MP Board Class 9th Maths | युक्लिड के ज्यामिति का परिचय

MP Board Class 9th Maths | युक्लिड के ज्यामिति का परिचय

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Ex 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों में से कौन-कौन से कथन सत्य हैं और कौन-कौन से कथन असत्य हैं ?
अपने उत्तरों के लिए कारण दीजिए :
(i) एक बिन्दु से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।
(ii) दो भिन्न बिन्दुओं से होकर जाने वाली असंख्य रेखाएँ हैं।
(iii) एक सांत रेखा दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाई जा सकती है।
(iv) यदि दो वृत्त बराबर हैं तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होंगी।
(v) निम्न आकृति में यदि AB = PQ और PQ = XY है तो AB = XY होगा।

उत्तर:
(i) असत्य, क्योंकि एक बिन्दु से अनन्ततः अनेक रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
(ii) असत्य, क्योंकि दो भिन्न बिन्दुओं से होकर एक और केवल एक रेखा खींची जा सकती है? (यूक्लिड की अभिधारणा – 1 का अन्तर्विरोध)।
(ii) सत्य, क्योंकि यूक्लिड की अभिधारणा – 2 के अनुसार।
(iv) सत्य, क्योंकि दो समान वृत्त सम्पाती होते हैं तथा उनके केन्द्र, परिधि एवं त्रिज्या भी सम्पाती होती हैं।
(v) सत्य, क्योंकि वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर होती हैं परस्पर बराबर होती हैं। (यूक्लिड अभिगृहीत-1)

प्रश्न 2.
निम्नलिखित पदों में से प्रत्येक की परिभाषा दीजिए। क्या इनके लिए कुछ ऐसे पद हैं, जिन्हें परिभाषित करने की आवश्यकता है ? वे क्या हैं ? और आप इन्हें कैसे परिभाषित कर पाएंगे ?
(i) समान्तर रेखाएँ,
(ii) लम्ब रेखाएँ,
(iii) रेखाखण्ड,
(iv) वृत्त की त्रिज्या,
(v) वर्ग।
उत्तर:
(i) समान्तर रेखाएँ: “वे दो सीधी रेखाएँ जिन्हें अनिश्चित रूप से बढ़ाए जाने पर एक दूसरे से कभी भी नहीं मिलें, समान्तर रेखाएँ कहलाती हैं।” यहाँ AB || CD (चित्र 5.2)।

चित्र 5.2. समान्तर रेखाएँ

(ii) लम्ब रेखाएँ: “वे दो सीधी रेखाएँ जिनके मध्य का कोण माना 90° अर्थात् एक समकोण हो, परस्पर लम्ब रेखाएँ कहलाती है।” यहाँ AB ⊥ CD या CD ⊥ AB (चित्र 5.3)।

चित्र 5.3 लम्ब रेखाएँ

(iii) रेखाखण्ड: “किसी सीधी रेखा के किन्हीं दो बिन्दुओं के मध्य दूरी रेखाखण्ड कहलाती है।” यह CD¯¯¯¯¯¯¯¯ रेखा AB↔ का रेखाखण्ड है (चित्र 5.4)।

चित्र 5.4. रेखाखण्ड

(iv) वृत्त की त्रिज्या: “किसी वृत्त के केन्द्र से उसकी परिधि के किसी बिन्दु की दूरी उस वृत्त की त्रिज्या कहलाती है।” यहाँ OP वृत्त की त्रिज्या है (चित्र 5.5)।

चित्र 5.5. वृत्त की त्रिज्या

(v) वर्ग : वह चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ बराबर हों तथा प्रत्येक कोण एक समकोण (90°) हो, वर्ग कहलाता है। यहाँ ABCD वर्ग है (चित्र 5.6)।

(चित्र 5.6) वर्ग

प्रश्न 3.
नीचे दी गई अभिधारणाओं पर विचार कीजिए:
(i) दो भिन्न बिन्दु A और B दिए रहने पर एक तीसरा बिन्दु C ऐसा विद्यमान है जो A और B के बीच स्थित होता है।
(ii) यहाँ कम-से-कम ऐसे तीन बिन्दु विद्यमान हैं कि वे एक सीधी रेखा पर स्थित नहीं हैं। क्या इन अभिधारणाओं में कोई अपरिभाषित शब्द हैं ? क्या वे अभिधारणाएँ अविरोधी हैं ? क्या ये यूक्लिड की अभिधारणाओं से प्राप्त होती हैं? स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
ऐसे अनेक अपरिभाषित शब्द हैं जिनकी जानकारी छात्र को होनी चाहिए। ये संगत होते हैं, क्योंकि इनमें दो अलग-अलग A स्थितियों का अध्ययन किया जाता है।

