4x + 4x = 4 + 25 – 4 – 81
8x = -56
x = 568 = -7
अत: x-अक्ष पर स्थित अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक (-7,0) हैं।

प्रश्न 8.
y का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिन्दु P (2, – 3) और Q (10, 9) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
हल :
चूँकि

⇒ (8)² + (y + 3)² = 100 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ 64 + y² + 6y + 9 = 100
⇒ y² + 6y + 73 – 100 = 0
⇒ y² + 6y – 27 = 0
⇒ y² + 9y – 3y – 27 = 0
⇒ y (y + 9) – 3 (y + 9) = 0
⇒ (y + 9) (y – 3) = 0
या तो y + 9 = 0 ⇒ y = -9
अथवा y – 3 = 0 ⇒ y = +3
अतः y के अभीष्ट मान – 9 अथवा + 3 है।

प्रश्न 9.
यदि Q (0, 1) बिन्दु P (5, – 3) और R (x, 6) से समदूरस्थ है, तो x के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR एवं PR भी ज्ञात कीजिए।
हल :
∵प्रश्नानुसार QP = QR

अतः x का अभीष्ट मान ±4, QR = √41 एवं PR = √82 अथवा 9√2 है।

प्रश्न 10.
x और y में एक ऐसा सम्बन्ध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (x,y) बिन्दुओं (3, 6) और (-3, 4) से समदूरस्थ हो।
हल :
मान लीजिए P (x, y), Q (3, 6) एवं R (-3, 4) है तो प्रश्नानुसार PQ = PR
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⇒ (x – 3)² + (y – 6)² = (x + 3)² + (y – 4)² (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ x² – 6x + 9 + y² – 12y + 36 = x² + 6x + 9 + y² – 8y + 16
⇒ 6x + 6x + 12y – 8y + 25 – 45 = 0
⇒ 12x + 4y – 20 = 0
⇒ 3x + y – 5 = 0
अतः x एवं y का अभीष्ट सम्बन्ध है : 3x + y – 5 = 0 है।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2

प्रश्न. 1
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (- 1, 7) और (4, – 3) को मिलाने वाली रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
हल :
यहाँ x1 = – 1, y1 = 7, x2 = 4, y2 = – 3, m1 = 2, m2 = 3

अतः अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक = (1, 3) है।

प्रश्न 2.
बिन्दुओं (4, – 1) और (- 2, – 3) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए बिन्दुओं A (4, – 1) एवं B (- 2, – 3) को मिलाने वाला रेखाखण्ड AB है। P (x’, y’ ) एवं Q (x”, y”) ऐसे दो बिन्दु हैं जो दिए रेखाखण्ड AB को समत्रिभाजित करते हैं।
चूँकि P के लिए m1 = 1 एवं m2 = 2 हैं

अतः दी हुए रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दु क्रमश: (2,53) एवं (0,73) हैं।

प्रश्न 3.
आपके स्कूल में खेलकूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए एक आयताकार मैदान ABCD में, चूने से परस्पर 1 m की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं। AD के अनुदिश परस्पर 1 m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि संलग्न आकृति 7.3 में दिया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के 14 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झण्डा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं MT पंक्ति में AD का 15 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झण्डा गाड़ देती है। दोनों झण्डों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झण्डा इन दोनों झण्डों को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना हो, तो उसे अपना झण्डा कहाँ गाड़ना
चाहिए?
हल :

हरे झण्डे के स्थिति निर्देशांक
G(2, 1004) अर्थात् G (2, 25) एवं लाल झण्डे के स्थिति निर्देशांक R (8, 1005) अर्थात् R (8, 20) हैं। मान लीजिए रश्मि नीला झण्डा B (x,y) पर गाड़ती है जो GR रेखाखण्ड का मध्यबिन्दु है।

अतः हरे एवं लाल झण्डे के बीच की अभीष्ट दूरी = √61 m एवं रश्मि अपना नीला झण्डा 5वीं पंक्ति में 22.5 m की दूरी पर गाड़ेगी।

प्रश्न 4.
बिन्दुओं (- 3, 10) और (6, – 8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (- 1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है?
हल :
मान लीजिए बिन्दु (-1, 6) दिए रेखाखण्ड को m1 : m2 के अनुपात में विभाजित करता है एवं रेखाखण्ड के सिरों के निर्देशांक (- 3, 10) एवं (6, – 8) हैं।
चूँकि
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2 8
⇒ 6m1 – 3m2 = – m1 – m2
⇒ 6m1 + m1 = 3m2 – m2
⇒ 7m1 = 2m2
⇒ m1m2=27
⇒ m1 : m2 = 2 : 7
अत: अभीष्ट अनुपात = 2 : 7 है।

प्रश्न 5.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A (1, – 5) और B (- 4, 5) को मिलाने वाला रेखाखण्ड x-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : बिन्दु A (1, – 5) और B (- 4, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड AB को x-अक्ष पर स्थित बिन्दु P (x, 0) मान लीजिए m1 : m2 के अनुपात में विभाजित करता है।

अतः अभीष्ट अनुपात 1 : 1 एवं विभाजक बिन्दु के अभीष्ट निर्देशांक (32,0) हैं।

प्रश्न 6.
यदि बिन्दु (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5) इसी क्रम में लेने पर एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए समान्तर चतुर्भुज ABCD के निर्देशांक क्रमशः A (1, 2), B (4, y), C (x, 6) एवं D (3, 5) हैं तो समान्तर चतुर्भुज के प्रगुण से विकर्ण AC एवं BD परस्पर बिन्दु O पर द्विभाजित करते हैं।
⇒ AC के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक = BD के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक

अतः x एवं’ के अभीष्ट मान क्रमशः 6 एवं 3 हैं।

प्रश्न 7.
बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केन्द्र (2, – 3) है तथा B के निर्देशांक (1,4) हैं।
हल :
मान लीजिए बिन्दु A के निर्देशांक (x, y) हैं तब केन्द्र के निर्देशांक (x1+x22,y1+y22) से.
⇒ x+12 = 2
⇒ x + 1 = 4
⇒ x = 4 – 1 = 3
⇒ y+42 = – 3
⇒ y + 4 = – 6
⇒ y = – 6 – 4 = – 10
अत: A के अभीष्ट निर्देशांक (3,-10) है।

प्रश्न 8.
यदि A और B क्रमशः (-2, -2) और (2, -4) हों, तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = 37 AB हो और P रेखाखण्ड AB पर स्थित हो। हल :
चूँकि AP = 37 AB तथा बिन्दु P रेखाखण्ड AB पर है
BP = AB – 37 AB = 47 AB
बिन्दु P रेखाखण्ड AB को 3 : 4 के अनुपात में विभाजित करता है तथा A (-2, – 2) और B (2, -4) दिए हैं।
मान लीजिए P के निर्देशांक (x, y) हैं

