RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Ex 5.1

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Ex 5.1

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Ex 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित को सरलतम रूप में लिखिए
(i) i⁵²
(ii) √-2√-3
(iii) (1 + i)⁵(1 – i)⁵
हल-
(i) i2 = (i) = (1) = 1 ∵ i = 1 होता है।
(ii) √-2√-3 = √2 x √-1 x √3 x √-1
= √2i x √3i = √2 x √3i²
= √6i²
= √-6 ∵ i² = -1
(iii) (1 + i)⁵(1 – i)⁵
= [(1 +i) (1 – i)]⁵ = ((1)² – (i)²)⁵
= (1 + 1)⁵ = 2⁵ = 32 ∵i² = -1

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याओं के योज्य एवं गुणन प्रतिलोम ज्ञात कीजिए-
(i) 1 + 2i
(ii) $\frac{\mathrm{1/}}{3+4i}$
(iii) (3 + i)²
हल-
(i) माना 1 + 2i का योज्य प्रतिलोम (a + ib) है।
⇒ (1 + 2i) + (a + ib) = 0 + i0
⇒ (1 + a) + i(2 + b) = 0 + i0
⇒ 1 + a = 0 एवं 2 + b = 0
⇒ a = -1 एवं b = -2
अतः (1 + 2i) का योज्य प्रतिलोम (-1 – 2i) है।

(ii) $\frac{\mathrm{1/}}{3+4i}$
a + ib के रूप में लिखने के लिए अंश तथा हर में (3 + 4i) के संयुग्मी से गुणा करने पर

(iii) (3 + i)² = (3)² + 2 x 3 x i + i²
= 9 + 6i – 1 ∵ i² = -1
8 + 6i
माना 8 + 6i का योज्य प्रतिलोम (a + ib) है।
⇒ (8 + 6i) + (a + ib) = 0 + 0.i
= (8 + a) + (6 + b)i = 0 + 0.i
वास्तविक तथा काल्पनिक भागों को अलग-अलग करने पर
8 + a = 0 ∴ a = -8
‘इसी तरह से 6 + b = 0 ∴ b = 0 – 6 = -6
अतः (8 + 6i) का योज्य प्रतिलोम = (-8 – 6i) है।
8 + 6i का गुणन प्रतिलोम = $\frac{\mathrm{1/}}{8+6i}$

प्रश्न 3.
सम्मिश्र संख्या $\frac{{(2+i)}^{\mathrm{3/}}}{3+i}$ की संयुग्मी संख्या ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 4.
निम्नलिखित के मापांक ज्ञात कीजिए
(i) 4 + i
(ii) – 2 – 3i
(iii) $\frac{\mathrm{1/}}{(3-2i)}$
हल-
(i) माना z = 4 + i

(ii) z = – 2 – 3i

(iii) माना $z=\frac{\mathrm{1/}}{3-2i}$
अंश तथा हर में (3 – 2i) के संयुग्मी से गुणा करने पर

प्रश्न 5.
यदि a² + b² = 1 तो $\frac{1+b-i\mathrm{a/}}{1+b+ia}$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
$\frac{1+b-i\mathrm{a/}}{1+b+ia}$
अंश तथा हर में (1 + b – ia) के संयुग्मी से गुणा करने पर।

लेकिन दिया गया है a² + b² = 1 मान रखने पर

प्रश्न 6.
यदि a = cos θ + i sin θ तब $\frac{1+\mathrm{a/}}{1-a}$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है a = cos θ + i sin θ

प्रश्न 7.
समीकरण

हल-

प्रश्न 8.
यदि z₁ तथा z₂, कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हों तो सिद्ध कीजिए कि
|z₁ + z₂|² + |z₁ + z₂|² = 2|z₁|² + 2|z₂|²
हल-

प्रश्न 9.
यदि a + ib = $\frac{c+\mathrm{i/}}{c-i}$, जहाँ c एक वास्तविक संख्या है, तो सिद्ध कीजिए कि a² + b² = 1 और है $\frac{\mathrm{b/}}{a}=\frac{2\mathrm{c/}}{c^2-1}$
हल-
दिया है a + ib = $\frac{c+i}{c-i}$ …..(1)
इसका संयुग्मी लिखने पर
a – ib = $\frac{c-i}{c+i}$ …..(2)
समी. (1) तथा (2) का गुणा करने पर

प्रश्न 10.
यदि (x + iy)^1/3 = (a + ib) है तो सिद्ध कीजिए कि

हल-
दिया गया है।
(x + iy)^1/3 = (a + ib)
दोनों तरफ घन करने पर
((x + iy)^1/3)³ = (a + ib)³
x + iy = (a + ib)³
या (a + ib)³ = x + iy
या a³ + i³b³ + 3ia²b + 3i²ab² = x + iy
या a³ – ib³ + 3ia²b – 3ab² = x + iy
या (a³ – 3ab²) + i(3a²b – b³) = x + iy
वास्तविक तथा काल्पनिक भाग को अलग-अलग करने पर
अतः x = a³ – 3ab²
तथा 3a²b – b³

प्रश्न 11.
यदि $\frac{{(x+i)}^2}{3x+2}=a+ib$ है, तो सिद्ध कीजिए कि

हले-
प्रश्नानुसार