RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन

December 19, 2021

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित डिग्री माप के संगत रेडियन माप ज्ञात कीजिए
(i) 25°
(ii) – 47°30
(iii) 520°
हल-
हम जानते हैं कि 180° = π रेडियन

प्रश्न 2.
निम्नलिखित रेडियन माप के संगत डिग्री माप ज्ञात कीजिए
(π = $\frac { 22 }{ 7 }$ का प्रयोग करें)
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.1
हल-
हम जानते हैं कि π रेडियन = 180°

प्रश्न 3.
एक पहिया एक मिनट में 360° परिक्रमण करता है तो एक सेकण्ड में कितने रेडियन माप का कोण बनाएगा?
हल :
∵1 परिक्रमण में पहिये द्वारा बनाया गया कोण = 2π रेडियन
∴ 360 पक्रिमण में पहिये द्वारा बनाया गया कोण = 360 x 2π रेडियन
अतः 1 मिनट या 60 सेकण्ड में बनाया गया कोण = 360 x 2π रेडियन
∴ 1 सेकण्ड में बनाया गया कोण = $\frac { 360\times 2\pi }{ 60 }$
= 12π रेडियन

प्रश्न 4.
एक वृत्त, जिसकी त्रिज्या 100 सेमी. है, की 22 सेमी. लम्बाई की चाप वृत्त के केन्द्र पर कितने डिग्री माप का कोण बनाएगी।
(π = $\frac { 22 }{ 7 }$ का प्रयोग कीजिए।)
हल-
हम जानते हैं कि l = r θ
यहाँ r = 100 cm, l = 22 cm.
∴ 22 = 100 x θ
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प्रश्न 5.
एक वृत्त, जिसका व्यास 40 सेमी. है, की एक जीवा 20 सेमी. लम्बाई की है तो इसके संगत छोटे चाप की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि बिन्दु O वृत्त के व्यास का केन्द्र बिन्दु है। हम जानते हैं कि प्रश्नानुसार वृत्त का व्यास 40 सेमी. है अतः त्रिज्या (r) = 20 cm.
∆OBC एक समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠BOC = 60°
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प्रश्न 6.
यदि दो वृत्तों के समान लम्बाई वाले चाप अपने केन्द्रों पर क्रमशः 60° तथा 75° के कोण बनाते हों, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि चाप की लम्बाई l है
चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण = 60°
∴ θ₁ = $\frac { \pi }{ 3 }$ रेडियन
माना कि इस वृत्त की त्रिज्या r₁ है।
∴ l = r₁ θ₁
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प्रश्न 7.
75 सेमी. लम्बाई वाले एक दोलायमान दोलक का एक सिरे से दूसरे सिरे तक दोलन करने से जो कोण बनता है, उसका माप रेडियन में ज्ञात कीजिए, जबकि उसके नोक द्वारा बनाए गए चाप की लम्बाई निम्नलिखित हैं
(i) 10 सेमी.
(ii) 21 सेमी.
हल-
(i) प्रश्नानुसार r = 75 सेमी.
l = 10 सेमी
θ = ?
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Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.2

निम्नलिखित प्रश्नों में पाँच अन्य त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.
cos x = $-\frac { 1 }{ 2 }$ ,x तीसरे चतुर्थाश में स्थित है।
हल-
दिया है— cos x = $-\frac { 1 }{ 2 }$
हम जानते हैं
sin²x + cos²x = 1
sin²x = 1 – cos²x
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प्रश्न 2.
cot x = $\frac { 3 }{ 2 }$ ,x तृतीय चतुर्थाश में स्थित है।
हल–
दिया है— cot x = $\frac { 3 }{ 2 }$
हम जानते हैं कि
cosec²x = 1 + cot²x
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प्रश्न 3.
sec x = $\frac { 13 }{ 5 }$ ,x चतुर्थ चतुर्थाश में स्थित है।
हल–
दिया है- sec x = $\frac { 13 }{ 5 }$
हम जानते हैं कि sec²x = 1 + tan²x
tan²x = sec²x – 1
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मान ज्ञात कीजिए

प्रश्न 4.
sin 765°
हल :
sin 765° = sin (2 x 360° + 45°)
= sin 45° ∵ sin (2πn + θ) = sin θ, ∀x ∈ 1
= $\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }$

प्रश्न 5.
tan $\frac { 19\pi }{ 3 }$
हल :
tan $\frac { 19\pi }{ 3 }$
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प्रश्न 6.
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हल :

प्रश्न 7.