अतः P के अभीष्ट निर्देशांक (27,207) हैं।

प्रश्न 9.
बिन्दुओं A (-2, 2) और B (2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:

जैसा कि आकृति 7.4 में दिखाया गया है। मान लीजिए A (-2, 2) और B (2, 8) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दु क्रमशः P (x’, y’), Q (x”, y”) एवं R (x”‘,y’”) हैं।
चूँकि यहाँ Q रेखाखण्ड AB का मध्य बिन्दु है।

अतः रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दु क्रमशः (-1, 72) (0, 5) एवं (1, 132) हैं।

प्रश्न 10.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष क्रम में (3,0), (4, 5), (-1,4) और (-2,-1) हैं।
हल :
मान लीजिए समचतुर्भुज के शीर्ष क्रमशः A (3, 0), B (4, 5), C (-1,4) और D (-2, – 1) दिए हुए हैं।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2 16
चूँकि समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 12 × AC × BD
ar (ABCD) = 12 x 4√2 x 6√2
= 4 x 6
= 24
वर्ग मात्रक अतः दिए समचतुर्भुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 24 वर्ग मात्रक है।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3

प्रश्न 1.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं :
(i) (2, 3), (-1,0), (2,-4)
(ii) (-5,-1), (3, -5), (5, 2)
हल :
(i) माना A (2, 3), B (-1,0) एवं C (2,-4)
∆ = 12 [x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y1) + x3 (y1 – y2)]
∆ = 12 [2 (0 + 4) + (-1) (-4 – 3) + (2) (3 – 0)]
ar (ABC) = 12 [2 (4) + (-1) (-7) + 2 (3)]
12 [8 + 7 + 6]
= 21
वर्ग मात्रक अतः दिए हुए त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 212 वर्ग मात्रक है।

(ii) जहाँ A (-5, – 1), B (3, -5), C (5, 2)
∆ = 12 [x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y1) + x3 (y1 – y2)]
ar (ABC) = 12 [-5 (-5-2) + 3 (2 + 1) + 5 (-1 + 5)]
12 [-5 (-7) + 3 (3) + 5 (4)]
12 [35 + 9 + 20]
12 x 64
= 32
वर्ग मात्रक अतः दिए हुए त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 32 वर्ग मात्रक है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में k का मान ज्ञात कीजिए ताकि तीनों बिन्दु सरेख हों :
(i) (7, -2), (5, 1), (3, k)
(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5)
हल :
हम जानते हैं कि तीन बिन्दु सरेख हों तो उनसे निर्मित त्रिभुज (यद्यपि त्रिभुज बनेगा नहीं) का क्षेत्रफल शून्य होगा। यहाँ A (7, -2), B (5, 1), C (3, k)
(i) चूँकि
∆ = 12 [x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y1) + x3 (y1 – y2)]
12 [7 (1 – k) + 5 (k + 2) + 3 (-2-1)] = 0
12 [7 – 7k + 5k + 10 – 9] = 0
12 [8-2k] = 0
2k = 8
k = 82
= 4
अतः k का अभीष्ट मान = 4 है।

(ii) यहाँ A (8, 1), B (k, – 4), C (2,-5)
चूँकि
∆ = 12 [x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y1) + x3 (y1 – y2)]
12 [8 (-4 + 5) + k (-5-1) + 2 (1 + 4)] = 0
12 [8 (1) + k (-6) + 2 (5)] = 0
12 [8 – 6k + 10] = 0
6k = 18
k = 186 = 3
अतः k का अभीष्ट मान = 3 है।

प्रश्न 3.
शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए कि दिए हुए त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक क्रमश: A (0,- 1), BC (2, 1) एवं C (0, 3) है। यदि इनकी भुजाओं AB, BC एवं CA के मध्य-बिन्दु क्रमशः D, E एवं F हों तो
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3 1
D (1,0), E (1, 2) एवं F (0, 1)
चूँकि
∆ = 12 [x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y1) + x3 (y1 – y2)]
ar (ABC) = 12 [0 (1 – 3) + 2 (3 + 1) + 0 (-1 – 1)]
12 [0 (-2) + 2 (4) + 0 (-2)]
12 [0 + 8 + 0]
= 4 वर्ग इकाई

एवं ar (DEF) = 12 [1 (2 – 1) + 1 (1 – 0) + 0 (0 – 2)]
12 [1 + 1 + 0]
12 x 2
= 1 वर्ग इकाई
ar(DEF)ar(ABC)=14
ar (DEF) : ar (ABC) = 1 : 4
अतः दिए त्रिभुज के मध्य-बिन्दुओं से बने त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1 वर्ग मात्रक एवं इस त्रिभुज के क्षेत्रफल का दिए त्रिभुज के क्षेत्रफल से अभीष्ट अनुपात 1:4 है।

प्रश्न 4.
उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष इसी क्रम में (- 4,- 2), (- 3, – 5), (3,- 2) और (2, 3) हैं।
हल :
मान लीजिए चतुर्भुज ABCD के शीर्ष क्रमशः A (-4, -2), B (-3, -5), C (3, -2) और D (2, 3)
क्षेत्र. (ABC) = 12 [-4 (-5 + 2) + (-3) (-2 + 2) + 3 (-2 + 5)]
क्षेत्र. (ABC) = 12 [-4 (-3) – 3 (0) + 3 (3)]
12 [12 – 0 + 9]
212 वर्ग मात्रक
क्षेत्र. (ADC) = 12 [-4 (-2 – 3) + 3 (3 + 2) + 2 (-2 + 2)]
क्षेत्र. (ADC) = 12 [-4 (-5) + 3 (5) + 2 x 0]
12 [20 + 15 + 0]
352 वर्ग इकाई
क्षेत्रफल (ABCD) = क्षेत्रफल (ABC) + क्षेत्रफल (ADC)
क्षेत्रफल (ABCD) = 212+352=562
= 28 वर्ग मात्रक
अतः, दिए हुए चतुर्भुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 28 वर्ग मात्रक

प्रश्न 5.
कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9 उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष (4,-6), B (3,-2) और C (5, 2) हैं।
हल :
दिया है ∆ABC के शीर्षों A (4, -6), B (3, – 2) और C (5, 2) हैं तथा माध्यिका AD है, जहाँ BC का मध्य-बिन्दु D (x, y) है तो

