PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1

प्रश्न 1.
7.6 cm लंबा एक रेखाखंड खींचिए और इसे 5 : 8 के अनुपात में विभाजित कीजिए। दोनों भागों को मापिए।
हल :
एक 7.6 cm लंबाई का रेखाखंड।

रचना के चरण :
1. एक रेखाखंड AB = 7.6 cm लीजिए।
2. न्यून कोण ∠BAX बनाती हुई कोई किरण AX खींचिए।
3. किरण AX पर 5 + 8 = 13 (दिया गया अनुपात 5 : 8) बिन्दु A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ …………… A, A₁₁, A₁₂, A₁₃
इस प्रकार अंकित कीजिए कि A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = …………… = A₁₁A₁₂ = A₁₂ A₁₃ हो।
4. BA₁₃ को मिलाइए।
5. बिंदु A₅, से होकर जाने वाली A₅C || A₁₃B (A₅ पर ∠AA₁₃B के बराबर कोण बनाकर) AB को एक बिंदु ‘C’ प्रतिच्छे द करती हुई खींचिए। तब AC : CB = 5 : 8

यह दर्शाता है कि ‘C’, AB को 5 : 8 के अनुपात में विभाजित करता है।
दोनों भागों को मापने पर, AC = 2.9 cm, CB = 4.7 cm

वैकल्पिक विधि :
रचना के चरण :
1. एक रेखाखंड AB = 7.6 cm लीजिए।
2. एक न्यून कोण ZBAX खींचिए।
3. ∠ABY इस प्रकार खींचिए कि ∠ABY = ∠BAX.
4. बिंदु A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ किरण AX पर अंकित कीजिए ताकि A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = A₄A₅.
5. बिंदु B₁, B₂, B₃, B₄, B₅, B₆, B₇, B₈ किरण BY पर इस प्रकार अंकित कीजिए कि B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ = B₄B₅ = B₅B₆ = B₆B₇ = B₇B₈
6. A₅B₈ को मिलाइए मानो यह AB को बिंदु ‘C’ पर प्रतिच्छेद करती है।
तब AC : CB = 5 : 8

औचित्य : ∆ACA, और ∆ BCBg में,
∠ACAF = ∠BCBg [शीर्षाभिमुख कोण]
∠BAAT = ∠ABBg [रचना]
∴ ∆ACAS ~ ∆BCBg [AA-समरूपता कसौटी] |
∆ उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में होंगी।

अत: AC : CB = 5 : 8.

प्रश्न 2.
4 cm, 5 cm और 6 cm भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की 2/3 गुनी हों।
हल :
रचना के चरण :
1. दी गई शर्तों और मापों से एक त्रिभुज की रचना कीजिए।
मान लीजिए ∆ABC है। ABC AB = 5 cm, AC = 4 cm और BC = 6 cm.
2. भुजा BC के नीचे कोई कोण ZCBX बनाइए।

3. तीन बिंदु (ई में 2 और 3 में से बड़ी संख्या) B₁, B₂, B₃, BX पर इस प्रकार अंकित कीजिए कि | BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ हो।
4. B₃C को मिलाइए।
5. B₂ (2/3 में और 3 में छोटी संख्या) में से एक रेखा B₃C के समांतर खींचिए जो BC को C’ पर प्रतिच्छेद करती है।
6. C’, में से होकर जाने वाली CA के समांतर एक रेखा खींचिए जो BA को A’ पर मिले।
अतः, ∆A’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ। ∆ABC की संगत भुजाओं की 2/3 गुनी हैं।

प्रश्न 3.
5 cm, 6 cm और 7 cm भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिये हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की = गुनी हों।
हल :

रचना के चरण :
1. ∆ABC की रचना कीजिए जिसमें AB = 7 cm, BC = 6 cm और AC = 5 cm हैं।
2. आधार AB के नीचे कोई न्यून कोण ∠BAX बनाइए।
3. सात बिंदु A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, A₇, किरण AX पर इस प्रकार अंकित कीजिए कि
AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = A₄A₅ = A₅A₆ = A₆A₇
4. BA₅ को मिलाइए।
5. A₇, से A₅B के समांतर एक रेखा खींचिए। मान लीजिए यह AB को बढ़ाने पर B’ पर इस प्रकार मिलती है कि AB’ = 7/5 AB.
6. B’ में से एक रेखा BC के समांतर एक रेखा खींचिए जो AC को बढ़ाने पर C’ पर मिलती है।
∆AB’C’ अभीष्ट त्रिभुज है।