हल :
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Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.3

सिद्ध कीजिए

प्रश्न 1.

हल
प्रश्नानुसार L.H.S.
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प्रश्न 2.
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हल :

प्रश्न 3.

हल :
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प्रश्न 4.

हल :
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प्रश्न 5.
मान ज्ञात कीजिया
(i) sin 75°
(ii) tan 15°
हल :
(i) ∵ sin 75°
= sin (45° + 30°)
= sin 45°. cos 30° + cos 45°. sin 30°
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(ii) tan 15°
= tan (45° – 30°)
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प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए
tan 225° cot 405° + tan 765° cot 675° = 0
हल :
L.H.S. tan 225° cot 405° + tan 765° cot 675°
⇒ tan(180° + 459) cot(360° + 459) + tan(2 x 360° + 45°). cot (2 x 360° – 45°)
⇒ tan 45° cot 45° + tan 45o ° x (-cot 45°)
⇒ tan 45° . cot 45° – tan 45° . cot 45° + 0
= RHS
LHS = RHS

प्रश्न 7.
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हल :

प्रश्न 8.
निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए
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हल :

प्रश्न 9.
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हल :

प्रश्न 10.
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हल :

प्रश्न 11.
sin (n + 1) x sin (n + 2) x + cos (n + 1) x cos (n + 2) x = cos x
हल :
L.H.S. = sin (n + 1) x sin (n + 2) x + cos (n + 1) x cos (n + 2) x
माना कि (n +1) x = A तथा (n + 2)x = B
= sin A . sin B + cos A cos B
= cos (A – B)
A तथा B का मान रखने पर
= cos [(n + 1)x – (n + 2)x]
= cos (nx + x – nx – 2x]
= cos (x – 2x) = cos (-x)
हम जानते हैं कि cos (-θ) = cos θ ∀θ∈R
= cos x
= R.H.S.

प्रश्न 12.
sin² 6x – sin² 4x = sin 2x sin 10x
हल :
L.H.S. = sin² 6x – sin² 4x
= (sin 6x + sin 4x) (sin 6x – sin 4x)
[∵ a² – b² = (a + b) (a – b)]
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= (2 sin 5x cos x) (2 cos 5x . sin x)
= (2 sin 5x cos 5x) (2 sin x cos x)
= sin 10x . sin 2x (∵ 2 sin cos θ = sin 2θ)
= R.H.S.
IInd Method :
L.H.S.= sin²6x – sin²4x
= sin (6x + 4x) sin (6x – 4x)
[∵ sin²A – sin²B = sin(A + B) sin(A – B)]
= sin 10x sin 2x
= R.H.S.

प्रश्न 13.
sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x = 4 cos² x sin 4x
हल :
L.H.S. = sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x
= (sin 2x + sin 6x) + 2 sin 4x
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= 2 sin (4x) cos (-2x) + 2 sin 4x
= 2 sin 4x (cos 2x + 1)
[∵ cos (-x) = cos x ∀ x ∈ R].
= 2 sin 4x (2 cos²x)
[∵ cos 2x = 2 cos²x – 1]
= 4 cos² x sin 4x
= R.H.S.

प्रश्न 14.
cot 4x (sin 5x + sin 3x) = cot x (sin 5x – sin 3x)
हल :
L.H.S. = cot 4x (sin 5x + sin 3x)
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प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए

हल :
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प्रश्न 16.

हल :
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प्रश्न 17.
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हल :

प्रश्न 18.

हल :
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प्रश्न 19.

हल :
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प्रश्न 20.
cos 4x = 1 – 8sin² x cos² x
हल :
L.H.S.= cos 4x = 1 – 2 sin² 2x = 1 – 2[sin 2x]²
= 1 – 2[2 sin x cos x]²
= 1 – 2[4 sin² x cos² x]
= 1 – 8sin² x cos² x
= R.H.S.