अब ∆ADB में A (4, -6), D (4, 0) एवं B (3, – 2)
ar (ADB) = 12 [4 (0 + 2) + 4 (-2 + 6) + 3 (-6 – 0)]
12 [4 (2) + 4 (4) + 3 (-6)]
12 [8 + 16 – 18]
12 (24 – 18)
12 x 6
= 3 वर्ग मात्रक
एवं ∆ADC में A (4, -6), D (4, 0) एवं C (5, 2) हैं
ar (ADC) = 12 [4 (0 – 2) + 4 (2 + 6) + 5 (-6 – 0)]
12 [4 (-2) + 4 (8) + 5 (-6)]
12 [-8 + 32 – 30]
12 [-6]
= -3 वर्ग मात्रक
लेकिन क्षेत्रफल एक धनात्मक राशि होती है = ar (ADC) = 3 वर्ग मात्रक
ar (ADB) = ar (ADC)
अतः किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उस त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफलों वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है।
इति सिद्धम्

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4

[ज्ञातव्य : यह प्रश्नावली परीक्षा की दृष्टि से नहीं है।]

प्रश्न 1.
बिन्दुओं A (2, – 2) और B (3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड 2x + y – 4 = 0 को जिस अनुपात में विभाजित करती है उसे ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए कि दिए हुए रेखाखण्ड और दी गई रेखा बिन्दु P (x, y) पर परस्पर प्रतिच्छेद करती है तो ∆PAB का क्षेत्रफल शून्य होगा क्योंकि ये सरेख हैं।
⇒ 12 [x (-2 – 7) + 2 (7 – y) + 3 (y + 2)] = 0
⇒ – 9x + 14 – 2y + 3y + 6 = 0
⇒ 9x – y – 20 = 0 …(1)
⇒ 2x + y – 4 = 0 (दिया है) …(2)
⇒ 11x = 24
⇒ x = 2411
मान लीजिए बिन्दु P (x, y), A (2, – 2) और B (3, 7) से बने रेखाखण्ड AB को m1 एवं m2 के अनुपात में विभाजित करता है।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4 1
⇒ 33m1 + 22m2 = 24m1 + 24m2
⇒ 33m1 – 24m1 = 24m2 – 22m2
⇒ 9m1 = 2m2
⇒ m1m2=29
⇒ m1 : m2 = 2 : 9
अतः अभीष्ट अनुपात 2 : 9 है।

प्रश्न 2.
x और में एक सम्बन्ध ज्ञात कीजिए यदि बिन्दु (x, y), (1, 2) और (7, 0) सरेखी हैं।
हल :
चूँकि बिन्दु (x, y), (1, 2) और (7, 0) सरेख हैं, इसलिए उनसे निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0 है
⇒ 12 [x (2 – 0) + 1 (0 – y) + 7 (y – 2) = 0
⇒ x (2) + 1 (-y) + 7 (y – 2) = 0
⇒ 2x – y + 7y – 14 = 0
⇒ 2x + 6y – 14 = 0
⇒ x + 3y = 7
अतः x एवं का अभीष्ट सम्बन्ध x + 3y = 7 है।

प्रश्न 3.
बिन्दुओं (6,-6), (3, – 7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केन्द्र ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए दिए हुए बिन्दुओं A (6, -6), B (3, – 7) और C (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केन्द्र O (x, y) है तो OA = OB = OC वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4 2
⇒ (x – 6)² + (y + 6)² = (x – 3)² + (y + 7)² = (x – 3)² + (y – 3)² (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ (x – 6)² + (y + 6)² = (x – 3)² + (y + 7)² (OA = OB से)
⇒ x² – 12x + 36 + y² + 12y + 36 = x² – 6x + 9 + y² + 14y + 49
⇒ – 12x + 6x + 12y – 14y + 72 – 58 = 0
⇒ – 6x – 2y + 14 = 0
⇒ 3x + y = 7 ….(1)
⇒ (x – 3)² + (y + 7)² = (x – 3)² + (y – 3)² (OB = OC से)
⇒ x² – 6x + 9 + y² + 14y + 49 = x² – 6x + 9 + y² – 6y + 9
⇒ -6x + 6x + 14y + 6y = 18 – 58
⇒ 20y = – 40
⇒ y = 4020 =- 2 …..(2)
समीकरण (2) से y = – 2 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
⇒ 3x – 2 = 7
⇒ 3x = 7 + 2
⇒ 3x = 9
⇒ x = 93 = 3
अतः वृत्त के केन्द्र के अभीष्ट निर्देशांक (3, – 2) हैं।

प्रश्न 4.
किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।
हल :
वर्ग ABCD में दो सम्मुख शीर्ष A (-1, 2) एवं C (3, 2) दिए हैं। मान लीजिए B (x1, y1) एवं D (x2, y2) दो अन्य शीर्ष हैं।
AB = BC (वर्ग की भुजाएँ)

⇒ (x1 + 1)² + (y1 – 2)² = (x1 – 3)² + (y1 – 2)² (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ (x1 + 1)² = (x1 – 3)²
⇒ x12 + 2x1 + 1 = x12 – 6x1 + 9
⇒ 2x1 + 6x1 = 9 – 1
⇒ 8x1 = 8
⇒ x1 = 88 = 1 ….(1)
∵ AB² + BC² = AC² (समकोण ∆ABC में पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ (x1 + 1)² + (y1 – 2)² + (x1 – 3)² + (y1 – 2)² = (3 + 1)² + (2 – 2)²
⇒ x12 + 2x1 + 1 + y12 – 4y1 + 4 + x12 – 6x1 + 9 + y12 – 4y1 + 4 = 16 – 0
⇒ 2x12 + 2y12 – 4x1 – 8y1 = 16 – 18 = -2
⇒ x12 + y12 – 2x1 – 4y1 + 1 = 0 …(2)
⇒ x1 = 1 का मान समीकरण (1) से समीकरण (2) में रखने पर,
⇒ (1)² + (y1)² – 2 (1) – 4y1 + 1 = 0
⇒ y12 – 4y1 = 0
⇒ y1 (y1 – 4) = 0
या तो y1 = 0 अथवा y1 – 4 = 0
⇒ y1 = 4
B के निर्देशांक (1, 0) अथवा (1, 4) हैं।
AD = DC (वर्ग की भुजाएँ हैं)
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4 4
⇒ (x2 + 1)² + (y2 – 2)² = (x2 – 3)² + (y2 – 2)² (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ (x2 + 1)² = (x2 – 3)²
⇒ x22 + 2x2 + 1 = x22 – 6x2 + 9
⇒ 8x2 = 8
⇒ x2 = 88 = 1 . …(3)
AD² + CD² = AC² (समकोण ∆ADC में पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ (x2 + 1)² + (y2 – 2)² + (x2 – 3)² + (y2 – 2)² = (3 + 1)² + (2 – 2)²
⇒ x22 + 2x2 + 1 + y22 – 4y2 + 4 + x22 – 6x2 + 9 + y22 – 4y2 + 4 = 16 + 0
⇒ 2x22 + 2y22 – 4x2 – 8y2 = 16 – 18 = -2
⇒ x22 + y22 – 2x2 – 4y2 + 1 = 0 ….(4)
x2 = 1 का मान समीकरण (3) से समीकरण (4) में रखने पर,
⇒ (1)² + y22 – 2 (1) – 4y2 + 1 = 0
⇒ 1 + y22 – 2 – 4y2 + 1 = 0
⇒ y22 – 4y2 = 0
⇒ y2 (y2 – 4) = 0
या तो y2 = 0 अथवा y2 – 4 = 0
⇒ y2 = 4
D के निर्देशांक (1, 0) अथवा (1, 4)
अतः अभीष्ट शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (1, 0) एवं (1, 4) हैं।

