RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ

December 19, 2021

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Ex 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित को सरलतम रूप में लिखिए
(i) i⁵²
(ii) √-2√-3
(iii) (1 + i)⁵(1 – i)⁵
हल-
(i) i2 = (i) = (1) = 1 ∵ i = 1 होता है।
(ii) √-2√-3 = √2 x √-1 x √3 x √-1
= √2i x √3i = √2 x √3i²
= √6i²
= √-6 ∵ i² = -1
(iii) (1 + i)⁵(1 – i)⁵
= [(1 +i) (1 – i)]⁵ = ((1)² – (i)²)⁵
= (1 + 1)⁵ = 2⁵ = 32 ∵i² = -1

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याओं के योज्य एवं गुणन प्रतिलोम ज्ञात कीजिए-
(i) 1 + 2i
(ii)

$\frac { 1 }{ 3+4i }$
(iii) (3 + i)²
हल-
(i) माना 1 + 2i का योज्य प्रतिलोम (a + ib) है।
⇒ (1 + 2i) + (a + ib) = 0 + i0
⇒ (1 + a) + i(2 + b) = 0 + i0
⇒ 1 + a = 0 एवं 2 + b = 0
⇒ a = -1 एवं b = -2
अतः (1 + 2i) का योज्य प्रतिलोम (-1 – 2i) है।

(ii) $\frac { 1 }{ 3+4i }$
a + ib के रूप में लिखने के लिए अंश तथा हर में (3 + 4i) के संयुग्मी से गुणा करने पर
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(iii) (3 + i)² = (3)² + 2 x 3 x i + i²
= 9 + 6i – 1 ∵ i² = -1
8 + 6i
माना 8 + 6i का योज्य प्रतिलोम (a + ib) है।
⇒ (8 + 6i) + (a + ib) = 0 + 0.i
= (8 + a) + (6 + b)i = 0 + 0.i
वास्तविक तथा काल्पनिक भागों को अलग-अलग करने पर
8 + a = 0 ∴ a = -8
‘इसी तरह से 6 + b = 0 ∴ b = 0 – 6 = -6
अतः (8 + 6i) का योज्य प्रतिलोम = (-8 – 6i) है।
8 + 6i का गुणन प्रतिलोम = $\frac { 1 }{ 8+6i }$
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प्रश्न 3.
सम्मिश्र संख्या $\frac { { \left( 2+i \right) }^{ 3 } }{ 3+i }$ की संयुग्मी संख्या ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 4.
निम्नलिखित के मापांक ज्ञात कीजिए
(i) 4 + i
(ii) – 2 – 3i
(iii) $\frac { 1 }{ (3-2i) }$
हल-
(i) माना z = 4 + i
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(ii) z = – 2 – 3i
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(iii) माना $z=\frac { 1 }{ 3-2i }$
अंश तथा हर में (3 – 2i) के संयुग्मी से गुणा करने पर
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प्रश्न 5.
यदि a² + b² = 1 तो $\frac { 1+b-ia }{ 1+b+ia }$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
$\frac { 1+b-ia }{ 1+b+ia }$
अंश तथा हर में (1 + b – ia) के संयुग्मी से गुणा करने पर।
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लेकिन दिया गया है a² + b² = 1 मान रखने पर

प्रश्न 6.
यदि a = cos θ + i sin θ तब $\frac { 1+a }{ 1-a }$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है a = cos θ + i sin θ
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प्रश्न 7.
समीकरण
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हल-