(i) यदि दो बिन्दु A और B दिए हैं तो उनके बीच स्थित बिन्दु C होता है। यदि AC + CB = AB.
(ii) यदि दो बिन्दु A और B दिए हैं जो एक सीधी रेखा पर हैं तथा बिन्दु C ऐसा है जो AB के मध्य स्थित नहीं है यदि AC + CB > AB.
ये अभिगृहीत यूक्लिड की अभिगृहीतों का अनुसरण A नहीं करते फिर भी ये यूक्लिड की अभिधारणा 5.1 का चित्र 5.8 अनुसरण करते हैं।

प्रश्न 4.
यदि दो बिन्दुओं A और B के बीच एक बिन्दु C ऐसा स्थित है कि AC = BC है तो सिद्ध कीजिए AC = 12AB। एक चित्र खींचकर इसे स्पष्ट कीजिए।
हल:

दिया है: AC = BC
सिद्ध करना है : AC = 12 AB.
उपपत्ति :
∵ AC = BC (दिया है)
⇒ AC + AC = BC + AC (यूक्लिड अभिगृहीत – 2)
⇒ 2AC = AB [∵ BC + AC = AC + CB = AB सम्पाती है]
⇒ AC = 12AB. इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
प्रश्न 4 में C रेखाखण्ड AB का एक मध्य-बिन्दु कहलाता है। सिद्ध कीजिए कि एक रेखाखण्ड का एक और केवल एक ही मध्य-बिन्दु होता है।

हल:
माना रेखाखण्ड AB के दो मध्य-बिन्दु C एवं D हैं।
∵ रेखाखण्ड AB का मध्य-बिन्दु C है
⇒ AC = CB = 12AB ….(1)
∵ रेखाखण्ड AB का मध्य-बिन्दु D भी है
⇒ AD = DB = 12AB
⇒ AC = AD [समीकरण (1) एवं (2) से]
इस प्रकार रेखाखण्ड AC रेखाखण्ड AD पर सम्पाती होगा।
चूँकि AC का बिन्दु A, AD के बिन्दु A पर सम्पाती होगा।
इसलिए बिन्दु C बिन्दु D पर सम्पाती होगा।
इस प्रकार बिन्दु C एवं बिन्दु D दो अलग बिन्दु नहीं अपितु एक ही बिन्दु हैं।
अतः एक रेखाखण्ड का एक और केवल एक ही मध्य-बिन्दु होता है। इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
संलग्न चित्र में AC = BD है, तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD.

हल:
दिया है: AC = BD
सिद्ध करना है: AB = CD
उपपत्ति : AC = BD (दिया है)
⇒ AB + BC = BC + CD [:: AC = AB + BC एवं BD = BC+CD]
⇒ AB + BC – BC = BC + CD – BC [यूक्लिड अभिग्रहीत 3 से]
अतः AB = CD. [अर्थात् बराबरों में से बराबर घटाया जाए तो शेषफल भी बराबर होता है] इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
यूक्लिड की अभिगृहीतों की सूची में दिया हुआ अभिगृहीत-5 एक सर्वव्यापी सत्य क्यों माना जाता है? (ध्यान दीजिए कि यह प्रश्न पाँचवीं अभिधारणा से सम्बन्धित नहीं हैं।)
उत्तर:
क्योंकि विश्व के किसी भी भाग में किसी भी वस्तु के लिए यह सत्य है, इसलिए अभिगृहीत-5 को सार्वभौमिक (सर्वव्यापी) सत्य माना जाता है।

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Ex 5.2

प्रश्न 1.
आप यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को किस प्रकार लिखेंगे ताकि यह सरलता से समझी जा सके?
उत्तर:
यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं को प्रतिच्छेद करे और अपने एक ही ओर के दो अन्तः कोणों का योग 2 समकोण (180°) से कम है तो वे रेखाएँ प्रतिच्छेदी रेखाएँ होंगी, समान्तर नहीं।

