RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.3

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.3

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.3

प्रश्न 1.
यदि (1 + x)ⁿ के प्रसार के गुणांक क्रमशः C₀, C₁, C₂, ………. C_n हो, तो मान ज्ञात कीजिए-
(i) ⁸C₁ + ⁸C₂ + ⁸C₃ + …… ⁸C₈
(ii) ⁸C₁ + ⁸C₃ + ⁸C₅ + ⁸C₇ + ……..
हल-
(i) चूँकि हम जानते हैं कि
ⁿC₀ + ⁿC₁ + ⁿC₂ + ….. + ⁿC_n = 2ⁿ
1 + ⁿC₁ + ⁿC₂ + ⁿC₃ +….. + ⁿC_n = 2ⁿ
∴ ⁿC₁ + ⁿC₂ + ⁿC₃ + ….. + ⁿC_n = 2ⁿ – 1
n = 8 रखने पर
⁸C₁ + ⁸C₂ + ⁸C₃ + ….. + ⁸C₈ = 2⁸ – 1
= 256 – 1 = 255

(ii) द्विपद गुणांकों के गुणधर्म से हम जानते हैं ।
2(ⁿC₁ + ⁿC₃ + ⁿC₅ + ……) = 2ⁿ
या ⁿC₁ + ⁿC₃ + ⁿC₅ + …. $\frac{2^n}{2}$ = 2^n-1
n = 8 रखने पर
⁸C₁ + ⁸C₃ + ⁸C₅ + …… = 2^8-1 = 2⁷
= 128
यदि (1 + x)ⁿ के प्रसार के गुणांक क्रमशः C₀, C₁, C₂ ,…… C_n हो, तब सिद्ध कीजिए

प्रश्न 2.
C₀ + 3.C₁ + 5.C₂ +……. + (2n + 1). C_n = (n + 1)2ⁿ
हल-
L.H.S. C₀ + 3.C₁ + 5.C₂ + ……. + (2n + 1) . C_n
= (C₀ + C₁ + C₂ + C₃ + ….. + C_n) + (2.C₁ + 4.C₂ + 6.C₃ + …… + 2nC_n)
= 2ⁿ + 2(C₁ + 2C₂ + 3C₃ …… + n.C_n).

= 2ⁿ + 2n[1 + ^n-1C₁ + ^n-1C₂ + ^n-1C₃ +….. ^n-1C_n-1].
= 2ⁿ + 2n.2^n-1
= 2ⁿ + n.2ⁿ
= (n + 1)2ⁿ
= R.H.S.
∴ L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 3.
C₀C₂ + C₁C₃ + C₂C₄ +…… + C_n-2C_n =

हल :
(1 + x)ⁿ = (C₀ + C₁x + C₂x² + C₃x³ + ….. + C_nxⁿ) ….(1)
(x + 1)ⁿ = (C₀xⁿ + C₁x^n-1 + C₂x^n-2 + …… + C_n) …(2)
समी. (1) तथा (2) का गुणा करने पर
(1 + x)ⁿ × (x + 1)ⁿ
= (C₀ + C₁x + C₂x² + C₃x³ + ….. + C_nxⁿ) ×
(C₀xⁿ + C₁x^n-1 + C₂x^n-2 + …… + C_n)
दोनों पक्षों में x^n-r के गुणांकों की तुलना करने पर
²ⁿC_n-r = C₀C_r + C₁r_r+1 + …… + C_n-r C_r
r = 2 रखने पर
²ⁿC_n-2 = C₀C₂ + C₁C₃ + C₂C₄ …… C_n-2C_n

प्रश्न 4.
C₀ + 2C₁ + 4C₂ + 6C₃ + ….. + 2nC_n = 1 + n2ⁿ
हल-
L.H.S.
C₀ + 2C₁ + 4C₂ + 6C₃ + ….. + 2ⁿC_n
= 1 + 2C₁ + 4C₂ + 6C₃ + …… + 2ⁿC_n
∵ C₀ = 1
= 1 + 2(C₁ + 2C₂ + 3C₃ +…….. + ⁿC_n)
= 1 + 2(ⁿC₁ + 2.ⁿC₂ + 3.ⁿC₃+ ……. + n.ⁿC_n)

प्रश्न 5.

हल-
सभी के मान निकालने पर

प्रश्न 6.
यदि (1 + x – 2x²)⁶ का पूर्ण प्रसार 1 + a₁x + a₂x² + a₃x³ + …….. + a₁₂x¹² द्वारा निरूपित हो, तब सिद्ध कीजिए, a₂ + a₄ + a₆ + ……… a₁₂ = 31
हल-
x = -1 रखने पर
(1 – 1 – 2(-1)²)⁶ = 1 – a₁ + a₂ – a₃ + ….. + a₁₂
अर्थात् (-2)⁶ = 1 – a₁ + a₂ – a₃ + a₄ – a₅ + …… + a₁₂
64 = 1 – a₁ + a₂ – a₃ + a₄ – a₅ + …… + a₁₂ ….(1)
अब x = 1 रखने पर
(1 + 1 – 2.1²)⁶ = 1 + a₁ + a₂ + a₃ + ……. + a₁₂
(2 – 2)⁶ = 1 + a₁ + a₂ + a₃ + …….. a₁₂
0 = 1 + a₁ + a₂ + a₃ + ……. + a₁₂ ….(2)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
64 = 2 + 2a₂ + 2a₄ + …… + 2a₁₂
64 = 2(1 + a₂ + a₄ + …… + a₁₂)
या $\frac{\mathrm{64/}}{2}$ = (1 + a₂ + a₄ + …… + a₁₂)
32 = 1 + a₂ + a₄ + ….. + a₁₂
या a₂ + a₄ + a₆ + ……. + a₁₂ = 32 – 1 = 31
अतः a₂ + a₄ + a₆ + ……. + a₁₂ = 31 इतिसिद्धम्

SabDekho

The Complete Educational Website

Bihar Board

UP Board

IAS Notes

Jac Board

MP Board

सम्पूर्ण व्याकरण

जीवनी

निबंध

टेन्स

सामान्य ज्ञान

Rajasthan Board

NCERT Solutions in Hindi

NCERT Solutions in English