PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 22/7 का प्रयोग कीजिए।)

प्रश्न 1.
आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 cm, PR = 7 cm तथा 0 वृत्त का केन्द्र है।

प्रश्न 2.
आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केन्द्र 0 वाले दोनों सकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 7 cm और 14 cm हैं तथा ∠AOC = 40° है।
हल :

छोटे वृत्त की त्रिज्या (r) = 7 cm
बड़े वृत्त की त्रिज्या (R) = 14 cm
केन्द्रीय कोण ∠AOC (θ) = 40°
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = दीर्घ त्रिज्यखंड OAC का क्षेत्रफल – लघु त्रिज्यखंड OBD का क्षेत्रफल

∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 51.33 cm²

प्रश्न 3.
आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग है तथा APD और BPC दो अर्धवृत्त हैं।

प्रश्न 4.
आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ भुजा 12 cm वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष 0 को केन्द्र मान कर 6 cm त्रिज्या वाला एक वृत्तीय चाप खींचा गया है।

प्रश्न 5.
भुजा 4 cm वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 cm व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 6.
एक वृत्ताकार मेज़ पोश, जिसकी त्रिज्या 32 cm है, में बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिज़ाइन बना हुआ है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस छायांकित डिज़ाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
मेज़पोश की त्रिज्या (R) = 32 cm
OA = OB = OC = 32 cm

∆ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें
AB = AC = BC = 32 cm
∠A = ∠B = ∠C = 60°
∠AOB = 120° = BOC
OM ⊥ BC
BM = MC = 1/2 BC
∆OBM = ∆OMC [ RHS सर्वांगसमता]
अब ∆BOC में,
बिन्दु O से OM, ∠BOC और BC का लम्ब समद्विभाजक खींचा।
∴ BM = MC = 1/2 BC
परन्तु, OB = OC
एक वृत की त्रिज्या
∴ ∠B = ∠C
∴ ∠O + ∠B + ∠C = 180°
120° + 2∠B = 180°
∴ ∠B = 30°
और ∠B = ∠C = 30°
अब, ∠BOM = ∠COM = 60°
∆OMB = ∆OMC समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता
∴ ∆OMB में,
∠OBM = 30°
[∠O = 60° और ∠M = 90°]

प्रश्न 7.
आकृति में, ∆BCD भुजा 14 cm वाला एक वर्ग है। A, B, C और D को केन्द्र मानकर, चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त तीन शेष वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 8.
दोनों आंतरिक समांतर रेखाखंडों के बीच की दूरी 60 m है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखंड 106 m लंबा है। यदि यह पथ 10 m चौड़ा है, तो ज्ञात कीजिए।
(i) पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी
(ii) पथ का क्षेत्रफल

हल:

यहाँ AB = DC = 106 m
AF = BE = CG = HD = 10 m
आंतरिक अर्धवृत्त का व्यास (APD और BRC) = 60 m
∴ अर्धवृत्त की आन्तरिक त्रिज्या (APD) (r) = 30 m
अर्धवृत्त की बाहरी त्रिज्या (R) = r + 10
= 30 + 10 = 40 m
पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी, = AB + अर्धवृत्त BRC का परिमाप + CD + अर्धवृत्त DRA का परिमाप
= 2AB + 2 [अर्धवृत्त BRC का क्षेत्रफल]
= 2 (106) + 2 (2πr/2)
= 212 + 2πr
= 212 + 2 × 22/7× 30
= 212 + 60×22/7
= 212 + 188.57
= 400.57 m
∴ पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी, = 400.57 m

प्रश्न 9.
आकृति में, AB और CD केन्द्र 0 वाले एक वृत्त के दो परस्पर लंब व्यास हैं तथा OD छोटे वृत्त का व्यास है। यदिOA = 7 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 10.
एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 cm है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केन्द्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है ( देखिए आकृति )। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73205 लीजिए।)

हल :
समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 17320.5 cm²

प्रश्न 11.
एक वर्गाकार रूमाल पर, नौ वृत्ताकार डिज़ाइन बने हैं, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 7 cm है ( देखिए आकृति)। रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
वृत्त की त्रिज्या (R) = 7 cm
वृत्त का व्यास = 2 × R
= 2 × 7
= 14 cm
क्योंकि वर्ग की भुजा के अनुदिश तीन वृत्त हैं।
∴ वर्ग की भुजा = 3 [14] = 42 cm
रूमाल का कुल क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²
= (42)² = 1764 cm² .
नौ वृत्ताकार डिज़ाइनों का क्षेत्रफल = 9TR²
= 9 × 22/7 × (7)
= 9 × 22/7 × 7 × 7
= 9 × 154
= 1386 cm²
∴ शेष भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – 9 वृत्ताकार डिज़ाइनों का क्षेत्रफल
= 1764 – 1386 = 378 cm²
∴ शेष भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 378 cm²

प्रश्न 12.
आकृति में, OACB केन्द्र 0 और त्रिज्या 3.5 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(i) चतुर्थांश OACB
(ii) छायांकित भाग

प्रश्न 13.
आकृति में, एक चतुर्थांश OPBQ के अंतर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20 cm है, – तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 लीजिए।)

हल :
वर्ग ABCO की भुजा = 20 cm
∠AOC = 90°
AB = OA

प्रश्न 14.
AB और CD केन्द्र 0 तथा त्रिज्याओं 21 cm और 7 cm वाले दो संकेंद्रीय वृत्तों के क्रमशः दो चाप हैं ( देखिए आकृति)। यदि ∠AOB = 30° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 15.
आकृति में, ABC त्रिज्या 14 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मान कर एक अर्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
त्रिज्यखंड ACPB की त्रिज्या (r) = 14 cm
त्रिज्यखंड कोण (θ) = 90°
AB = AC = 7 cm

अभीष्ट क्षेत्रफल = अर्धवृत्त का क्षेत्रफल — [त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – ∆BAC का क्षेत्रफल]
= 154 – [154 – 98]
= 154 – 56
= 98 cm²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 98 cm²

प्रश्न 16.
आकृति में, छायांकित डिज़ाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो 8 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।

∴ वृत्तखंड DMBPD का क्षेत्रफल = ∆BPD का क्षेत्रफल – AABD का क्षेत्रफल
= 50.28 – 32
= 18.28 cm²
छायांकित क्षेत्रफल = 2 वृत्तखंड DMBPD का क्षेत्रफल
= 2 (18.28) = 36.56 cm².

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