प्रश्न 2.
क्या यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा से समान्तर रेखाओं के अस्तित्व का औचित्य निर्धारित होता है ? स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:

यदि कोई सरल रेखा l, दो सरल रेखाओं m एवं n पर पड़ती है इस प्रकार कि l के एक ओर के अन्तः कोणों का योग 2 समकोण (180°) हो तो वे रेखाएँ m एवं n इस ओर कभी भी नहीं मिलेंगी (यूक्लिड के पाँचवीं अभिगृहीत के अनुसार) एवं चूँकि दूसरी ओर के अन्त: कोणों का योग भी चित्र 5.12 दो समकोण (180°) होगा।
अतः ये इस तरफ भी नहीं मिलेंगी। अत: रेखाएँ m एवं n परस्पर समान्तर होंगी।

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Additional Questions

MP Board Class 9th Maths Chapter 5 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 9th Maths Chapter 5 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1. निम्नलिखित कथन को पढ़िए :
“एक समबाहु त्रिभुज तीन रेखाखण्डों से बना एक बहुभुज है जिनमें से दो रेखाखण्ड तीसरे रेखाखण्ड के बराबर हैं तथा इसका प्रत्येक कोण 60° का है।” इस परिभाषा में उन पदों को परिभाषित कीजिए जिन्हें आप आवश्यक समझते हैं। क्या इसमें कोई अपरिभाषित पद है ? क्या आप इसका औचित्य दे सकते हैं कि एक समबाहु त्रिभुज के सभी कोण और सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। उत्तर:
परिभाषित किए जाने वाले पद :
बहुभुज : तीन या तीन से अधिक रेखाखण्डों से बनी एक सरल बन्द आकृति।
रेखाखण्ड : रेखा का वह भाग जिसके दो अन्त-बिन्दु हों।
रेखा : अपरिभाषित पद।
बिन्दु : अपरिभाषित पद।
कोण : उभयनिष्ठ शीर्ष वाली दो किरणों से बनी आकृति।
किरण : रेखा का वह भाग जिसका एक अन्त-बिन्दु हो।
त्रिभुज : तीन रेखाखण्डों से निर्मित एक सरल बन्द आकृति।
अपरिभाषित पद : रेखा एवं बिन्दु।। त्रिभुज का प्रत्येक कोण का माप 60° है (दिया है)
अतः समबाहु त्रिभुज के सभी कोण बराबर हैं। दो रेखाखण्ड तीसरे रेखाखण्ड के बराबर है (दिया है)।
अतः समबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर होंगी। (यूक्लिड की प्रथम अभिगृहीत से “वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, परस्पर बराबर होती हैं।”)

MP Board Class 9th Maths Chapter 5 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दो सेल्समेनों ने अगस्त महीने में बराबर बिक्री की। सितम्बर में प्रत्येक सेल्समेन अपनी बिक्री अगस्त के महीने की बिक्री की दो गुनी कर लेता है। दोनों की सितम्बर की बिक्रियों की तुलना
कीजिए।
उत्तर:
चूँकि अगस्त में दोनों सेल्समेनों की बिक्री बराबर है। सितम्बर में दोनों की बिक्री अगस्त की बिक्री की दो गुनी है।
अत: दोनों की सितम्बर की बिक्री भी बराबर होगी, क्योंकि बराबर का दो गुना बराबर होता है। (अभिगृहीत-6 के अनसार।)

प्रश्न 2.
यह ज्ञात है कि x + y = 10 और x = है। दर्शाइए कि x + y = 10 है।
हल:
चूंकि y = y (अभिगृहीत – 4 से)
एवं x = z (दिया है)
⇒ x + y = z + y
(अभिगृहीत – 2 से)
एवं x + y = 10 (दिया है)
अतः z + y = 10. (अभिगृहीत-1 से) इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र को देखिए। दर्शाइए :
AH > AB + BC + CD है।

हल :
चित्रानुसार,
AB+ BC + CD, AH का एक भाग है
अतः AH > AB + BC + CD. (अभिगृहीत – 5)
अर्थात् पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में AB = BC एवं BX = BY दर्शाइए कि AX = CY है।
हल:

∵AB = BC (दिया है)
∵ BX = BY (दिया है)
AB – BX = BC – BY (अभिगृहीत – 3)
लेकिन AB – BX = AX
एवं BC – BY = CY (चित्रानुसार)
अतः Ax = CY.  इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में AC = DC और CB = CE है। दर्शाइए कि AB = DE है।

हल:
AC = DC (दिया है)
एवं CB = CE (दिया है)
AC + CB = DC + CE (अभिगृहीत – 2)
लेकिन AC + CB = AB
एवं DC + CE = DE (चित्रानुसार)
अतः AB = DE. इति सिद्धम्

MP Board Class 9th Maths Chapter 5 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

निम्न कथन सत्य हैं या असत्य लिखिए। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए :

प्रश्न 1.
यूक्लिडीय ज्यामिति केवल वक्र पृष्ठों के लिए ही मान्य है।
उत्तर:
असत्य कथन। यह केवल तल में बनी आकृतियों के लिए ही मान्य है।

प्रश्न 2.
ठोसों की परिसीमाएँ वक्र होती हैं।
उत्तर:
असत्य कथन। ठोसों की परिसीमाएँ पृष्ठ होते हैं।

प्रश्न 3.
एक पृष्ठ के किनारे वक्र होते हैं।
उत्तर:
असत्य कथन। पृष्ठों के किनारे रेखाएँ होती हैं।

प्रश्न 4.
वस्तुएँ जो एक ही वस्तु की दो गुनी हों बराबर होती हैं।
उत्तर:
सत्य कथन। यह यूक्लिड का एक अभिगृहीत है।

प्रश्न 5.
यदि एक राशि B एक अन्य राशि A का एक भाग है, तो A को B और एक अन्य राशि C के रूप में लिखा जा सकता है।
उत्तर:
सत्य कथन। यूक्लिड के एक अभिगृहीत के कारण।

प्रश्न 6.
वे कथन जिन्हें सिद्ध किया जा सकता है, अभिगृहीत कहलाते हैं।
उत्तर:
असत्य कथन। सिद्ध किए गए कथन प्रमेय कहलाते हैं।

प्रश्न 7.
कथन प्रत्यके रेखा l और उस पर न स्थित प्रत्येक बिन्दु P के लिए एक अद्वितीय रेखा का अस्तित्व है जो P से होकर जाती है और l के समान्तर है, प्लेफेयर अभिगृहीत कहलाता है।
उत्तर:
सत्य कथन। यह यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा का एक रूपान्तरण है।

प्रश्न 8.
दो भिन्न प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही रेखा के समान्तर नहीं हो सकती।
उत्तर:
सत्य कथन। यह यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा का एक रूपान्तरण है।

प्रश्न 9.
यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को अन्य अभिधारणाओं और अभिगृहीतों का प्रयोग करते हुए सिद्ध करने के प्रयासों के फलस्वरूप अन्य अनेक ज्यामितियों की खोज हुई।
उत्तर:
सत्य कथन। ये ज्यामितियाँ यूक्लिडीय ज्यामिति से भिन्न है।

MP Board Class 9th Maths Chapter 5 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
प्राचीन भारत में, आयतों, त्रिभुजों और समलम्बों से समायोजित आकारों की वेदियाँ निम्नलिखित में प्रयोग होती थीं:
(a) सार्वजनिक पूजास्थल
(b) घरेलू पूजास्थल
(c) A और B दोनों
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(a) सार्वजनिक पूजास्थल

प्रश्न 2.
प्राचीन भारत में घरेलू पूजा कार्य में प्रयोग की जाने वाली वेदियों के आकार होते थे :
(a) वर्ग और वृत्त
(b) त्रिभुज और आयत
(c) समलम्ब और पिरामिड
(d) आयत और वर्ग।
उत्तर:
(a) वर्ग और वृत्त

प्रश्न 3.
अथर्ववेद में दिए गए ‘श्री यन्त्र’ में एक-दूसरे के साथ जुड़े अन्तर्निहित समद्विबाहु त्रिभुजों की संख्या है:
(a) सात
(b) आठ
(c) नौ
(d) ग्यारह।
उत्तर:
(c) नौ

प्रश्न 4.
यूनानियों ने निम्नलिखित पर बल दिया :
(a) आगमन, तर्कण
(b) निगमन, तर्कण
(c) A और B
(d) ज्यामिति का व्यावहारिक प्रयोग।
उत्तर:
(b) निगमन, तर्कण