प्रश्न 21.
cos 6x = 32 cos⁶ x – 48 cos⁴ + x + 18 cos² x – 1
हल :
L.H.S. = cos 6x = cos 2(3x)
= 2 cos² 3x – 1
= 2 (4 cos³ x – 3 cos x)² – 1
∵ cos 3x = (4 cos³x – 3 cos x)
= 2 [16 cos⁶ x – 2 (4 cos³ x) (3 cos x) + 9 cos² x] – 1
= 2 (16 cos⁶ x – 24 cos⁴ x + 9 cos² x) – 1
= 32 cos⁶ x – 48 cos⁴ x + 18 cos² x – 1
= R.H.S.

प्रश्न 22.
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हल :

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.4

निम्नलिखित समीकरणों के मुख्य तथा व्यापक हल ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.
tan x = √3
हल :
प्रश्नानुसार tan x = √3
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प्रश्न 2.
sec x = 2
हल :
प्रश्नानुसार sec x = 2
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प्रश्न 3.
cot x = -√3
हल :
प्रश्नानुसार cot x = -√3
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प्रश्न 4.
cosec x = – 2
हल :
प्रश्नानुसार cosec x = – 2
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निम्नलिखित समीकरणों के व्यापक हल ज्ञात कीजिए

प्रश्न 5.
cos 4x = cos 2x
हल :
प्रश्नानुसार cos 4x = cos 2x
या 4x = 2nπ ± 2x
धनात्मक चिह लेने पर 4x = 2nπ + 2x
या 4x – 2x = 2nπ
या 2x = 2nπ
या x = nπ, n ∈ I
ॠणात्मक चिह लेने पर 4x = 2nπ – 2x
4x + 2x = 2nπ
6x = 2nπ
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प्रश्न 6.
cos 3x + cos x – cos 2x = 0
हल :
प्रश्नानुसार cos 3x + cos x – cos 2x = 0
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प्रश्न 7.
sin 2x + cos x = 0
हल :
प्रश्नानुसार sin 2x + cos x = 0
या 2 sin x cos x + cos x = 0
या cos x (2sin x + 1) = 0
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प्रश्न 8.
sec² 2x = 1 – tan 2x
हल :
प्रश्नानुसार sec²x = 1 – tan 2x
⇒ 1 + tan² 2x = 1 – tan 2x
⇒ tan² 2x + tan 2x = 0
⇒ tan 2x (tan 2x + 1) = 0
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प्रश्न 9.
sin x + sin 3x + sin 5x = 0
हल :
प्रश्नानुसार sin x + sin 3x + sin 5x = 0
या (sin x + sin 5x) + sin 3x = 0
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या 2 sin 3x cos (-2x) + sin 3x = 0
या 2 sin 3x cos 2x + sin 3x = 0
या sin 3x (2 cos 2x + 1) = 0

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
एक समकोण होता है
(A) एक रेडियन के बराबर
(B) 90 डिग्री के बराबर
(C) एक डिग्री के बराबर
(D) 90 रेडियन के बराबर
हल :
(B)

प्रश्न 2.
तृतीय पाद में निम्न त्रिकोणमितीय फलन धनात्मक होता है
(A) sin θ
(B) tan θ
(C) cos θ
(D) sec θ
हल :
(B)

प्रश्न 3.
cosec (-θ) बराबर है
(A) sin θ
(B) tan θ
(C) cos θ
(D) -cosec θ
हल :
(D)

प्रश्न 4.
tan(90° – θ) बराबर है
(A) -tan θ
(B) cot θ
(C) tan θ
(D) -cot θ
हल :
(B)

प्रश्न 5.
cos θ = $-\frac { 1 }{ 2 }$ हो, तो θ का मान होगा
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हल :
(A)

प्रश्न 6.
यदि n एक सम पूर्णांक हो, तो sin(2nπ ± θ) का मान होगा
(A) ± cos θ
(B) ± tan θ
(C) ± sin θ
(D) ± cot θ
हल :
(C)

प्रश्न 7.
cot 15° का मान होगा
(A) 2 + √3
(B) – 2 + √3
(C) 2 – √3
(D) – 2 – √3
हल :
(A)

प्रश्न 8.
cos 15° का मान होगा
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हल :
(A)

प्रश्न 9.
$2sin\frac { 5\pi }{ 12 } sin\frac { \pi }{ 12 }$ का मान होगा
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हल :
(D)

प्रश्न 10.
$cos\frac { \pi }{ 12 } -sin\frac { \pi }{ 12 }$ का मान होगा
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हल :
(D)

प्रश्न 11.
यदि sin A = $\frac { 3 }{ 5 }$ हो, तो sin 2A का मान होगा
(A) 4/25
(B) 5/25
(C) 24/25
(D) 4/5
हल :
(C)