प्रश्न 8.
यदि z₁ तथा z₂, कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हों तो सिद्ध कीजिए कि
|z₁ + z₂|² + |z₁ + z₂|² = 2|z₁|² + 2|z₂|²
हल-
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प्रश्न 9.
यदि a + ib = $\frac { c+i }{ c-i }$ , जहाँ c एक वास्तविक संख्या है, तो सिद्ध कीजिए कि a² + b² = 1 और है $\frac { b }{ a } =\frac { 2c }{ { c }^{ 2 }-1 }$
हल-
दिया है a + ib = $\frac { c+i }{ c-i }$ …..(1)
इसका संयुग्मी लिखने पर
a – ib = $\frac { c-i }{ c+i }$ …..(2)
समी. (1) तथा (2) का गुणा करने पर
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प्रश्न 10.
यदि (x + iy)^1/3 = (a + ib) है तो सिद्ध कीजिए कि
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हल-
दिया गया है।
(x + iy)^1/3 = (a + ib)
दोनों तरफ घन करने पर
((x + iy)^1/3)³ = (a + ib)³
x + iy = (a + ib)³
या (a + ib)³ = x + iy
या a³ + i³b³ + 3ia²b + 3i²ab² = x + iy
या a³ – ib³ + 3ia²b – 3ab² = x + iy
या (a³ – 3ab²) + i(3a²b – b³) = x + iy
वास्तविक तथा काल्पनिक भाग को अलग-अलग करने पर
अतः x = a³ – 3ab²
तथा 3a²b – b³
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प्रश्न 11.
यदि $\frac { { \left( x+i \right) }^{ 2 } }{ 3x+2 } =a+ib$ है, तो सिद्ध कीजिए कि
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हले-
प्रश्नानुसार

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Ex 5.2

प्रश्न 1.
निम्न सम्मिश्र संख्याओं के कोणांक ज्ञात कीजिए
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हल-
(i) $\frac { 1+i }{ 1-i }$
अंश तथा हर में (1 – i) के संयुग्मी से गुणा करने पर

(ii) – 1 + √3i
यहाँ पर स्पष्ट है a < 0, b > 0 (द्वितीय चतुर्थांश)
तब कोणांक
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(iii) $\frac { 5+i\sqrt { 3 } }{ 4-i2\sqrt { 3 } }$
अंश तथा हर में 4 – 2i√3 के संयुग्मी 4 + 2i√3 से गुणा करने पर
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प्रश्न 2.
निम्न सम्मिश्र संख्याओं को ध्रुवीय रूप में व्यक्त कीजिए
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हल-
(i) माना

वास्तविक तथा काल्पनिक भाग अलग-अलग करने पर
$\frac { 1 }{ 2 }$ = r cos θ ….(1)

(ii)
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(iii)
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प्रश्न 3.
यदि z₁ तथा z₂ दो अशून्य सम्मिश्र संख्याएँ हों, तो सिद्ध कीजिए कि

हल-
माना कि z₁ = r₁ (cos θ₁, + i sin θ₁)
तथा z₂ = r₂ (cos θ₂ + i sin θ₂)
कोणांक z₁ = θ₁ तथा कोणांक z₂ = θ₂,
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Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Ex 5.3

प्रश्न 1.
निम्न सम्मिश्र संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात कीजिए
(i) – 5 + 12i
(ii) 8 – 6i
(iii) – i
हल-
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प्रश्न 2.

का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
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माना 4 + 3√20i = (x + iy)²
4 + 3√20i = x² – y² + 2xyi
वास्तविक एवं काल्पनिक भागों को अलग-अलग करने पर
x² – y² = 4 ………(1)
एवं 2xy = 3√20 …..(2)
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प्रश्न 3.
निम्न के घनमूल ज्ञात कीजिए
(i) -216
(ii) -512
हल-
(i) माना (-216)^1/3= x
∴ x = (-216 x 1)^1/3
x = (-216)^1/3 x (1)^1/3
= – 6 x (1, w, w²)
∵ 1, w, w² इकाई के घनमूल हैं।
x = – 6, – 6w, – 6w²

(ii) माना (-512)^1/3 = x
∴ x = (-512)^1/3 = (-512 x 1)^1/3
x = -8 x (1)^1/3 = -8(1, w, w²)
x = -8, -8w, -8w²

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए
(i) 1 + wⁿ + w²ⁿ = 0, जबकि n = 2, 4
(ii) 1 + wⁿ + w²ⁿ = 3, जबकि n, 3 की गुणज है।
हल-
(i) L.H.S.= 1 + wⁿ +w²ⁿ
जब n = 2
तब L.H.S. = 1 + w² + w⁴ = 1 + w² + w³.w
L.H.S. = 1 + w² + w ∵ w³ = 1
L.H.S. = 0 = R.H.S.
∵ 1 + w + w² = 0
जब n = 4
तब L.H.S. = 1 + w⁴ + w⁸
L.H.S. = 1 + w³.w + w³.w³.w³
L.H.S. = 1 +w³.w + (w³)².w²
L.H.S. = 1 + w + w² ∵ w³ = 1
L.H.S. = 0 = R.H.S.
∵ 1 + w + w² = 0