प्रश्न 5.
यूक्लिड निम्नलिखित देश का वासी था :
(a) बेबीलोनिया
(b) मिस्र
(c) यूनान
(d) भारत।
उत्तर:
(c) यूनान

प्रश्न 6.
थेल्स निम्नलिखित देश का वासी था :
(a) बेबीलोनिया
(b) मिस्र
(c) यूनान
(d) रोम।
उत्तर:
(c) यूनान

प्रश्न 7.
पाइथागोरस एक विद्यार्थी था :
(a) थेल्स का
(b) यूक्लिड का
(c) (a) और (b) दोनों का
(d) आर्कमिडीज का।
उत्तर:
(a) थेल्स का

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से किसकी उपपत्ति की आवश्यकता है :
(a) प्रमेय
(b) अभिगृहीत
(c) परिभाषा
(d) अभिधारणा।
उत्तर:
(a) प्रमेय

प्रश्न 9.
यूक्लिड के कथन सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं निम्न के रूप में दिया गया है :
(a) अभिगृहीत
(b) परिभाषा
(c) अभिधारणा
(d) उपपत्ति।
उत्तर:
(c) अभिधारणा

प्रश्न 10.
“रेखाएँ समान्तर होती हैं, यदि वे प्रतिच्छेद नहीं करतीं” का कथन निम्न रूप में दिया गया है:
(a) अभिगृहीत
(b) परिभाषा
(c) अभिधारणा
(d) उपपत्ति।
उत्तर:
(b) परिभाषा

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. पिरामिड का आधार …….. होता है।
2. पिरामिड के पार्श्व फलक ……… होते हैं।
3. कोणों की परिसीमाएँ ……….. होती हैं।
4. पृष्ठों की परिसीमाएँ …….होती हैं।
5. सिन्धु घाटी की सभ्यता में निर्माण हेतु प्रयुक्त ईंटों की विमाओं में ……… का अनुपात था।
6. ………….. अपने भाग से बड़ा होता है। (2019)
उत्तर:
1. कोई भी बहुभुज,
2. त्रिभुजाकार,
3. पृष्ठ,
4. वक्र,
5. 4 : 2 : 1,
6. पूर्ण।

जोड़ी मिलान
स्तम्भ ‘A’                                               स्तम्भ ‘B’
1. एक ठोस की विमाओं की संख्या          (a) 13
2. एक पृष्ठ की विमाओं की संख्या           (b) 465
3. एक बिन्दु की विमाओं की संख्या         (c) 3
4. एलीमेण्ट्स में अध्यायों की संख्या        (d) 2
5. एलीमेण्ट्स में साध्यों की संख्या           (e) 0
उत्तर:
1. → (c),
2. → (d),
3. → (e),
4. → (a),
5. → (b).

सत्य/असत्य कथन

1. पिरामिड एक ठोस है जिसका आधार सदैव एक समबाहु त्रिभुज होता है।
2. ज्यामिति में हम बिन्दु, रेखा और तल को अपरिभाषित पद मानते हैं।
3. यूक्लिड की चौथी अभिगृहीत “प्रत्येक वस्तु स्वयं के बराबर होती है।”
4. यूक्लिड की ज्यामिति केवल तल में स्थित आकृतियों के लिए मान्य है।
5. बराबर वस्तुओं में समान वस्तु जोड़ने पर योग बराबर नहीं होता।
उत्तर:
1. असत्य,
2. सत्य,
3. सत्य,
4. सत्य,
5. असत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. एक बिन्दु से होकर कितनी सरल रेखाएँ खींची जा सकती हैं? (2019)
2. दो बिन्दुओं के बीच कितनी सरल रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
3. “पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है” कौन-सी अभिगृहीत है?
4. “सभी समकोण एक-दूसरे के बराबर होते हैं” कौन-सी अभिधारणा है?
5. जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों उनमें क्या सम्बन्ध होता है?
6. यूक्लिड की एक अवधारणा लिखिए। (2019)
उत्तर:
1. असंख्य,
2. एक,
3. पाँचवीं अभिगृहीत,
4. चौथी अभिधारणा,
5. बराबर होती हैं,
6. एक बिन्दु से एक अन्य बिन्दु तक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।

Tense