प्रश्न 5.
कृष्णा नगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विद्यार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए एक आयताकार भू-खण्ड दिया गया है। गुलमोहर की पौध (Sapling) को परस्पर 1 m की दूरी पर इस भू-खण्ड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है। इस भू-खण्ड के अन्दर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसा कि संलग्न आकृति 7.8 में दर्शाया गया है। विद्यार्थियों , को भू-खण्ड के शेष भाग में है फूलों के पौधे के बीज बोने हैं।

(i) A को मूलबिन्दु मानते हए, त्रिभुज के शीषों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि मूल बिन्दु C हो, तो ∆PQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे?
साथ ही उपरोक्त दोनों स्थितियों में त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?
हल :
(i) A को मूलबिन्दु लेकर लेखाचित्र के अनुसार अभीष्ट निर्देशांक P (4, 6), Q (3, 2), R (6,5) हैं। AD = X-अक्ष एवं AB = Y-अक्ष पर मानने पर।
(ii) C को मूलबिन्दु लेकर लेखाचित्र के अनुसार,
अभीष्ट निर्देशांक P (12, 2), Q (13, 6), R (10, 3) हैं। CB = X-अक्ष एवं CD = Y-अक्ष पर मानने पर।
अब प्रथम स्थिति में :
ar (PQR) = 12[4(2 – 5) + 3 (5 – 6) + 6 (6 – 2)]
ar (PQR) = 12[4(-3) + 3 (-1) + 6 (4]
12 [-12 – 3 + 24]
12[-15 + 24]
92 m²
एवं द्वितीय स्थिति में :
ar (PQR) = 12 [12 (6 – 3) + 13 (3 – 2) + 10 (2 – 6)]
12 [12 (3) + 13 (1) + 10 (-4)]
12 [36 + 13 – 40]
12 [49 – 40]
92 m²
अतः प्रत्येक स्थिति में APQR का क्षेत्रफल = 92 m² है।

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A (4, 6), B (1, 5) और C (7, 2) हैं। भुजाओं AB और AC को क्रमश: D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गयी है कि ADAB=AEAC=14 है। ∆ADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना ∆ABC के क्षेत्रफल से कीजिए।
हल :

∆ADE और ∆ABC में,
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4 7
बिन्दु D, AB रेखाखण्ड को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है क्योंकि AD : AB = 1 : 4
AD : DB = 1 : 3. इसलिए D के निर्देशांक

अत: ∆ADE का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1532 त्रक एवं ∆ADE और ∆ABC के क्षेत्रफलों का अभीष्ट अनुपात 1 : 16 है।

प्रश्न 7.
मान लीजिए A (4, 2), B (6, 5) और C (1, 4) एक ∆ABC के शीर्ष हैं।
(i) A से जाने वाली माध्यिका BD के बिन्दु पर मिलती है। बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP : PD = 2 : 1 हो।
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो।
(iv) आप क्या देखते हैं?
(v) यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) चूँकि D, BC का मध्य-बिन्दु है। इसलिए D के निर्देशांक

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4 11
अतः बिन्दु D के अभीष्ट निर्देशांक D(72,92) हैं।

(ii) चूँकि P, AD रेखाखण्ड (माध्यिका) को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

अत: P के अभीष्ट निर्देशांक P(113,113) है।

(iii) बिन्दु E, AC रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु है। इसलिए E के निर्देशांक

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4 15
तथा बिन्दु F, रेखाखण्ड AB का मध्य-बिन्दु है। इसलिए बिन्दु F के निर्देशांक
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4 16
चूँकि बिन्दु Q रेखाखण्ड (माध्यिका) BE को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए Q के निर्देशांक

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4 18
और बिन्दु R रेखाखण्ड (माध्यिका) CF को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए R के निर्देशांक

अत: बिन्दु Q एवं R के अभीष्ट निर्देशांक क्रमशः Q(113,113) एवं R(113,113) हैं।

(iv) त्रिभुज की तीनों माध्यिकाओं को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करने वाले सभी बिन्दु P, Q एवं R समानुपाती हैं अर्थात् एक ही हैं जिसे त्रिभुज का केन्द्रक कहते हैं तथा इसे प्रायः G से प्रदर्शित करते हैं।

(v) त्रिभुज का केन्द्रक उसकी माध्यिकाओं का संगामी बिन्दु होता है जो प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता हैं।

चूँकि बिन्दु D (x,y) मान लीजिए है जो बिन्दुओं B (x2, y2) और C (x3, y3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु है।

अत: केन्द्रक G के अभीष्ट निर्देशांक G (x1+x2+x33,y1+y2+y33) हैं।

प्रश्न 8.
बिन्दुओं A (-1, – 1), B (-1, 4), C (5, 4) और D (5, – 1) से एक आयत ABCD बनता है। P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्द हैं। क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक समचतुर्भुज है? सकारण उत्तर दीजिए।
हल :

चूँकि P, A (-1, – 1) और B (-1, 4) से बने रेखाखण्ड AB का मध्य-बिन्दु है।

चूँकि S, D (5, – 1) और A (-1,- 1) से बने रेखाखण्ड DA का मध्य-बिन्दु है।


लेकिन विकर्ण PR ≠ QS अर्थात् 6 ≠ 5
अतः अभीष्ट ₹PQRS एक समचतुर्भुज है।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि बिन्दु A (k + 1, 2k), B (3k, 2k + 3) तथा C (5k – 1, 5k) सरेख हों तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि A, B एवं C सरेख हैं
⇒ ar (ABC) = 0
⇒ 12 [(k + 1) (2k + 3 – 5k)] + (3k) (5k – 2k) + (5k – 1) (2k – 2k – 3) = 0
⇒ (k + 1) (-3k + 3) + (3k) (3k) + (5k – 1) (-3) = 0
⇒ -3k² + 3k – 3k + 3 + 9k² – 15k + 3 = 0
⇒ 6k² – 15k + 6 = 0
⇒ 2k² – 5k + 2 = 0
⇒ 2k² – 4k – k + 2 = 0
⇒ 2k (k – 2) – 1 (k – 2) = 0
⇒ (k – 2) (2k – 1) = 0
या तो k – 2 = 0 ⇒ k = 2
अथवा 2k – 1 = 0 ⇒ k = 12
अत: k का अभीष्ट मान 2 या 12 है।

