RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.2

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.2

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित द्विपद प्रसारों में अंकित पद ज्ञात कीजिए।
(i) (a + 2x³)¹⁷ का 5 वाँ पद
हेल-
हम जानते हैं
T_r+1= ⁿC_r x^n-r a^r
यहाँ पर r = 4 होगा।
∴ T₄₊₁ = T₅ = ¹⁷C₄ (a)^17-4. (2³)⁴
T₅ = ¹⁷C₄ . a¹³ . 2⁴ . x¹²
= ¹⁷C₄ . a¹³. 16x¹²

(ii) ${(\frac{\mathrm{x/}}{y}-\frac{3\mathrm{y/}}{{}^{}})}^{12}$ का 9 वाँ पद
हल-
हम जानते हैं ।
T_r+1= ⁿC_r x^n-r a^r
यहाँ पर r = 8 होगा।

(iii) ${(\frac{\mathrm{2/}}{\sqrt{x}}-\frac{{}^{}}{2})}^9$ का 9 वाँ पद
हम जानते हैं
T_r+1= ⁿC_r x^n-r a^r
यहाँ पर r = 5 होगा।

प्रश्न 2.
गुणांक ज्ञात कीजिए
(i) ${(ax-\frac{\mathrm{1/}}{{}^{}})}^8$ के प्रसार में x^-7 का
हल-
माना कि x^-7, T_r+1 पद में आता है। तब

(ii) ${({}^{}-\frac{\mathrm{1/}}{{}^{}})}^{15}$ के प्रसार में x⁴ का
हल-
माना कि x⁴, T_r+1 पद में आता है। तब

= 6435

(iii) (a – bx²)¹⁰ के प्रसार में x⁶ का
हल-
माना कि x⁶, T_r+1 पद में आता है। तब
T_r+1 = ¹⁰C_r (a)^10-r. (-bx²)^r
= ¹⁰C_r (a)^10-r (-1)^r b^r . x^2r ……..(1)
इसमें x की घात 6 होनी चाहिए।
अतः 2r = 6 ∴ r = 3
r का मान समी. (1) में रखने पर, x⁶ का गुणांक

प्रश्न 3.
निम्नलिखित के प्रसार में x रहित पद ज्ञात कीजिए
(i) ${(x-\frac{\mathrm{1/}}{{}^{}})}^{12}$
हल-
माना x रहित पद T_r+1 वाँ पद है।
∴ T_r+1= ⁿC_r x^n-r a^r

(ii) ${(\sqrt{x}-\frac{\mathrm{3/}}{{}^{}})}^{10}$ ,x > 0
हल-
माना कि (r + 1)वाँ पद x रहित है।

(iii) ${(\sqrt{\frac{\mathrm{x/}}{3}}+\frac{\mathrm{3/}}{2{}^{}})}^{10}$
हल-
माना, कि (r + 1)वाँ पद x रहित है।

(iv) ${({}^{}-\frac{1}{{}^{}})}^{10}$
हल-
माना कि (r + 1) वाँ पद x रहित है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित के प्रसार में मध्य पद ज्ञात कीजिए
(i) ${(\frac{\mathrm{x/}}{2}+2y)}^6$
हल-
${(\frac{\mathrm{x/}}{2}+2y)}^6$ के प्रसार में पदों की संख्या = 6 + 1 = 7(विषम)

= 20x³y³

(ii) ${(3a-\frac{{}^{}}{6})}^9$
हल-
${(3a-\frac{{}^{}}{6})}^9$ के प्रसार में पदों की संख्या
= 9 + 1 = 10 (सम)

(iii) ${(x+\frac{\mathrm{1/}}{x})}^{2n}$
हल।
${(x+\frac{\mathrm{1/}}{x})}^{2n}$ प्रसार में पदों की संख्या = 2n + 1
जो कि एक विषम संख्या है। इसलिए

(iv) ${(3x-\frac{\mathrm{2/}}{{}^{}})}^{15}$
हल-
${(3x-\frac{\mathrm{2/}}{{}^{}})}^{15}$ के प्रसार में पदों की संख्या
= 15 + 1 = 16 (सम)

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि यदि n सम हो, तब (1 + x)ⁿ के प्रसार में मध्य पद का गुणांक $\frac{\mathrm{1.3.2}\dots \dots .(n-1)/}{\mathrm{2.4.6}\dots \dots n}$  2ⁿ होगा। यदि n
विषम हो, तो दोनों मध्य पदों का गुणांक $\frac{\mathrm{1.3.5}\dots .\mathrm{n/}}{\mathrm{2.4.6}(n+1)}$ 2ⁿ होगा।
हल-
(i) n के सम होने पर माना n = 2k
∴ (1 + x)^2k के प्रसार में (2k + 1) पद होंगे, जिनका मध्य पद $\frac{2k+1+\mathrm{1/}}{2}$
= (k + 1)वाँ पद होगा।