अत: ∆AB’C’ की भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की 7/5 गुनी हैं।

प्रश्न 4.
आधार 8 cm तथा ऊँचाई 4 cm के एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ इस समद्विबाहु त्रिभुज की संगत भुजाओं की 13, गुनी हों।

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें BC = 6 cm, AB = 5 cm और ∠ABC = 60° हो। फिर एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की – गुनी हों।
हल :
रचना के चरण :
1. रेखा खंड BC = 6 cm लीजिए।
2. B पर 60° का कोण बनाइए अर्थात् ∠BAX = 60° बनाइए।
3. B को केन्द्र मानकर और 5 cm त्रिज्या लेकर एक चाप खींचिए जो BX को ‘A पर प्रतिच्छेद करे।

4. A और C को मिलाइए।
5. BC के नीचे B पर कोई न्यून कोण बनाइए।
6. चार बिंदु ( में 3 और 4 में से बड़ी संख्या) B₁, B₂, B₃, B₄, रेखा BY पर इस प्रकार अंकित कीजिए कि BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ हो।
7. B₄ और C को मिलाइए।
8. B₃ (में 3/4 3 और 4 से छोटी संख्या) में से एक रेखा B₄C के समांतर संगत कोण बनाती हुई खींचिए। मान लीजिए B₃ में से खींची रेखा BC को C’ पर प्रतिच्छेद करती है।
9. C’, में से एक रेखा CA के समांतर खींचिए जो BA को. A’ पर प्रतिच्छेद करती है।
∆A’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी संगत भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं के 3/4 गुनी हैं।

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज ABC बनाइए, जिसमें BC = 7 cm, ∠B = 45°, ∠A = 105° हो। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की 4/3 गुनी हों।
हल :
रचना के चरण :
1. दिए गए मापों से त्रिभुज ABC की रचना कीजिए।
2. भुजा BC के नीचे बिंदु B पर कोई न्यून कोण ∠CBX खींचिए।

त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से
∠A + ∠B + ∠C = 180°
105° + 45° + ∠C = 180°
∠C = 180 – 150° = 30°
3. चार बिंदु ( में 3 और 4 में से बड़ी संख्या) B₁, B₂, B₃, B₄, ‘BX’ पर इस प्रकार अंकित कीजिए कि BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ हो।
4. B₃C (4/3 में 3 और 4 में से छोटी) मिलाइए।
5. B₄ में से एक रेखा B₃C के समांतर खींचिए जो BC को बढ़ाने पर C’ पर प्रतिच्छेद करे।
6. C’ में से एक अन्य रेखा CA के समांतर खींचिए जो BA को बढ़ाने पर A’ पर प्रतिच्छेद करे।
7. ∆A’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं की 4/3 गुनी हैं।

प्रश्न 7.
एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ (कर्ण के अतिरिक्त)4cm तथा 3 cm लंबाई की हों। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की 5/3 गुनी हों।
हल :
रचना के चरण :
1. दी गई शर्तों से समकोण त्रिभुज खींचिए। मान लीजिए यह ∆ABC है। BC = 4 cm; AB = 3 cm और ∠B = 90°.
2. भुजा BC के नीचे कोई न्यून कोण ∠CBX खींचिए।
3. पाँच बिंदु (5/3 में 5 और 3 में से बड़ी संख्या) B₁, B₂, B₃, B₄, B₅, B₆ पर इस प्रकार अंकित कीजिए कि BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ = B₄B₅ हो।
4. B₃ (5/3 में ‘5’ और ‘3’ से एक छोटी संख्या) और ‘C’ को मिलाइए।

5. B₅ में से एक रेखा BC के समांतर खींचिए जो BC को बढ़ाने पर C’ पर प्रतिच्छेद करे।
6. पुन: C’ में से एक रेखा CA के समांतर खींचिए जो BA को बढ़ाने पर A’ पर मिले।
∆ ABC’ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं का 5/3 गुनी हैं।

रचना का औचित्य :
∆A BC’ और ∆ABC लीजिए।
∠B = ∠B [उभयनिष्ठ]
∠A’C’B = ∠ACB [रचना से]
∴ ∆A’BC’ ~ ∆ABC [AA-समरूपता कसौटी]
∴ उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हैं।

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