प्रश्न 2.
k के मान ज्ञात कीजिए, जिससे (1, -1), (-4, 2k) तथा (-k, -5) शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई है।
हल :
चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल ∆ = 24 वर्ग इकाई (दिया है)
⇒ 12 [1 (2k + 5) + (-4) (-5 + 1) + (-k)] (-1 – 2k)] = 24
⇒ [(2k + 5) + (-4) (-4) + (-k) (-2k – 1)] = 48
⇒ 2k + 5 + 16 + 2k² + k = 48
⇒ 2k² + 3k + 21 = 48
⇒ 2k² + 3k – 27 = 0
⇒ 2k² + 9k – 6k – 27 = 0
⇒ k(2k + 9) – 3(2k + 9) = 0
⇒ (2k + 9)(k – 3) = 0
या तो 2k + 9 = 0 ⇒ k = 92
अथवा k – 3 = 0 ⇒ k = 3
अत: k के अभीष्ट मान = 92 अथवा 3 हैं।

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A (4, 6), B (1, 5) तथा C(7, 2) हैं। एक रेखाखण्ड DE भुजाओं AB तथा AC को क्रमशः बिन्दुओं D तथा E पर इस प्रकार काटता हुआ खींचा गया ADAB=AEAC=13 है
∆ADE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा उसकी ∆ABC के क्षेत्रफल से तुलना कीजिए।
हल :

चूँकि ADAB=AEAC=13 दिया है। अतः बिन्दु D एवं बिन्दु E रेखाखण्ड AB एवं AC को क्रमशः 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करते हैं।

अत: त्रिभुज ADE का अभीष्ट क्षेत्रफल = 5/6 वर्ग इकाई है।

अब ar (ABC) = 12 [4 (5 – 2) + 1 (2 – 6) + 7 (6 – 5)]
12 [4 (3) + 1 (-4) + 7 (1)]
⇒ ar (ABC) = 12 [12 – 4 + 7]
152 वर्ग इकाई …(2)
⇒ ar(ADE)ar(ABC)=56152=19
अतः ∆ar (ADE) : ar (ABC) = 1:9 है।

प्रश्न 4.
बिन्दु (2411, y), बिन्दुओं P (2, – 2), तथा Q (3, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करता है? y का मान भी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए बिन्दु (2411, y) रेखाखण्ड PQ को m : 1 के अनुपात में विभाजित करता है, तो

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 4
⇒ 33m + 22 = 24m + 24
⇒ 33m – 24m = 24 – 22
⇒ 9m = 2
⇒ m = 29
अतः अभीष्ट अनुपात = 2:9
अब
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 5
अतः y का अभीष्ट मान = 411

प्रश्न 5.
यदि बिन्दु P (x,y) बिन्दुओं A (a + b, b – a) तथा B (a – b, a + b) से समदूरस्थ है तो सिद्ध कीजिए bx = ay.
हल :

चूँकि PA = PB (दिया है)
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 7
⇒ (x – a – b)² + (y + a – b)² = (x – a + b)² + (y – a – b)² दोनों ओर वर्ग करने पर।
⇒ x² + a + b² – 2xa + 2ab – 2xb + y² + a² + b² + 2ya – 2ab – 2yb
= x² + a² + b² – 2xa – 2ab + 2xb + y² + a² + b² – 2ya + 2ab – 2yb
⇒ x² + y² + 2a² + 2b² – 2ax – 2bx + 2ay – 2by
= x² + y² + 2a² + 2b² – 2ax + 2bx – 2ay – 2by
⇒ 4ay = 4bx
⇒ bx = ay
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
A (6, 1), B (8, 2) एवं C (9,4) समान्तर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्ष हैं, तथा E रेखाखण्ड DC का मध्य-बिन्दु है, तो ∆ADE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
A (6, 1), B (8, 2) एवं C (9, 4) एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष दिए हैं तथा E बिन्दु, रेखाखण्ड DC का मध्य-बिन्दु है।
ar (∆ADE) ज्ञात करना है।
चूँकि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है
ar (ABC) = ar (ACD) …(1) [विकर्ण समद्विभाजित करते हैं।
चूँकि AE, ∆ACD की माध्यिका है [E, DC का मध्य-बिन्दु है]
ar (ADE) = 12 ar (ACD) ….(2)
ar (ADE) = 12 ar (ABC) [समीकरण (1) व (2) से]
ar (ADE) = 12×12 [6(2 – 4) + 8 (4 – 1) +9 (1 – 2)]
12 [6 (-2) + 8 (3)] + 9 (-1)]
12 [-12 + 24 – 9]

12 [24 – 21]
34 वर्ग इकाई
अत: ∆ADE का अभीष्ट क्षेत्रफल = 34 वर्ग इकाई।

प्रश्न 7.
बिन्दु A (x1, y1), B (x2, y2) एवं C (x3, y3) ∆ABC के शीर्ष हैं, तो
(i) यदि A से खींची गयी माध्यिका BC से बिन्दु D पर मिलती है तो बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) AD पर स्थित बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जबकि AP : PD = 2 : 1.
(iii) माध्यिका BE एवं CF पर बिन्दु Q एवं R इस प्रकार स्थित हैं कि BQ : QE = 2 : 1 तो Q एवं R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(iv) त्रिभुज ABC के केन्द्रक ज्ञात कीजिए।

हल :
ज्ञात है ∆ABC की माध्यिकाएँ AD, BE एवं CF क्रमशः रेखाखण्ड BC, CA एवं AB के मध्य-बिन्दुओं क्रमश: D, E एवं F पर मिलती हैं। P, Q एवं R बिन्दु क्रमशः माध्यिकाओं AD, BE एवं CF को क्रमशः AP : PD = 2 : 1, BQ : QE = 2 : 1 एवं CR : RF = 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करते हैं (देखिए आकृति 7.23)।
A (x1, y1), B (x2, y2) एवं C (x3, y3) निर्देशांक दिए हैं।
(i) चूँकि बिन्दु D रेखाखण्ड BC का मध्य-बिन्दु है।
D के निर्देशांक = (x2+x32,y2+y32)
अतः बिन्द D के अभीष्ट निर्देशांक = (x2+x32,y2+y32) हैं।