(ii) यदि n विषम है तो माना n = 2k +1, अतः (1 + x)^2k+1 के विस्तार में (2k + 1) + 1 अर्थात् (2k + 2) पद होंगे।
इसलिए मध्य पद , $\frac{2k+\mathrm{2/}}{2}$ = k + 1 वाँ पद

प्रश्न 6.
यदि ${(ax+\frac{\mathrm{1/}}{bx})}^{11}$ के प्रसार में x⁷ का गुणांक तथा x^-7 का गुणांक बराबर है तब सिद्ध कीजिए ab – 1 = 0.
हल-
${(ax+\frac{\mathrm{1/}}{bx})}^{11}$ के प्रसार का व्यापक पद

प्रश्न 7.
(1 + y)ⁿ के विस्तार में यदि 5 वें, 6 वें तथा 7 वें पदों के गुणांक स.श्रे. में हों, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
∵ (1 + y)ⁿ के प्रसार में T_r+1 = ⁿC_r y^r
∴ (r + 1)वें पद का गुणांक = ⁿC_r
∴ 5वें पद का गुणांक = ⁿC₄
6ठे पद का गुणांक = ⁿC₅
7वें पद का गुणांक = ⁿC₆
ⁿC₄, ⁿC₅, ⁿC₆, समान्तर श्रेणी में हों, तब
2ⁿC₅ = ⁿC₄ + ⁿC₆

⇒ (17 – n) (n – 4) (n – 5) = 30 (h – 5)
⇒ (17 – n) (n – 4) = 30
⇒ 21n – 68 – n² = 30
⇒ n² – 21n + 98 = 0
⇒ (n – 14) (n – 7) = 0
⇒ n = 7 या 14
∴ n = 7 या 14

प्रश्न 8.
(x + a)ⁿ के द्विपद प्रसार के दूसरे, तीसरे और चौथे पद क्रमशः 240, 720 और 1080 हैं। x, a तथा n ज्ञात कीजिए।
हल-
हमें ज्ञात है कि दूसरा पद T₂ = 240
परन्तु T₂ = ⁿC₁ x^n-1. a
इसलिए ⁿC₁ x^n-1. a = 240 …. (1)
इसी प्रकार ⁿC₂ x^n-2 a² = 720 ….(2)
और ⁿC₂ x^n-3 a³ = 1080 ….. (3)
(2) को (1) से भाग करने पर हमें प्राप्त होता है,

इन समीकरणों को हल करने से हम x = 2, a = 3 तथा n = 5 प्राप्त करते हैं।

प्रश्न 9.
यदि (1 + a)ⁿ के प्रसार में तीन क्रमागत पदों के गुणांक 1 : 7 : 42 के अनुपात में हैं तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
मान लीजिए (1 + a)ⁿ के प्रसार में (r – 1)^वाँ, r^वाँ तथा (r + 1)^वाँ पद, तीन क्रमागत पद हैं। (r – 1)^वाँ पद ⁿC_r-2a^r-2 है तथा इसका गुणांक ⁿC_r-2 है। इसी r^वें प्रकार तथा (r + 1)^वें पदों के गुणांक क्रमशः ⁿC_r-1 व ⁿC_r हैं। क्योंकि गुणांकों का अनुपात 1 : 7 : 42 है इसलिए

⇒ 6r = n – r + 1
⇒ 7r – n – 1 = 0 ….(2)
समीकरण (1) में समीकरण (2) को घटाने पर।
– r + 8 = 0 ∴ r = 8
r का मान समीकरण (1) में रखने पर।
8 x 8 – n – 9 = 0
64 – n – 9 = 0
∴ n = 55

प्रश्न 10.
m का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए (1 + x)^m के प्रसार में x² का गुणांक 6 हो।
हल-
हम जानते हैं कि
(1 + x)^m = ^mC₀ + ^mC₁x¹ + ^mC₂ x² + …….. + ^mC_m r^m
इस प्रसार में x² का गुणांक ^mC₂ होगा जो कि प्रश्नानुसार 6 के बराबर है।
∴ ^mC₂ = 6

या m (m – 1) = 2 x 6
या m² – m = 12
या m² – m – 12 = 0
या m² – 4m² + 3m – 12 = 0
या m(m – 4) + 3(m – 4) = 0
या (m – 4) (m + 3) = 0
या m – 4 = 0
या m + 3 = 0
या m = 4 या m = – 3
नकारात्मक मान को उपेक्षणीय मानने पर m = 4.

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