(ii) L.H.S. = 1 + wⁿ + w²ⁿ
जब n, 3 का गुणन है, तब
माना n = 3m
∴ L.H.S. = 1 + w^3m + w^2.3m
L.H.S. = 1 + (w³)^m + (w³)^2m
= 1 + (1) + (1)^m ∵ w³ = 1
L.H.S. = 1 + 1 + 1 = 3 = R.H.S.

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए
(i)
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(ii) (1 + 5w² + w)(1 + 5w + w²)(5 + w + w²) = 64
हल-
(i) माना

= (w)²⁹ + (w²)²⁹
= w²⁹ + w⁵⁸
= (w³)⁹.w² + (w³)¹⁹.w
= 1.w² + 1.w ∵ w³ = 1
∵ 1 + w + w² = 0
= w² + w = -1 = R.H.S.

(ii) (1 + 5w² + w)(1 + 5w + w²)(5 + w + w²) = 64
LHS = (1 + 5w² + w)(1 + 5w + w²)(5 + w + w²)
LHS = (1 + 4w² + w² + w)(1 + 4w + w + w²) x (5 + w + w²)
∵ w² + w + 1 = 0 ⇒ w² + w = -1
LHS = (1 + 4w² – 1)(1 + 4w – 1)(5 – 1)
LHS = 4w² x 4w x 4 = 64w³ = 64 = R.H.S.

प्रश्न 6.
1, w, w² इकाई के घनमूल हो तो सिद्ध कीजिए
(1 + w)(1 + w²)(1 + w⁴)(1 + w⁸)……… 2n गुणनखण्ड = 1
हल-
LHS = (1 + w)(1 + w²)(1 + w⁴)(1 + w⁸) ……… 2n गुणनखण्ड
LHS = (1 + w)(1 + w²)(1 + w³.w)(1 + w³.w³.w²) ……… 2n गुणनखण्ड
LHS = (1 + w)(1 + w²)(1 + w)(1 + w²) ………. 2n गुणनखण्ड
LHS = (-w²)(-w)(-w²)(-w) ………. 2n गुणनखण्ड
LHS = w³.w³.w³………. n बार
LHS = 1.1.1.1.1.1 …….. n बार = 1

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Ex 5.4

प्रश्न 1.
निम्न, समीकरणों के हल वैदिक विधि से ज्ञात कीजिए
(i) x² + 4x + 13 = 0
(ii) 2x² + 5x + 4 = 0
(iii) ix² + 4x – $\frac { 15 }{ 2 }$ = 0
हल-
(i) यहाँ पर D₁ = 2x + 4,
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(ii) 2x² + 5x + 4 = 0
यहाँ पर D₁ = 4x + 5
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(iii) ix² + 4x – $\frac { 15 }{ 2 }$ = 0
यहाँ पर D₁ = 2ix + 4
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प्रश्न 2.
द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल
(i) 5 तथा -2 हैं।
(ii) 1 + 2i
हल-
(a) दिया है
α = 5, β = -2
अभीष्ट समीकरण
x² – (मूलों का योग)x + मूलों का गुणनफल = 0
x² – (α + β)x + αβ = 0
x² – (5 – 2)x + (5) x (-2) = 0
x² – 3x – 10 = 0

(ii) 1 + 2i
दिये गये मूल का संयुग्मी मूल = 1 – 2i
∴ α = 1 + 2i और β = 1 – 2i
अभीष्ट समीकरण
x² – (मूलों का योग)x + मूलों को गुणनफल = 0
x² – (1 + 2i + 1 – 2i)x + (1 + 2i) × (1 – 2i) = 0
x² – 2x + (1)² – (2i)² = 0
x² – 2x + 1 + 4 = 0
x² – 2x + 5 = 0