(ii) चूँकि बिन्दु P बिन्दु A (x1, y1) एवं D (x2+x32,y2+y32) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

अत: P के अभीष्ट निर्देशांक = (x1+x2+x33,y1+y2+y33) हैं।

(iii) बिन्दु E रेखाखण्ड CA का मध्य-बिन्दु है।
E के निर्देशांक = (x3+x12,y3+y12)
चूँकि बिन्दु F रेखाखण्ड AB का मध्य-बिन्दु है।
F के निर्देशांक = (x1+x22,y1+y22)
चूँकि बिन्दु , बिन्दु B (x2, y2) एवं E (x3+x12,y3+y12) को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

अतः बिन्दु Q के अभीष्ट निर्देशांक = (x1+x2+x33,y1+y2+y33) हैं।
चूँकि बिन्दु R बिन्दु C (x3, y3) एवं बिन्दु F(x1+x22,y1+y22) को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 12
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 13
अतः बिन्दु R के अभीष्ट निर्देशांक = (x1+x2+x33,y1+y2+y33) हैं।

(iv) ∆ABC के शीर्ष A (x1, y1), B (x2, y2) एवं C (x3, y3) हैं
∆ABC के केन्द्रक के निर्देशांक = (x1+x2+x33,y1+y2+y33) (हम जानते हैं)
अत: ∆ABC के केन्द्रक के निर्देशांक = (x1+x2+x33,y1+y2+y33) हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि बिन्दु A (x, y), B (-5, 7) तथा C (-4, 5) सरेखीय हों, तो x तथा y में सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि बिन्दु A, B तथा C सरेख हैं ⇒ ar (ABC) = 0
12 [x (7 – 5) + (-5) (5 – y) + (-4) (y – 7)] = 0
2x – 25 + 5y – 4y + 28 = 0
2x + y + 3 = 0
अतः x एवं y में अभीष्ट सम्बन्ध 2x + y + 3 = 0 है।

प्रश्न 2.
बिन्दु A (4, 7), B (p, 3) तथा C (7, 3) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं, जिसमें B समकोण है। p का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि त्रिभुज ABC बिन्दु B पर समकोण है।
⇒ AB² + BC² = AC² [पाइथागोरस प्रमेय]
⇒ (p – 4)² + (3 – 7)² + (p – 7)² + (3 – 3)² = (4 – 7)² + (7 – 3)²
⇒ p² – 8p + 16 + 16 + p² – 14p + 49 + 0 = 9 + 16
⇒ 2p² – 22p + 56 = 0
⇒ p² – 11p + 28 = 0
⇒ p² – 4p – 7p + 28 = 0
⇒ p (p – 4) – 7 (p – 4) = 0
⇒ (p – 4) (p – 7) = 0
या तो p – 4 = 0 ⇒ p = 4
अथवा p – 7 = 0 ⇒ p = 7
अतः p का अभीष्ट मान या तो 4 है अथवा 7 है।

प्रश्न 3.
एक रेखा y-अक्ष तथा x-अक्ष को क्रमश: P तथा Q पर प्रतिच्छेद करती है। यदि (2, -5) PQ का मध्य-बिन्दु है, तो P तथा Q के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि P, y-अक्ष का तथा Q, x-अक्ष का बिन्दु है तो मान लीजिए P(0, Y) तथा Q(x, 0) हैं।
चूँकि (2,-5) PQ का मध्य-बिन्दु हो, तो
x+02 = 2
⇒ x = 4
⇒ Q (4,0)
एवं
y+02 = -5
⇒ y = -10
⇒ P (0, -10)
अत: P एवं ए के अभीष्ट निर्देशांक क्रमशः P (0, – 10) एवं Q (4, 0) हैं।

प्रश्न 4.
यदि P (x, y) की A (5, 1) तथा B (-1, 5) से दूरियाँ समान हों तो सिद्ध कीजिए कि 3x = 2y.
हल :
चूँकि PA = PB दिया है
(PA)² = (PB)²
(x – 5)² + (y – 1)² = (x + 1)² + (y – 5)²
x² – 10x + 25 + y² – 2y + 1 = x² + 2x + 1 + y² – 10y + 25
-10x – 2x = – 10y + 2y
-12x = – 8y
3x = 2y.
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (3, 0), (6, 4) एवं (-1, 3) एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष है|
हल :
मान लीजिए ∆PQR के शीर्ष P (3,0), Q (6, 4) एवं R (-1, 3) दिये हैं तो
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 14
PQ = RP = √25
एवं PQ² + RP² = 25 + 25 = 50 = (√50)² = QR²
∆PQR समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।
अतः दिया हुआ ∆ समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
बिन्दु A (-5, 6), B (-4,- 2) और C (7,5) से बने त्रिभुज का प्रकार (प्रकृति) बतलाइए।
हल :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 15
चैंकि AB ≠ BC ≠ CA
अतः दिया हुआ अभीष्ट ∆ABC विषमबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 7.
x-अक्ष पर वे बिन्दु ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (7,-4) से 2√5 इकाई की दूरी पर हैं। इस प्रकार से कितने बिन्दु होंगे?
हल :
मान लीजिए अभीष्ट बिन्दु (x, 0) है (x-अक्ष पर y शून्य होता है) तो प्रश्नानुसार,
(x7)2+(0+4)2−−−−−−−−−−−−−−−√=25–√
⇒ x² – 14x + 49 + 16 = 20 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ x² – 14x + 45 = 0
⇒ x² – 5x – 9x + 45 = 0
⇒ x (x – 5) – 9 (x – 5) = 0
⇒ (x – 5) (x – 9) = 0
या तो x – 5 = 0 ⇒ x = 5
अथवा x – 9 = 0 ⇒ x = 9
अतः अभीष्ट दो बिन्दु क्रमशः (5,0) एवं (9,0) होंगे।

प्रश्न 8.
यदि बिन्दुओं A (-3, -14) एवं B (a, -5) के बीच की दूरी 9 इकाई है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ AB = 9 (दिया है)
⇒ (a+3)2+(5+14)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√=9
⇒ a² + 6a + 9 + 81 = 81 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ a² + 6a + 9 = 0
⇒ (a + 3)² = 0
⇒ a + 3 = 0
⇒ a = -3
अतः a का अभीष्ट मान -3 है।