प्रश्न 12.
यदि sin A = 3/4 हो, तो sin 3A का मान होगा
(A) 9/16
(B) -9/16
(C) 9/32
(D) 7/16
हल :
(A)

प्रश्न 13.
यदि tan A = 1/5 हो, तो tan 3A को मान होगा
(A) 47/25
(B) 37/55
(C) 37/11
(D) 47/55
हल :
(B)

प्रश्न 14.
यदि A + B = π/4 हो, तो (1 + tan A) (1 + tan B) का मान होगा
(A) 3
(B) 2
(C) 4
(D) 1
हल :
(B)

प्रश्न 15.
समीकरण sec² θ = 2 में θ का व्यापक मान होगा
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हल :
(A)

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि
(i) cos θ + sin(270° + θ) – sin(270° – θ) + cos(180° + θ) = 0
(ii)

हल :
(i) L.H.S. cos θ + sin(270° + θ) – sin(270° – θ) + cos(180° + θ)
⇒ cos θ – cos θ – (-cos θ) – cos θ
∵ sin(270° + θ) = -cos θ
sin(270° – θ) = -cos θ
cos(180° + θ) = -cos θ
⇒ cos θ – cos θ + cos θ – cos θ
= 0
= R.H.S.

(ii) L.H.S.
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= {-cosec θ} sec(90° – θ) – tan(90° + θ) cot θ
= (-cosec θ) . cosec θ – {-cot θ}. cot θ
= – cosec² θ + cot² θ
= – (cosec² θ – cot² θ)
= -1 = R.H.S.

प्रश्न 17.

का मान ज्ञात कीजिए जहाँ n एक पूर्णांक हो।
हल :
यहाँ पर n का मान पूर्णांक है।
∴ n = 0 रखने पर
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प्रश्न 18.
यदि sin A + sin B = a तथा cos A + cos B = b हो, तो सिद्ध कीजिए
(i) sin(A + B) = (2ab)/(a² + b²)
(ii) cos(A + B)= (b² – a²)/(a² + b²)
हल-
(i) दिया है sin A + sin B = a
तथा . cos A + cos B = b
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प्रश्न 19.
यदि A + B + C = 180° हो, तो सिद्ध कीजिए
(i) cos 2A + cos 2B – cos 2C = 1 – 4sin A sin B cos C
(ii) sin A – sin B + sin C = $4sin\frac { A }{ 2 } cos\frac { B }{ 2 } sin\frac { C }{ 2 }$
हल-
(i) L.HS.
= cos 2A + cos 2B – cos 2C
= 2 cos(A + B) cos(A – B) – cos 2C
= 2 cos(A + B) cos(A – B) – (2cos²C – 1)
∵ cos 2C = 2cos²C – 1
2cos(π – C) cos(A – B) – 2cos²C + 1 – 2cos C
cos(A – B) – 2cos²C + 1
1 – 2cos C[cos(A – B) + cos C]
1 – 2cos C[cos(A – B) + cos(π – (A + B)]
∵ A + B + C = 180°
1 – 2cos C(cos(A – B) – cos(A + B)]
1 – 2cos C × 2sin A sin B
= 1 – 4 sin A sin B cos C
= R.H.S.

(ii) L.H.S.
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प्रश्न 20.
यदि A + B + C = 2π हो, तो सिद्ध कीजिए
cos²B + cos²C – sin²A = 2cos A cos B cos C
हल-
L.HS.
cos²B + cos²C – sin²A
हम जानते हैं
cos 2B = 2cos² B – 1
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⇒ cos(A + B) cos(A – B) + cos² C
⇒ cos(2π – C) cos(A – B) + cos² C
∵ A + B + C = 2π
⇒ cos C cos(A – B) + cos² C
⇒ cos C[cos C + cos(A – B)]
⇒ cos C[cos(2π – (A + B) + cos(A – B)]
⇒ cos C[cos(A + B) + cos(A – B)]
⇒ cos C × 2cos A cos B
⇒ 2cos A cos B cos C = R.H.S.

प्रश्न 21.
निम्न समीकरण का हल ज्ञात कीजिए
2 tan θ – cot θ + 1 = 0
हल :
दिया गया समीकरण
2 tan θ – cot θ + 1 = 0
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