प्रश्न 3.
यदि समीकरण x² – px + q = 0 का एक मूल दूसरे का दुगुना है तो सिद्ध कीजिए कि 2p² = 9q.
हल-
माना दिये गये समीकरण x² – px + q = 0 के मूल α तथा β है|
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प्रश्न 4.
वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए जिसमें समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल m : n के अनुपात में हैं।
हल-
माना दिये गये समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल αm तथा αn हैं।
∴ मूलों का योग = $-\frac { b }{ a }$ ∴ αm + αn = $-\frac { b }{ a }$
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⇒ b²mn = ac(m + n)²
⇒ mnb² = ac(m + n)²

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
सम्मिश्र संख्या $\frac { 1+i }{ 1-i }$ का वास्तविक एवं काल्पनिक भाग क्रमशः है
(A) 1, 1
(B) 0, 0
(C) 0, 1
(D) 1, 0
हल :
(C)

प्रश्न 2.
यदि 2 + (2a + 5ib) = 8 + 10i, तब
(A) a = 2, b = 3
(B) a = 2, b = -3
(C) a = 3, b = 2
(D) a = 3, b = -2
हल :
(C)

प्रश्न 3.
3 – i की गुणन प्रतिलोम है
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हल :
(A)

प्रश्न 4.
$\frac { 2-3i }{ 4+i }$ का संयुग्मी है
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हल :
(B)

प्रश्न 5.
यदि z₁, z₂, ∈ C तो कौनसा कथन सत्य है
(A) |z₁ – z₂| ≥ |z₁| + |z₂|
(B) |z₁ + z₂| ≤ |z₁ – z₂|
(C) |z₁ + z₂| ≥ |z₁ – z₂|
(D) |z₁ – z₂| ≤ |z₁| + |z₂|
हल :
(D)

प्रश्न 6.
यदि |z – 3| = [z + 3| तो z स्थित है
(A) x-अक्ष पर
(B) y-अक्ष पर
(C) x = y रेखा पर
(D) x = -y रेखा पर
हल :
(B)

प्रश्न 7.
-2 का मुख्य कोणांक लिखिए।
हल-
-2 = -2 + i.0
यहाँ पर a < 0, b > 0 (द्वितीय चतुर्थांश)
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प्रश्न 8.
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Miscellaneous Exercise
का ध्रुवीय रूप लिखिए।
हल-
माना

प्रश्न 9.
4 + 5w⁴ + 3w⁵ का मान होगा?
हल-
4 + 5w⁴ + 3w⁵
= 4 + 5w³.w + 3w³.w²
= 4 + 5w + 3w²
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प्रश्न 10.

को a + ib रूप में लिखिए।
हल-
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प्रश्न 11.
|1 – i|^x = 2^x के शून्येतर पूर्णांक मूलों की संख्या है।
हल-
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अतः शून्येतर पूर्णांक मूलों की संख्या = शून्य।

प्रश्न 12.
यदि z₁, z₂ ∈ C तो सिद्ध कीजिए
(i) |z₁ – z₂| ≤ |z₁| + |z₂|
(ii) |z₁ + z₂| ≥ |z₁| – |z₁|
हल-
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प्रश्न 13.
यदि |z₁| = 1 = |z₂| तो सिद्ध कीजिए
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Miscellaneous Exercise
हल-