प्रश्न 9.
यदि बिन्दु (5, 1), (-2, -3) एवं (8, 2m) सरेखीय हों तो m का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि दिए हुए बिन्दु सरेखीय हैं अतः उससे बने क्षेत्र का क्षेत्रफल = 0 शून्य होगा।
⇒ 12 [5 (-3 – 2m) + (-2) (2m – 1) + 8 (1 + 3)] = 0
⇒ – 15 – 10m – 4m + 2 + 32 = 0
⇒ – 14m + 19 = 0
⇒ 14m = +19
⇒ m = 1914
अतः m का अभीष्ट मान = 1914 इकाई है।

प्रश्न 10.
यदि बिन्दु A (2, -4), बिन्दुओं P (3, 8) एवं Q (-10, v) से बराबर दूरी पर स्थित है, तो v का मान बताइए।
हल :
चूँकि AP = AQ दिया है
(23)2+(48)2−−−−−−−−−−−−−−−−√=(2+10)2+(4v)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√
⇒ (-1)² + (- 12)² = (12)² + (-4 – v)² (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ 1 + 144 = 144 + 16 + v² + 8v
⇒ v² + 8v + 15 = 0
⇒ v² + 3v + 5v + 15 = 0
⇒ v(v + 3) + 5 (v + 3) = 0
⇒ (v + 3) (v+ 5) = 0
या तो v + 3 = 0 ⇒ v = -3
v + 5 = 0 ⇒ v = -5
अतः v के अभीष्ट मान = -3 अथवा -5 हैं।

प्रश्न 11.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-8, 4), (-6, 6) एवं (-3, 9) हैं।
हल:
क्षेत्रफल = 12 [-8 (6 – 9) + (-6) (9 – 4) + (-3) (4 – 6)]
12 [-8 (-3) + (-6) (5) + (-3) (-2)]
12 [24 – 30 + 6]
12 [30 – 30]
12 x 0
= 0
अतः त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 0 है।

प्रश्न 12.
x-अक्ष, बिन्दुओं (-4,-6) एवं (-1, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करता है? उस छेदक बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए x-अक्ष पर स्थित छेदक बिन्दु (x, 0) है तथा यह दी गयी रेखाखण्ड को m : 1 के अनुपात में विभाजित करता है तो
m(7)+1(6)m+1=0
7m – 6 = 0
m = 67
अत: x-अक्ष दिए रेखाखण्ड को 6 : 7 के अनुपात में विभाजित करता है।
अब
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 16
12
अत: छेदक बिन्दु के अभीष्ट निर्देशांक (3413, 0) हैं।

प्रश्न 13.
यदि P (9a – 2,- b) बिन्दुओं A (3a + 1, -3) एवं B (8a, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 3 : 1 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है, तो a और b के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 17
⇒ 36a – 8 = 27a + 1
⇒ 36a – 27a = 1 + 8
⇒ 9a = 9
⇒ a = 99 = 1
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 18
⇒ b = -3
अतः a एवं b के अभीष्ट मान क्रमशः 1 एवं -3 हैं।

प्रश्न 14.
यदि (a, b), बिन्दुओं A (10, -6) एवं B (k, 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु है तथा a – 2b = 18 तोk का मान तथा AB दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रश्नानुसार,
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 19
a – 2b = 18 (दिया है) …..(3)
a – 2 (-1) = 18
a = 16 ….(4) [समीकरण (2) एवं (3) से]
k + 10 = 2 x 16 = 32 [समीकरण (1) एवं (4) से]
k= 32 – 10 = 22
अतः k का अभीष्ट मान = 22 है।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 20
अत: AB का अभीष्ट मान = 2√61 इकाई है।

प्रश्न 15.
बिन्दुओं P (- 1, 3) एवं Q (2, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर इस प्रकार स्थित बिन्दु R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि PR = 35 PQ.
हल :

माना R के निर्देशांक (x, y) हैं और यह PQ को इस प्रकार विभाजित करता है कि PR : PQ = 35
PR : PQ = 3 : 5
PR : RQ = 3 : 2
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 22
अतः बिन्दु R के अभीष्ट निर्देशांक (45,215) है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

[बताइए निम्न कथन सत्य हैं या असत्य अपने उत्तर का औचित्य भी दीजिए।

प्रश्न 1.
बिन्दु A (-1,0), B (3, 1), C (2, 2) एवं D (-2, 1) एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि AC का मध्य-बिन्दु (12, 1) तथा BD का मध्य-बिन्दु भी (12, 1) है जो समान हैं तथा समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजक होते हैं।

प्रश्न 2.
बिन्दु (4, 5), (7, 6) एवं (6, 3) संरेखीय हैं।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि बिन्दुओं से निर्मित त्रिभुजकार क्षेत्र का क्षेत्रफल
12 [4 (6 – 3) + 7 (3 – 5) + 6 (5 – 6)]
12 (12 – 14 – 6)
= – 4 ≠ 0.

प्रश्न 3.
बिन्दु P (0, – 7), y-अक्ष एवं बिन्दु A (-1, 0) तथा B (7, -6) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब अर्द्धक पर स्थित है।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि P (0, – 7) y-अक्ष पर है तथा
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 23
अर्थात् PA = PB जो AB के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।

प्रश्न 4.
शीर्ष A (-2, 0), B (2, 0) एवं C (0, 2) वाला त्रिभुज ABC एवं शीर्ष D (-4,0), E (4,0) एवं F (0, 4) वाला त्रिभुज DEF समरूप हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि तीनों संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।

प्रश्न 5.
बिन्दु P(-4, 2), बिन्दुओं A (-4, 6) एवं B (-4, -6) को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर स्थित हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि तीनों बिन्दु x = – 4 रेखा पर स्थित हैं।

प्रश्न 6.
बिन्दु (0, 5), (0, – 9) एवं (3, 6) सरेखीय हैं।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि प्रथम दो बिन्दु }-अक्ष पर स्थित हैं जबकि तीसरा बिन्दु प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।

प्रश्न 7.
बिन्दु P (0, 2), y-अक्ष एवं बिन्दु A (-1, 1) तथा B (3, 3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि PA=(1)2+(1)2−−−−−−−−−−−−√=1+1−−−−√=2–√ एवं PB=(3)2+(1)2−−−−−−−−−√
=9+1−−−−√=10−−√ है अर्थात् PA ≠ PB.

प्रश्न 8.
बिन्दु A (3, 1), B (12, – 2) एवं C (0, 2) किसी त्रिभुज के शीर्ष नहीं हो सकते।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि ar (ABC) = 12 [3 (-2 – 2) + 12 (2 – 1) + 0 (1 + 2)]
12 [-12 + 12 + 0]
= 0.

प्रश्न 9.
बिन्दु A (4, 3), B (6, 4), C (5,-6) एवं D (-3, 5) किसी समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि AC का मध्य-बिन्दु (92,32) तथा BD का मध्य-बिन्दु (32,92) है
अर्थात् विकर्ण परस्पर समद्विभाजित नहीं करते।

प्रश्न 10.
एक वृत्त का केन्द्र O मूलबिन्दु है। बिन्दु P (5, 0) इस पर स्थित है तथा बिन्दु Q(6, 8) वृत्त के बाहर स्थित है।
हल :
कथन सत्य है,क्योंकि OP = √(5)² = 5 एवं OQ=(6)2+(8)2−−−−−−−−−√=36+64−−−−−−√=100−−−√=10 है
अर्थात् OQ > r (OP).

प्रश्न 11.
बिन्दु A (2, 7), बिन्दुओं P (6, 5) एवं Q (0, – 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।
हल :
कथन असत्य है क्योंकि AP=(4)2+(2)2−−−−−−−−−−√=16+4−−−−−√=20−−√ एवं AQ=(2)2+(11)2−−−−−−−−−−√ =4+121−−−−−−√=125−−−√=55–√ अर्थात् AP ≠ AQ.

प्रश्न 12.
बिन्दु P (5, – 3), दो बिन्दुओं A (7, – 2) एवं B (1, – 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले दो बिन्दुओं में से एक है।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि 1(1)+2(7)1+2=153=5 एवं 1(5)+2(2)1+2=543=93
= – 3 अर्थात् बिन्दु P, AB को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।

प्रश्न 13.
बिन्दु A (-6, 10), B (-4, 6) एवं C (3,-8) सरेखीय बिन्दु हैं इस प्रकार कि AB=29AC
हल :
कथन सत्य है. क्योंकि
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 25
B, AC को 2 : 7 की अनुपात में विभाजित करता है। अर्थात् AB = 29 AC.

प्रश्न 14.
बिन्दु P(-2, 4), त्रिज्या 6 एवं केन्द्र (3, 5) वाले वृत्त पर स्थित है।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 26

प्रश्न 15.
बिन्दु A (-1,- 2), B (4, 3), C (2, 5) एवं D (-3, 0) क्रम में एक आयत का निर्माण करते हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि AC का मध्य-बिन्दु (12,32) एवं BD का मध्य-बिन्दु (12,32) है।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 27
अर्थात् विकर्ण AC = BD = √58 एवं विकर्ण परस्पर बिन्दु (12,32) पर समद्विभाजित करते हैं।

 

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
x-अक्ष से बिन्दु P (2, 3) की दूरी है :
(a) 2
(b) 3
(c) 1
(d) 5.
उत्तर:
(b) 3

प्रश्न 2.
बिन्दु A (0, 6) एवं B (0, – 2) के बीच दूरी है :
(a) 6
(b) 8
(c) 4
(d) 2.
उत्तर:
(b) 8

प्रश्न 3.
मूल बिन्दु से बिन्दु P(-6, 8) की दूरी है :
(a) 8
(b) 2√7
(c) 10
(d) 6.
उत्तर:
(c) 10

प्रश्न 4.
बिन्दु (0, 5) एवं (-5, 0) के बीच दूरी है :
(a) 5
(b) 5√2
(c) 2√5
(d) 10.
उत्तर:
(b) 5√2

प्रश्न 5.
AOBC एक आयत है जिसके तीन शीर्ष हैं A (0, 3), 0 (0, 0) एवं B (5,0); इसके विकर्ण की लम्बाई है:
(a) 5
(b) 3
(c) √34
(d) 4.
उत्तर:
(c) √34

प्रश्न 6.
त्रिभुज की परिमाप जिसके शीर्ष (0, 4), (0, 0) एवं (3, 0) हैं, है :
(a) 5
(b) 12
(c) 11
(d) 7 + √5.
उत्तर:
(b) 12

प्रश्न 7.
शीर्ष A (3,0), B (7,0) एवं C (8, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है :
(a) 14
(b) 28
(c) 8
(d) 6.
उत्तर:
(c) 8

प्रश्न 8.
बिन्दु (-4, 0), (4, 0) एवं (0, 3) शीर्ष हैं :
(a) समकोण त्रिभुज के
(b) सामद्विबाहु त्रिभुज के
(c) समबाहु त्रिभुज के
(d) विषमबाहु त्रिभुज के।
उत्तर:
(b) सामद्विबाहु त्रिभुज के

प्रश्न 9.
बिन्दु A (-2, -5) एवं B (2, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित बिन्द
(a) (0,0)
(b) (0, 2)
(c) (2,0)
(d) (-2,0).
उत्तर:
(a) (0,0)

प्रश्न 10.
बिन्दुओं A (-2, 8) एवं B (-6,-4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु है :
(a) (-4,-6)
(b) (2,6)
(c) (-4, 2)
(d) (4, 2).
उत्तर:
(c) (-4, 2)

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. किसी बिन्दु की y-अक्ष से दूरी ………. कहलाती है।
2. किसी बिन्दु की x-अक्ष से दूरी ……….. कहलाती है।
3. (0, y) एवं (x, 0) के मध्य दूरी ………… होती है।
4. (2a, 0) एवं (0, 2b) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक ……….. हैं।
5. तीन सरेखीय बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ………… है।
उत्तर-
1.x-निर्देशांक या भुज,
2. y-निर्देशांक या कोटि
3. x2+y2−−−−−−√
4. (a, b),
5. शून्य (0)।

जोड़ी मिलाइए

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 28
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 29
उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4.→(a),
5.→(b).

सत्य/असत्य कथन

1. (3, 0) एवं (0, 4) के बीच की दूरी 5 इकाई होती है।
2. (-4, 6) एवं (4,-6) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक (4, 6) हैं।
3. (4,0) एवं (0, 3) के बीच दूरी 5 इकाई है।
4. (0, 0), (3, 0), (0, 4) द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 12 इकाई है।
5. (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) शीर्ष वाले त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक (x1+x2+x33,y1+y2+y33) है।
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य,
3. सत्य,
4. असत्य,
5. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. बिन्दु (x1, y1) एवं (x2, y2) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक लिखिए।
2. (x1, y1) एवं (x2, y2) के मध्य दूरी क्या होगी?
3. (x1, y1) एवं (x2, y2) को मिलाने वाली रेखा को m1 : m2 के अनुपात में अन्तः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक लिखिए।
4. बिन्दु (x1, y1), (x2, y2) एवं (x3, y3) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल लिखिए।
5. मूलबिन्दु से बिन्दु (x, y) के बीच दूरी क्या होगी?
उत्तर-
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions 30

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