प्रश्न 14.
यदि $\frac { { \left( a+i \right) }^{ 2 } }{ 2a-i } =p+iq$ तो सिद्ध कीजिए कि ${ p }^{ 2 }+{ q }^{ 2 }=\frac { { \left( { a }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 } }{ { 4a }^{ 2 }+1 }$
हल-
दिया है।
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प्रश्न 15.
यदि |z₁| = |z₂| तथा कोणांक z₁ + कोणांक z₂ = 0 तो सिद्ध कीजिए कि ${ z }_{ 1 }={ \bar { z } }_{ 2 }$
हल-
माना z₁ = r₁(cos θ₁ + i sin θ₁)
एवं z₂ = r₂(cos θ₂ + i sin θ₂)
⇒ |z₁| = r₁, |z₂| = r₂ एवं कोणांक z₁ = θ₁, कोणांक z₂ = θ₂
प्रश्नानुसार, |z₁| = |z₂| ⇒ r₁ = r₂ ….(1)
एवं कोणांक z₁ + कोणांक z₂ = 0
⇒ θ₁ + θ₂ = 0 ∴ θ₁ = -θ₂ ……(2)
z₁ = r₁(cos θ₁ + i sin θ₂)
z₁ = r₂(cos(-θ₂) + i sin (-θ₂) [समी (1) एवं (2) से]
z₁ = r₂[cos θ₂ – i sin θ₂]
${ z }_{ 1 }={ \bar { z } }_{ 2 }$

प्रश्न 16.
यदि θ₁,θ₂ क्रमश सम्मिश्र सख्याएँ z₁,z₂ के कोणांक हैं तो सिद्ध कीजिए कि
हल :
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प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि
(i) (a + bw + cw²)(a + bw² + cw) = a² + b² + c² – ab – bc – ca
(ii) (a + b + c)(a + bw + cw²)(a + bw² + cw) = a³ + b³ + c³ – 3abc
हल :
(i) (a + bw + cw²)(a + bw² + cw)
⇒ a² + abw² + acw + abw + b²w³ + bcw² + acw² + bcw⁴ + c²w³
⇒ a² + abw² + acw + abw + b².1 + bcw² + acw² + bcw³.w + c².1. ∵ w³ = 1
⇒ a² + b² + c² + abw + abw² + bcw + bcw² + acw + acw²
⇒ a² + b² + c² + ab(w + w²) + bc(w + w²) + ac(w + w²)
हम जानते हैं कि 1 + w + w² = 0 ∵ w + w² = -1
मान रखने पर
⇒ a² + b² + c² + ab(-1) + bc(-1) + ac(-1)
⇒ a² + b² + c² – ab – bc – ca = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.

(ii) (a + b + c)(a + bw + cw²)(a + bw² + cw) = a³ + b³ + c³ – 3abc
⇒ (a + b + c)(a² + abw² + acw + abw + b²w³ + bcw² + acw² + bcw⁴ + cw³)
⇒ (a + b + c)(a² + b² + c² + abw² + acw + abw + bcw² + acw² + bcw³.w)
⇒ (a + b + c)(a² + b² + c² ab(w + w²) + bc(w + w²) + ac(w + w²))
हम जानते हैं कि 1 + w + w² = 0 ∵ w + w² = -1
मान रखने पर
⇒ (a + b + c)(a² + b² + c² + ab(-1) + bc(-1) + ac(-1))
⇒ (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ac)
⇒ a³ + b³ + c³ – 3abc = R.H.S.
अतः L.H.S.= R.H.S.

प्रश्न 18.
यदि α, β दो भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हों तथा |β| = 1 तो सिद्ध कीजिए कि
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हल-
माना कि α = x + iy
तथा β = c + id

प्रश्न 19.
यदि α तथा β समीकरण px² – qx – r = 0 के मूल हैं, तो वह समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल $\frac { 1 }{ \alpha }$ तथा $\frac { 1 }{ \beta }$ हैं।
हल-
दिया गया द्विघात समीकरण
px² – qx – r = 0
इस समीकरण के मूल α तथा β हैं।
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हमें वह अभीष्ट द्विघात समीकरण ज्ञात करनी है जिसके मूल $\frac { 1 }{ \alpha }$ तथा $\frac { 1 }{ \beta }$ हैं।
अभीष्ट समीकरण
x² – (मूलों का योग)x + मूलों का गुणनफल = 0
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प्रश्न 20.
वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए जिससे समीकरण lx² – 2mx + n = 0 का एक मूल दूसरे का P गुणा होता है।
हल-
दिया गया समीकरण
lx² – 2mx + n = 0
माना उपरोक्त समीकरण के मूल α तथा β हैं।
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हमें वह प्रतिबन्ध ज्ञात करना है जिससे दिये गये समीकरण का एक मूल दूसरे का P गुणा है।
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